《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教案-第4章-課件

1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué) 教案 第四章多元函數(shù)微積分第一節(jié) 多元函數(shù)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分第三節(jié) 多元函數(shù)微分法第四節(jié) 多元函數(shù)的極值第五節(jié) 二重積分7/18/20221醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章第一節(jié) 多元函數(shù) 一、空間解析幾何簡(jiǎn)介二、多元函數(shù)的概念三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)7/18/20222醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章一、空間解析幾何簡(jiǎn)介1. 右手法則2. 點(diǎn)的坐標(biāo)P(x, y, z)3. 任意兩點(diǎn)之間的距離P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2)則7/18/20223醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章幾類常見(jiàn)的方程4. Ax + By + Cz + D = 0(平面方程)(x x0) 2 + (y y0) 2

2、+ (z z0) 2 = R 2 (球面方程)x 2 + y 2 = R 2(柱面方程)z = x 2 + y 2 (橢圓拋物面)z 2 = x 2 + y 2 (圓錐面)見(jiàn)圖 4-3見(jiàn)圖 4-4見(jiàn)圖 4-5見(jiàn)圖 4-67/18/20224醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章圖形:球面方程柱面方程橢圓拋物面圓錐面7/18/20225醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二、多元函數(shù)的概念定義4-1其中x、y稱為自變量, z 稱為因變量 .函數(shù)值 z0 = f (x0, y0) 在 xOy 平面上使函數(shù) f (x, y) 有定義的一切點(diǎn)的集合叫做函數(shù)的定義域 .7/18/20226醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章多元函數(shù).(補(bǔ)充): 鄰域類似地可

3、定義三元及三元以上函數(shù)7/18/20227醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例求 的定義域.解所求定義域?yàn)?/18/20228醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二元函數(shù) z = f (x, y) 的圖形（如下頁(yè)圖）7/18/20229醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面. 7/18/202210醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例如,例如,圖形如右圖.右下圖球面.單值分支:7/18/202211醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1. 二元函數(shù)的極限定義4-2 設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) P0 (x0, y0) 的某一鄰域內(nèi)有定義, P(x, y) 是定義域內(nèi)任一點(diǎn), 當(dāng)點(diǎn) P(x, y) 以任何路徑無(wú)限接近

4、于點(diǎn) P0(x0, y0) 時(shí), f (x, y)無(wú)限接近于一個(gè)定數(shù) A, 則稱 A 是函數(shù) f (x, y) 當(dāng) xx0、 yy0 或 P(x, y) P0(x0, y0) 時(shí)的極限, 也稱為二重極限 (double limit) . 記作7/18/202212醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章說(shuō)明:確定極限不存在的方法：(1) 定義中 P P0 的方式是任意的；(2) 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似.7/18/202213醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例證又當(dāng) x0, y0 時(shí),7/18/202214醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-9證1o 當(dāng)(x, y)沿 x 軸趨于( 0, 0)時(shí), 2o 當(dāng)(x, y)沿直線

5、 y = kx 趨于( 0, 0)時(shí), f (x, y) = 0;其值隨 k 值的不同而變化, 故 f(x, y) 的極限不存在.7/18/202215醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例:求證 證當(dāng) 時(shí)，原結(jié)論成立7/18/202216醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例:證證明 不存在. 取其值隨k的不同而變化，故 極限不存在7/18/202217醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章 觀察不存在. 播放7/18/202218醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章2. 二元函數(shù)的連續(xù)性定義4-3如果二元函數(shù) z = f (x, y) 滿足:(1) 在點(diǎn) P0(x0, y0) 的某一鄰域內(nèi)有定義;(2) 極限 存在;則稱函數(shù) z = f (x, y) 在

6、點(diǎn) P0 (x0 , y0) 處連續(xù). 如果函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)上都連續(xù), 則稱函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù). 函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)叫做間斷點(diǎn). 7/18/202219醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例:討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性.解取其值隨k的不同而變化,極限不存在.故 函數(shù)在(0,0)處不連續(xù).7/18/202220醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章多元初等函數(shù)： 由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù).一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的. 定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域7/18/2

7、02221醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章 一般地, 補(bǔ)充例:解7/18/202222醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)的概念二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義三、高階偏導(dǎo)數(shù)四、全微分7/18/202223醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章一、偏導(dǎo)數(shù)的概念定義4-47/18/202224醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章記為:7/18/202225醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章偏導(dǎo)函數(shù), 常簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)7/18/202226醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如 在 處 7/18/202227醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-16證原結(jié)論成立7/18/202228醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-18證7/18/202229醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)

8、的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1)、(2)、例如求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；解7/18/202230醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(3)、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如,？但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù).偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù).7/18/202231醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖7/18/202232醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章幾何意義:7/18/202233醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章三、高階偏導(dǎo)數(shù)定義:純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).7/18/202234醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例解7/18/202235醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章定理4-1問(wèn)題:混合偏導(dǎo)數(shù)

9、都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？7/18/202236醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章四、全微分由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得7/18/202237醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章全增量的概念7/18/202238醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章全微分的定義7/18/202239醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章習(xí)慣上,記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù) 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況7/18/202240醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例解所以7/18/202241醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例解所求全微分7/18/202242醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章可微的條件:定理

10、(1)（必要條件） 7/18/202243醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章說(shuō)明：定理(2)（充分條件）多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在，7/18/202244醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)7/18/202245醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章第三節(jié) 多元函數(shù)微分法一、復(fù)合函數(shù)微分法二、隱函數(shù)微分法7/18/202246醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章一、復(fù)合函數(shù)微分法定理4-2 設(shè)函數(shù) z = f (u, v) 是變量 u, v 的函數(shù), 而 u 和 v 又是變量 x, y 的函數(shù), u = u(x, y), v = v(x, y), 則z = f u(x, y), v(x

11、, y) 是自變量x, y 的二元復(fù)合函數(shù).7/18/202247醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章函數(shù)變量之間的復(fù)合關(guān)系圖:7/18/202248醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章類似地再推廣:7/18/202249醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章特例:7/18/202250醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.全導(dǎo)數(shù).如以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為7/18/202251醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-25解7/18/202252醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例分析z 是以 x, y 為自變量, 以u(píng), v 為中間變量的復(fù)合函數(shù), 其復(fù)合關(guān)系圖示意如下: 7/18/202253醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章解而因此同理7/18/202254醫(yī)用高

12、等數(shù)學(xué)第四章例4-26分析證明:z 是以 x, y 為自變量的抽象函數(shù). 則 z = f (u) 是以 u 為中間變量, x、y 為自變量的復(fù)合函數(shù), 其復(fù)合關(guān)系圖示意如下:7/18/202255醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章證已知 f (u) 為可微函數(shù), 于是故7/18/202256醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-28設(shè)z = arctan (xy), 而 y = e x,解7/18/202257醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似7/18/202258醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充(例4-25)-1解7/18/202259醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章多元函數(shù) (一階) 微分形式不變性全微分形式不變性的實(shí)質(zhì): 無(wú)

13、論 z 是自變量 x、y 的函數(shù)或中間變量u、v 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.7/18/202260醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二、隱函數(shù)微分法(1) 若 F(x, y) = 0, 其中 y = f (x).由全導(dǎo)數(shù)公式:即則有7/18/202261醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(2) F(x, y, z) = 0, 其中 z = f (x, y).則7/18/202262醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-30求由方程 y xe y+x = 0 所確定的 y 作為 x 的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解令得7/18/202263醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-31求由方程 e z - xyz = 0 所確定的函數(shù) z 的偏導(dǎo)數(shù).解令 F (x,

14、y, z) = e z - xyz , 則于是7/18/202264醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章第四節(jié) 多元函數(shù)的極值一、二元函數(shù)的極值二、條件極值7/18/202265醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章一、二元函數(shù)的極值播放7/18/202266醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章定義4-6極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 二元函數(shù)極值的定義7/18/202267醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例:例(3)(1)(2)(3)例(1)例(2)7/18/202268醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章定理4-3 (極值存在的必要條件)證7/18/202269醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章類似地可證推廣 7/18/202270醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章駐點(diǎn).定理4

15、-4 (極值存在的充分條件) 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)極值點(diǎn)問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意:7/18/202271醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章又則7/18/202272醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章求函數(shù) z = f (x, y) 極值的一般步驟:7/18/202273醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章多元函數(shù)的最值求最值的一般方法： 將函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值. 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.7/18/202274醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-32求函數(shù) f (x

16、, y)=x3 - y3 + 3x2 + 3y2 - 9x 的極值 . 解解方程組得駐點(diǎn): (1, 0) , (1, 2) , (-3, 0) , (-3, 2) 7/18/202275醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章列表討論如下: (x0 , y0) ABCB2ACf ( x0 , y0 ) (1 , 0)120672極小值 5(1 , 2)120672不是極值(-3 , 0)120672不是極值(-3 , 2)120672極大值 317/18/202276醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-33解顯然, 函數(shù)在圓周 x2 + y2 = 1 上的值到處是為求駐點(diǎn), 令解得 x = 0, y = 0 .這是函數(shù)在圓內(nèi)的

17、唯一駐點(diǎn), 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 f (0, 0) = 2 所以函數(shù)在點(diǎn) (0, 0) 處取得最大值 2 .7/18/202277醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二、條件極值( 注：此小節(jié)內(nèi)容不講, 略 )7/18/202278醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章第五節(jié) 二重積分一、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的計(jì)算7/18/202279醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章一、二重積分的概念與性質(zhì)曲頂柱體的體積柱體體積=底面積高特點(diǎn)：平頂.柱體體積=？特點(diǎn)：曲頂.曲頂柱體7/18/202280醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章播放:播放 求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示7/18/202281醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章步驟如下：2. 用若

18、干個(gè)小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積.1. 先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域;曲頂柱體的體積7/18/202282醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章* 求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量7/18/202283醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章2. 二重積分的概念定義4-77/18/202284醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(續(xù)上頁(yè)定義)積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式面積元素7/18/202285醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值7/18

19、/202286醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章直角坐標(biāo)系中的面積元素 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D，故二重積分可寫(xiě)為D則面積元素為7/18/202287醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章3. 二重積分的性質(zhì)性質(zhì)4-1性質(zhì)4-2當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）7/18/202288醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章性質(zhì)4-3性質(zhì)4-5對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)4-4若 為D的面積，若在D上特殊地則有7/18/202289醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章性質(zhì)4-6性質(zhì)4-7（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）7/18/202290醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二、二重積分的計(jì)算1. 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)

20、、 在區(qū)間 上連續(xù).X型7/18/202291醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(Y型)如果積分區(qū)域?yàn)?Y型7/18/202292醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章討論:應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得7/18/202293醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章區(qū)域的特點(diǎn) X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.7/18/202294醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-36解由圖知, 7/18/202295醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例積分區(qū)域D由 y =x+2,y =x, y =

21、0, y =2 所圍成的區(qū)域.解由 D 的圖可知, 7/18/202296醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章例4-38解法1 其中D是由雙曲線 x y =1,直線 y = x 和 y = 2 所圍成的區(qū)域.先積 y 后積 x .由圖可知上曲線為 y =2, 下曲線是由 y = 和 y = x 共同構(gòu)成的,將D分割成兩個(gè)區(qū)域D1= (x, y)| y2, x1 D2= (x, y)| xy2, 1x2 7/18/202297醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(續(xù)上頁(yè)解法1)7/18/202298醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章解法2先積 x 后積 y .由圖可知右曲線 x右= y , 左曲線 x左= , 1 y27/18/202299醫(yī)用高

22、等數(shù)學(xué)第四章例4-39如先對(duì) y 后對(duì) x 積分,其中D是由 y = x,y = 1 與 y 軸 所圍成的區(qū)域.解由圖可知,上曲線為 y上=1, 下曲線為 y下= x ,于是由于函數(shù) 的原函數(shù)不是初等函數(shù), 通常稱是積不出的, 因此二重積分化為先對(duì) y 后對(duì) x 的二次積分,計(jì)算不出.7/18/2022100醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章考慮先對(duì) x 后對(duì) y 的積分,左曲線為 x左= 0 , 右曲線為 x右= y ,因此由圖可知,7/18/2022101醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例1解積分區(qū)域如圖7/18/2022102醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例2解積分區(qū)域如圖7/18/2022103醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例

23、3解原式7/18/2022104醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例4解7/18/2022105醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章2. 極坐標(biāo)系下的二重積分的計(jì)算7/18/2022106醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖7/18/2022107醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章區(qū)域特征如圖7/18/2022108醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二重積分化為二次積分的公式（）區(qū)域特征如圖7/18/2022109醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二重積分化為二次積分的公式（）極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖7/18/2022110醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)例 1其中區(qū)域D =(x, y) |1x 2 + y 2 4解如圖,積分區(qū)域D為: 12, 02

24、.7/18/2022111醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)例 2(x, y) |1x 2 + y 2 9 且 y x 解如圖,積分區(qū)域D為: 13, 其中區(qū)域D =7/18/2022112醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)例 3其中區(qū)域D =(x, y) | x 2 + y 2 2x 解如圖,積分區(qū)域D為: 01, 0 2.區(qū)域邊界可用(x-1)2+y2=17/18/2022113醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例1解7/18/2022114醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充解7/18/2022115醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(續(xù)上頁(yè))7/18/2022116醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(續(xù)上頁(yè))7/18/2022117醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例4解7/18/

25、2022118醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充解7/18/2022119醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充解7/18/2022120醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章(續(xù)上頁(yè))7/18/2022121醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章二重積分的幾何意義為曲頂, 有界閉區(qū)域 D 為底的曲頂柱體的體積其中 D 為柱體在 xOy 平面上的投影 .7/18/2022122醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章補(bǔ)充例7求球體 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的體積 . 解第一卦限部分球面在xOy 平面上的投影區(qū)域其曲頂柱體的方程則 球體的體積作極坐標(biāo)變換:于是7/18/2022123醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章1不存在.觀察7/18/2022124醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章2觀察不存在.7/18/2022125醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章3觀察不存在.7/18/2022126醫(yī)用高等數(shù)學(xué)第四章4觀察不存在.7/18/2022127醫(yī)用高等