數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課件：第6章 樹和二叉樹2遍歷二叉樹和線索二叉樹

1、樹和森林第6章 樹和二叉樹樹的基本概念二叉樹遍歷二叉樹和線索二叉樹赫夫曼樹及其應(yīng)用提出問(wèn)題6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 在二叉樹的一些應(yīng)用中，常要求在樹中查找具有某種特征的結(jié)點(diǎn)，或者對(duì)樹中全部結(jié)點(diǎn)逐一進(jìn)行某種處理。這就提出了遍歷二叉樹的問(wèn)題。遍歷是任何類型均有的操作6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 對(duì)線性結(jié)構(gòu)而言，只有一條搜索路徑(因?yàn)槊總€(gè)結(jié)點(diǎn)均只有一個(gè)后繼)； 而二叉樹是非線性結(jié)構(gòu)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)后繼，則存在如何遍歷，即按什么樣的搜索路徑遍歷的問(wèn)題。遍歷二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 對(duì)二叉樹而言，是由三個(gè)基本單元組成：根結(jié)點(diǎn)、左子樹和右子樹。 因此，若能遍歷這三部分，便是遍歷了整個(gè)二

2、叉樹?？紤]：一共有多少種遍歷 二叉樹的方案？遍歷二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 假如以 L、D、R 分別表示遍歷二叉樹的左子樹、訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)、遍歷右子樹，則有 D L R 、L D R 、L R D D R L 、R D L 、R L D 先序 中序 后序 六種遍歷方案選擇先左后右的遍歷算法6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 先（根）序遍歷算法 DLR 中（根）序遍歷算法 LDR 后（根）序遍歷算法 LRD先（根）序遍歷算法6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹若二叉樹為空樹，則空操作；否則(1) 訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)；(2) 先序遍歷左子樹；(3) 先序遍歷右子樹。void PreOrderTraverse(

3、BiTree bt) if(bt) printf(%c , bt-data); /*輸出根結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)域的值*/ PreOrderTraverse(bt-lchild); /*先序遍歷左子樹*/ PreOrderTraverse(bt-rchild); /*先序遍歷右子樹*/ 中（根）序遍歷算法6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹若二叉樹為空樹，則空操作；否則(1) 中序遍歷左子樹；(2) 訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)；(3) 中序遍歷右子樹。void InOrderTraverse(BiTree bt) if(bt) InOrderTraverse(bt-lchild); /*中序遍歷左子樹*/ printf(%c ,

4、 bt-data); /*輸出根結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)域的值*/ InOrderTraverse(bt-rchild); /*中序遍歷右子樹*/ 后（根）序遍歷算法6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹若二叉樹為空樹，則空操作；否則(1) 后序遍歷左子樹；(2) 后序遍歷右子樹；(3) 訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)。void PostOrderTraverse(BiTree bt) if(bt) PostOrderTraverse(bt-lchild); /*后序遍歷左子樹*/ PostOrderTraverse(bt-rchild); /*后序遍歷右子樹*/ printf(%c , bt-data); /*輸出根結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)域的值*/

5、 例16.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹先序遍歷的結(jié)果是：中序遍歷的結(jié)果是：后序遍歷的結(jié)果是： A B CD EA B D E CD B E A CD E B C A口訣：DLR先序遍歷，即先根再左再右LDR中序遍歷，即先左再根再右LRD后序遍歷，即先左再右再根例2：用二叉樹表示算術(shù)表達(dá)式6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹+*A*/EDCB先序遍歷+ * * / A B C D E前綴表示中序遍歷A / B * C * D + E中綴表示后序遍歷A B / C * D * E +后綴表示層序遍歷+ * E * D / C A B例36.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 假設(shè)一棵二叉樹的先序序列為 E B A

6、 D C F H G I K J，中序序列為 A B C D E F G H I J K。畫出該二叉樹。遍歷算法的遞歸實(shí)現(xiàn)6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹回憶1：二叉樹結(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)類型定義：typedef struct node *tree_pointer;typedef struct node int data; tree_pointer left_child, right_child; node;回憶2：遞歸求解 n!long int fact(n) /求n! long s; if (n1) s=n*fact(n-1); else f=1; return(f); 先序遍歷二叉樹的遞歸算法6.3

7、 遍歷二叉樹和線索二叉樹Status PreOrderTraverse(BiTree T,Status(* Visit)(TElemType e)/二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，visit是對(duì)數(shù)據(jù)元素操作的應(yīng)用函數(shù)/先序遍歷二叉樹T的遞歸算法，對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)元素調(diào)用visit if(T) if (Visit(T-data) if ( PreOrderTraverse(T-lchild,Visit ) if (PreOrderTraverser(T-rchild,Visit) return OK; return ERROR; else return OK;PreOrderTraverseACBD主程序Pre(

8、T )Pre(T R);Pre(T R);TAVisit(A);Pre(T L);TDVisit(D);Pre(T L);TCVisit(C);Pre(T L);TBVisit(B);Pre(T L);返回TPre(T R);返回T返回T返回T返回TPre(T R);得到的遍歷次序?yàn)椋篈 B D CPreOrderTraverse(BiTree T,Status(* Visit)(TElemType e)if(T) if (Visit(T-data) if ( PreOrderTraverse(T-lchild,Visit ) if (PreOrderTraverser(T-rchild,Vi

9、sit) return OK; return ERROR; else return OK;中序遍歷二叉樹的遞歸算法6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹Status InOrderTraverse(BiTree T, Status(* Visit)(TElemType e) if(T) if ( InOrderTraverse(T-lchild,Visit) ) if (Visit(T-data) if ( InOrderTraverse(T-rchild,Visit) ) return OK; return ERROR; else return OK; / InOrderTraverse后序遍歷二叉

10、樹的遞歸算法6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹Status PostOrderTraverse(BiTree T ,Status(* Visit)(TElemType e) if(T) if ( PostOrderTraverse(T-lchild ,Visit) ) if ( PostOrderTraverse(T-rchild ,Visit) ) if (Visit(T-data) return OK; return ERROR; else return OK; /PostOrderTraverse遍歷的分析6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹1. 從前面的三種遍歷算法可以知道：如果將print語(yǔ)句

11、抹去，從遞歸的角度看，這三種算法是完全相同的，或者說(shuō)這三種遍歷算法的訪問(wèn)路徑是相同的，只是訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)的時(shí)機(jī)不同。從虛線的起點(diǎn)到終點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)經(jīng)過(guò)3次AFEDCBG第1次經(jīng)過(guò)時(shí)訪問(wèn)先序遍歷第2次經(jīng)過(guò)時(shí)訪問(wèn)中序遍歷第3次經(jīng)過(guò)時(shí)訪問(wèn)后序遍歷2. 二叉樹遍歷的時(shí)間效率和空間效率時(shí)間效率:O(n) /每個(gè)結(jié)點(diǎn)只訪問(wèn)一次空間效率:O(n) /棧占用的最大輔助空間中序遍歷二叉樹的非遞歸算法一6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹Staus InOrderTrav(BiTree T,Status(* Visit)(TElemType e)/中序遍歷二叉樹T的非遞歸算法，對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)元素調(diào)用函數(shù)visit.InitStac

12、k(S); Push(S,T); /根指針進(jìn)棧while(!StackEmpty(S) while(GetTop(S,p)&p) Push(S,p-lchild);/向左走到盡頭 Pop(S,p); /空指針退棧 if(!StackEmpty(S) /訪問(wèn)結(jié)點(diǎn)，向右一步 Pop(S,p); if(!Visit(p-data) return error; Push(S,p-rchild); /if /whileReturn ok; /InOrderTraverseACBED中序遍歷二叉樹的非遞歸算法二6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹Status InOrderTrv( BiTree T,Statu

13、s (*Visit)(TElemType e)/采用二叉鏈表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)，Visit是對(duì)數(shù)據(jù)元素操作的應(yīng)用函數(shù)/中序遍歷二叉樹T的非遞歸算法，對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)元素調(diào)用函數(shù)Visit。 InitStack(S); p=T; while(p | !StackEmpty(S) if (p) Push(&S,p); p=p-lchild; else Pop(&S,&p); if (!Visit(p-data) return ERROR； p=p-rchild; /else /while return OK; /InOrderTrv/根指針進(jìn)棧，遍歷左子樹/根指針退棧，訪問(wèn)根結(jié)點(diǎn)，遍歷右子樹 ACBED遍歷算法的

14、應(yīng)用舉例6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 “遍歷”是二叉樹各種操作的基礎(chǔ)，可以在遍歷過(guò)程中對(duì)結(jié)點(diǎn)進(jìn)行各種操作，如：對(duì)于一棵已知樹求結(jié)點(diǎn)的雙親，求結(jié)點(diǎn)的孩子結(jié)點(diǎn)，判定結(jié)點(diǎn)所在的層次等。例1：統(tǒng)計(jì)二叉樹中葉子結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹Status CountLeaf (BiTree T, int & count) if ( T ) if ( (T-lchild =NULL) & (T-rchild =NULL) count + +; return OK; CountLeaf( T - lchild, count); / 統(tǒng)計(jì)左子樹中葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) CountLeaf( T - rchil

15、d, count); / 統(tǒng)計(jì)右子樹中葉子結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù) else return ERROR; 例2：求二叉樹的深度6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹int Depth (BiTree T ) if ( !T ) depthval = 0; else depthLeft = Depth( T-lchild ); depthRight= Depth( T-rchild ); depthval = 1 + max(depthLeft,depthRight); return depthval;例3：按先序序列建立二叉樹的二叉鏈表6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹已知先序序列：A B C 0 0 D E 0 G 0

16、 0 F 0 0 0（其中0表示空格字符, 空指針）建立相應(yīng)的二叉鏈表ABCDEFG例3：按先序序列建立二叉樹的二叉鏈表6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹Status CreateBiTree (BiTree &T) /按先序序列輸入二叉樹中結(jié)點(diǎn)的值，空格字符表示空樹 Scanf(&ch) if (ch = = ) T=NULL; else if( !( T=(BiTNode*)malloc(sizeof(BiTNode) ) ) exit(OVERFLOW); T-data = ch; /構(gòu)造根結(jié)點(diǎn) CreateBiTree(T-lchild); /構(gòu)造左子樹 CreateBiTree(T-rc

17、hild); /構(gòu)造右子樹 Return OK線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹AEBCDFGHK線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹lchildDaterchildABECFDGHK線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹普通二叉樹只能找到結(jié)點(diǎn)的左右孩子信息，而該結(jié)點(diǎn)的直接前驅(qū)和直接后繼只能在遍歷過(guò)程中獲得。若將遍歷后對(duì)應(yīng)的有關(guān)前驅(qū)和后繼預(yù)存起來(lái)，則從第一個(gè)結(jié)點(diǎn)開始就能很快“順藤摸瓜”而遍歷整個(gè)樹了。線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹例如中序遍歷結(jié)果：B D C A E H G K F，實(shí)際上已將二叉樹轉(zhuǎn)為線性排列，顯然具有唯一前驅(qū)和唯一后繼。線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線

18、索二叉樹ABECFDGHK線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹兩種解決方法：增加兩個(gè)域：fwd和bwd；存放前驅(qū)指針存放后繼指針如何預(yù)存這類信息？(唯一前驅(qū)和唯一后繼)利用空鏈域（n+1個(gè)空鏈域）線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹問(wèn)：用二叉鏈表法（l_child, r_child）存儲(chǔ)包含n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，結(jié)點(diǎn)的指針區(qū)域中會(huì)有多少個(gè)空指針？分析：用二叉鏈表存儲(chǔ)包含n個(gè)結(jié)點(diǎn)的二叉樹，結(jié)點(diǎn)必有2n個(gè)鏈域（見(jiàn)二叉鏈表數(shù)據(jù)類型說(shuō)明）。 除根結(jié)點(diǎn)外，二叉樹中每一個(gè)結(jié)點(diǎn)有且僅有一個(gè)雙親（直接前驅(qū)），所以只會(huì)有n1個(gè)結(jié)點(diǎn)的鏈域存放指針，指向非空子女結(jié)點(diǎn)（即直接后繼）。所以，空指針數(shù)目2n(n1)n

19、+1個(gè)線索二叉樹6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹思考：二叉鏈表空間效率這么低，能否利用這些空閑區(qū)存放有用的信息或線索？我們可以用它來(lái)存放當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的直接前驅(qū)和后繼等線索，以加快查找速度。規(guī)定：1）若結(jié)點(diǎn)有左子樹，則lchild指向其左孩子； 否則， lchild指向其直接前驅(qū)(即線索)；2）若結(jié)點(diǎn)有右子樹，則rchild指向其右孩子； 否則， rchild指向其直接后繼(即線索) 。為區(qū)別兩種不同情況，特增加兩個(gè)標(biāo)志域（各1bit）lchilddatarchild約定:當(dāng)Tag域?yàn)?時(shí),表示正常情況;當(dāng)Tag域?yàn)?時(shí),表示線索情況.右孩子或后繼左孩子或前驅(qū)LTagRTag二叉樹二叉線索存儲(chǔ)表示6.

20、3 遍歷二叉樹和線索二叉樹typedef enum Link, Thread PointerThr; / Link=0:指針，Thread=1:線索typedef struct BiThrNode TElemType data; Struct BiThrNode *lchild, *rchild; / 左右孩子指針 PointerThr LTag, RTag; / 左右標(biāo)志 BiThrNode, *BiThrTree;有關(guān)線索二叉樹的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹 線索：指向結(jié)點(diǎn)前驅(qū)和后繼的指針線索二叉樹：加上線索的二叉樹 線索鏈表：用含Tag的結(jié)點(diǎn)樣式所構(gòu)成的二叉鏈表 線索化：對(duì)二叉

21、樹以某種次序遍歷使其變?yōu)榫€索二叉樹的過(guò)程討論：增加了前驅(qū)和后繼等線索有什么好處？能方便找出當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)和后繼，不用堆棧也能遍歷整個(gè)樹。ABCGEIDHFNILNIL解：該二叉樹中序遍歷結(jié)果為: H, D, I, B, E, A, F, C, G所以添加線索應(yīng)當(dāng)按如下路徑進(jìn)行：例1：畫出以下二叉樹對(duì)應(yīng)的中序線索二叉樹。例2：【 2000年計(jì)算機(jī)系考研題】給定如圖所示二叉樹T，請(qǐng)畫出與其對(duì)應(yīng)的中序線索二叉樹。 2825405560330854解:因?yàn)橹行虮闅v序列是：55 40 25 60 28 08 33 54對(duì)應(yīng)線索樹應(yīng)當(dāng)按此規(guī)律連線，即在原二叉樹中添加虛線NILNILAEBCDFGHK例3：

22、畫出以下二叉樹對(duì)應(yīng)的中序線索二叉樹。解：該二叉樹中序遍歷結(jié)果為: B, D, C, A, E, H, G, K, F所以添加線索應(yīng)當(dāng)按如下路徑進(jìn)行：NILNIL線索二叉樹的生成6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹線索化過(guò)程就是在遍歷過(guò)程中修改空指針的過(guò)程：將空的 lchild 改為結(jié)點(diǎn)的直接前驅(qū)；將空的 rchild 改為結(jié)點(diǎn)的直接后繼。非空指針呢？仍然指向孩子結(jié)點(diǎn)（稱為“正常情況”）AEBCDFGHK例3：畫出以下二叉樹對(duì)應(yīng)的中序線索二叉樹。解：該二叉樹中序遍歷結(jié)果為: B, D, C, A, E, H, G, K, F所以添加線索應(yīng)當(dāng)按如下路徑進(jìn)行：NILNIL懸空？懸空？為避免懸空態(tài)，應(yīng)增設(shè)一

23、個(gè)頭結(jié)點(diǎn)01對(duì)應(yīng)的中序線索二叉樹存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)如圖所示該二叉樹中序遍歷結(jié)果為: B, D, C, A, E, H, G, K, Froot0A01B01E00C10F11D10G01H11K1如何在線索樹中找結(jié)點(diǎn)的后繼6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹結(jié)合中序線索樹 若其右標(biāo)志為“1”，右鏈?zhǔn)蔷€索，右鏈直接指示結(jié)點(diǎn)后繼； 若其右標(biāo)志為“0”，右鏈?zhǔn)侵羔?，其后繼為右子樹中最左下的結(jié)點(diǎn)。1234567如何在線索樹中找結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)6.3 遍歷二叉樹和線索二叉樹結(jié)合中序線索樹 若其左標(biāo)志為“1”，左鏈為線索，左鏈直接指示其前驅(qū)； 若其左標(biāo)志為“0”，左鏈?zhǔn)侵羔?，否則左子樹中最右下的結(jié)點(diǎn)為其前驅(qū)。1234567線索

24、鏈表的中序遍歷算法Status IOTraver_T( BiThrTree T,Status (*Visit)(TElemType e) ) /T指向頭結(jié)點(diǎn)，頭結(jié)點(diǎn)的左鏈lchild指向根結(jié)點(diǎn)，中序遍歷 /二叉線索樹T的非遞歸算法，對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)元素調(diào)用函數(shù)Visit。 p = T-lchild; /p指向根結(jié)點(diǎn) while (p != T) /空樹或遍歷結(jié)束時(shí)，p = = T while (p-LTag=Link) p = p-lchild; if (!Visit(p-data) return ERROR; /訪問(wèn)其左子樹為空的結(jié)點(diǎn) while (p-RTag=Thread & p-rchild

25、!=T) p = p-rchild; Visit(p-data); /訪問(wèn)后繼結(jié)點(diǎn) p = p-rchild; return OK; / IOTraver_T線索二叉樹的生成算法（算法6.6, 見(jiàn)教材P134）目的：在依某種順序遍歷二叉樹時(shí)修改空指針，添加前驅(qū)或后繼注解：為方便添加結(jié)點(diǎn)的前驅(qū)或后繼，需要設(shè)置兩個(gè)指針： p指針當(dāng)前結(jié)點(diǎn)之指針； pre指針前驅(qū)結(jié)點(diǎn)之指針。技巧：當(dāng)結(jié)點(diǎn)p的左/右域?yàn)榭諘r(shí)，只改寫它的左域（裝入前驅(qū)pre），而其右域（后繼）留給下一結(jié)點(diǎn)來(lái)填寫。 或者說(shuō)，當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的指針p應(yīng)當(dāng)送到前驅(qū)結(jié)點(diǎn)的空右域中。若p-lchildNULL,則p-Ltag=1; p-lchildpre; /p的前驅(qū)結(jié)點(diǎn)指針pre存入左空域若pre-rchildNULL, 則pre-Rtag1; pre-rchild=p; /p存入其前驅(qū)結(jié)點(diǎn)pre的右空域D0pre指針0C當(dāng)前結(jié)點(diǎn)前驅(qū)