福州教育學院2021-2022學年高三3月份模擬考試數(shù)學試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知三棱錐且平面，其外接球體積為（ ）ABCD2某幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是由一個半圓與其直徑組成的圖形，則此幾何體的體積是（ ）ABCD3已知命題p:直線ab，且b平面，則a；命題q:直線l平面，任意直線m，則lm.下列命題為真命題

2、的是（ ）ApqBp（非q）C（非p）qDp（非q）4已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，且，則（ ）AB或CD5已知橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于A，B兩點，交y軸于點M，若、M是線段AB的三等分點，則橢圓的離心率為( )ABCD6設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點，使，且，則雙曲線的離心率為（ ）AB2CD7由曲線yx2與曲線y2x所圍成的平面圖形的面積為()A1BCD8已知定點，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（ ）A橢圓B雙曲線C拋物線D圓9已知集合，則元素個數(shù)為( )A1B2C3D410如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單

3、位：），則該幾何體的表面積為( )A BCD11已知函數(shù)f（x）ebxexb+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（1）（ ）A2B1C2D412馬林梅森是17世紀法國著名的數(shù)學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p1作了大量的計算、驗證工作，人們?yōu)榱思o念梅森在數(shù)論方面的這一貢獻，將形如2P1（其中p是素數(shù)）的素數(shù)，稱為梅森素數(shù).若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是（ ）A3B4C5D6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13二項式的展開式中所有項的二項式系數(shù)之和是64，則展開式中的常數(shù)項

4、為_.14設滿足約束條件，則的取值范圍是_.15若復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復數(shù)，則_.16在中，已知，則的最小值是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在國家“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”戰(zhàn)略下，某企業(yè)決定加大對某種產品的研發(fā)投入.為了對新研發(fā)的產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格試銷，得到一組檢測數(shù)據(jù)如表所示:試銷價格(元)產品銷量 (件)已知變量且有線性負相關關系，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學通過計算求得回歸直線方程分別為:甲； 乙；丙，其中有且僅有一位同學的計算結果是正確的.（1）試判斷誰的計算結果正確？（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與檢測

5、數(shù)據(jù)的誤差不超過，則稱該檢測數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從檢測數(shù)據(jù)中隨機抽取個，求“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列和數(shù)學期望.18（12分）設等比數(shù)列的前項和為，若（）求數(shù)列的通項公式；（）在和之間插入個實數(shù)，使得這個數(shù)依次組成公差為的等差數(shù)列，設數(shù)列的前項和為，求證：.19（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.20（12分）如圖，在長方體中，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21（12分）已知函數(shù)（1）當（為自然對數(shù)的

6、底數(shù)）時，求函數(shù)的極值；（2）為的導函數(shù)，當，時，求證：22（10分）設，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設函數(shù).若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】由,平面,可將三棱錐還原成長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,進而求解.【詳解】由題,因為,所以,設,則由,可得,解得,可將三棱錐還原成如圖所示的長方體,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球,設

7、外接球的半徑為,則,所以,所以外接球的體積.故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球體積,考查空間想象能力.2C【解析】由三視圖可知，該幾何體是下部是半徑為2，高為1的圓柱的一半，上部為底面半徑為2，高為2的圓錐的一半，所以，半圓柱的體積為，上部半圓錐的體積為，所以該幾何體的體積為，故應選3C【解析】首先判斷出為假命題、為真命題，然后結合含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題的真假性，判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定，我們易得命題若直線，直線平面，則直線平面或直線在平面內，命題為假命題；根據(jù)線面垂直的定義，我們易得命題若直線平面，則若直線與平面內的任意直線都垂直，命題為真命題.故:A命題“”為假命題；

8、B命題“”為假命題；C命題“”為真命題；D命題“”為假命題.故選：C.【點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關命題真假性的判斷，考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞的命題的真假性判斷，屬于基礎題.4A【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質可得，通分化簡即可.【詳解】由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，則，又，即，所以，.故選：A.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質，考查了推理能力與運算能力，屬于基礎題.5D【解析】根據(jù)題意，求得的坐標，根據(jù)點在橢圓上，點的坐標滿足橢圓方程，即可求得結果.【詳解】由已知可知，點為中點，為中點，故可得，故可得；代入橢圓方程可得，解得，不妨取，故可得點的坐標為，則，易知點坐標，將點坐標代入橢圓方程得，所以

9、離心率為，故選：D.【點睛】本題考查橢圓離心率的求解，難點在于根據(jù)題意求得點的坐標，屬中檔題.6A【解析】由及雙曲線定義得和（用表示），然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率【詳解】由題意，由雙曲線定義得，從而得，在中，由余弦定理得，化簡得故選：A【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離，再由余弦定理得出的齊次式7B【解析】首先求得兩曲線的交點坐標，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，結合定積分的幾何意義可知曲線yx2與曲線y2x所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇B選項.【點睛】本題主要考查定積分的概

10、念與計算，屬于中等題.8B【解析】根據(jù)線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.9B【解析】作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.【詳解】由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點，作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B

11、，所以兩個集合有兩個公共元素，所以元素個數(shù)為2，故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，關鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數(shù)形結合的思想，屬于基礎題.10C【解析】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，據(jù)此可計算出答案.【詳解】由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5，底面直徑是6，該幾何體的表面積.故選：C【點睛】本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復幾何體是解題的關鍵.11C【解析】根據(jù)對稱性即可求出答案【詳解】解：點（5，f（5）與點（1，f（1）滿足（51）22，故它們關于點（2，1）對稱，所以f（5）+f（1）2，故選：C

12、【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應用，屬于中檔題12C【解析】模擬程序的運行即可求出答案【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p1，S1，輸出S的值為1，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p3，S7，輸出S的值為7，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p5，S31，輸出S的值為31，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p7，S127，輸出S的值為127，滿足條件p7，執(zhí)行循環(huán)體，p9，S511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p7，退出循環(huán)，結束，故若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數(shù)的個數(shù)是5，故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】由二項式系

13、數(shù)性質求出，由二項展開式通項公式得出常數(shù)項的項數(shù)，從而得常數(shù)項【詳解】由題意，展開式通項為，由得，常數(shù)項為故答案為：【點睛】本題考查二項式定理，考查二項式系數(shù)的性質，掌握二項展開式通項公式是解題關鍵14【解析】作出可行域，將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當時，z=0；當時將目標函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：【點睛】本題考查分式型目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.15【解析】設，代入已知條件進行化簡，根據(jù)復數(shù)相等的條件，求得的值.

14、【詳解】設，由，得，所以，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查共軛復數(shù)，考查復數(shù)相等的條件，屬于基礎題.16【解析】分析：可先用向量的數(shù)量積公式將原式變形為：，然后再結合余弦定理整理為，再由cosC的余弦定理得到a，b的關系式，最后利用基本不等式求解即可.詳解：已知，可得，將角A,B,C的余弦定理代入得，由，當a=b時取到等號，故cosC的最小值為.點睛：考查向量的數(shù)量積、余弦定理、基本不等式的綜合運用，能正確轉化是解題關鍵.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）乙同學正確（2）分布列見解析， 【解析】（1）由已知可得甲不正確，求出樣本中心點代入

15、驗證，即可得出結論；（2）根據(jù)（1）中得到的回歸方程，求出估值，得到“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)，確定“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.【詳解】（1）已知變量具有線性負相關關系，故甲不正確，代入兩個回歸方程，驗證乙同學正確，故回歸方程為：（2）由（1）得到的回歸方程，計算估計數(shù)據(jù)如下表： “理想數(shù)據(jù)”有3個，故“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的取值為:.，于是“理想數(shù)據(jù)”的個數(shù)的分布列【點睛】本題考查樣本回歸中心點與線性回歸直線方程關系，以及離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.18（）；（）詳見解析.【解析】（），兩式相減化簡整理利用等比數(shù)列的通項公式

16、即可得出（）由題設可得，可得，利用錯位相減法即可得出【詳解】解：（）因為，故，兩式相減可得，故，因為是等比數(shù)列，又，所以，故，所以；（）由題設可得，所以，所以，則，得：，所以，得證.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列的通項公式求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題19（1）；（2）見解析【解析】（1）由條件可得，再根據(jù)離心率可求得，則可得橢圓方程；（2）當與軸垂直時，設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立求得的坐標，通過、斜率之積為列方程可得的值，進而可得的面積；當與軸不垂直時，設，的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理和、斜率之積為可得，再利用弦長公式求出，以及到的距離，通過

17、三角形的面積公式求解.【詳解】（1）拋物線的焦點為，橢圓方程為；（2）（）當與軸垂直時，設直線的方程為：代入得：，解得：，；（）當與軸不垂直時，設，的方程為由，由， ，即整理得：代入得：到的距離綜上：為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.20（1）證明見解析（2）【解析】（1）解法一： 作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進而證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】

18、（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，為的中位線，又為的中點，為梯形的中位線，在平面中，在平面中，平面平面，又平面，平面.另解：（法二）在長方體中，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，則，.（1）設平面的一個法向量為，則，令，則，.，又，又平面，平面.（2）設平面的一個法向量為，則，令，則，.同理可算得平面的一個法向量為，又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角，故二面角的余弦值為.【點睛】本小題考查線面的位置關系，空間向量與線面角，二面角等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，數(shù)形結合思想，化歸與轉化思想.21（1）極大值，極小值；（2）詳見解析.【解析】首先確定函數(shù)的定義域和；（1）當時，根據(jù)的正負可確定單調性，進而確定極值點，代入可求得極值；（2）通過分析法可將問題轉化為證明，設，令，利用導數(shù)可證得，進而得到結論.【詳解】由題意得：定義域為，（1）當時，當和時，；當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，極大值為，極小值為.（2）要證：，即證：，即證：，化簡可得：，即證：，設，令，則，在上單調遞增，則由，從而