河南省許昌平頂山2022年高三第一次模擬考試數學試卷含解析

1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1的展開式中的常數項為( )A60B240C80D1802已知復數(1+i)(a+i)為純虛數(i為虛數單位)，則實數a=（ ）A-1B1C0D23已知集合，則全集則下列結論正確的是( )ABCD4函數的最大值為，最小正周期為，則有序數對

2、為（ ）ABCD5已知命題：，則為( )A，B，C，D，6有一改形塔幾何體由若千個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8，如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是（ ）A8B7C6D47已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD8設向量，滿足，則的取值范圍是ABCD9正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，側棱長為，則它的外接球的表面積為（ ）ABCD10已知直四棱柱的所有棱長相等，則直線與平面所成角的正切值等于（ ）ABCD11幻方最早起源于我國，由正整數1，2

3、，3，這個數填入方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形數陣就叫階幻方定義為階幻方對角線上所有數的和，如，則（ ）A55B500C505D505012已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上,平面,是邊長為的等邊三角形,若球的表面積為,則直線與平面所成角的正切值為()ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13的展開式中，若的奇數次冪的項的系數之和為32，則_14已知點是直線上的一點，將直線繞點逆時針方向旋轉角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉角，所得直線方程是，則直線的方程是_.15如圖，兩個同心圓的半徑分別為和，為大圓的一條 直徑，過點作小圓的切線交大圓于另一點

4、，切點為，點為劣弧上的任一點（不包括 兩點），則的最大值是_16一個空間幾何體的三視圖及部分數據如圖所示，則這個幾何體的體積是_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為，為其右焦點，且該橢圓的離心率為；（）求橢圓的標準方程；（）過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點，交直線于點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與直線交于點若，求取值范圍18（12分）如圖所示,直角梯形中,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.19（1

5、2分）設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為（1）當直線的傾斜角為時，求線段AB的中點的橫坐標；（2）設點A關于軸的對稱點為C，求證：M，B，C三點共線；（3）設過點M的直線交橢圓于兩點，若橢圓上存在點P，使得（其中O為坐標原點），求實數的取值范圍20（12分）已知函數.（1）若，解關于的不等式；（2）若當時，恒成立，求實數的取值范圍.21（12分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸的路程為S（千米）.設用汽

6、車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.22（10分）如圖，三棱柱中，與均為等腰直角三角形，側面是菱形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】求的展開式中的常數項，可轉化為求展開式中的常數項和項，再求和即可得出答案.【詳解】由題意，中常數項為，中項為，所以的展開式中的常數項為：.故選：D【點睛】本題主要考查二項式定理的應用和二項式展開式的通項公式

7、，考查學生計算能力，屬于基礎題.2B【解析】化簡得到z=a-1+a+1i，根據純虛數概念計算得到答案.【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數，故a-1=0且a+10，即a=1.故選：B.【點睛】本題考查了根據復數類型求參數，意在考查學生的計算能力.3D【解析】化簡集合，根據對數函數的性質，化簡集合，按照集合交集、并集、補集定義，逐項判斷，即可求出結論.【詳解】由，則，故，由知，因此，故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關系，求解不等式是解題的關鍵，屬于基礎題.4B【解析】函數（為輔助角）函數的最大值為，最小正周期為故選B5C【解析】根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，即得

8、答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，且命題：，.故選：.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于基礎題.6A【解析】則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，以此類推，能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8，則從下往上第二層正方體的棱長為：，從下往上第三層正方體的棱長為：，從下往上第四層正方體的棱長為：，從下往上第五層正方體的棱長為：，從下往上第六層正方體的棱長為：，從下往上第七層正方體的棱長為：，從下往上第八層正方體的棱長為：，改形塔的最上層正方體的邊

9、長小于1，那么該塔形中正方體的個數至少是8.故選：A.【點睛】本小題主要考查正方體有關計算，屬于基礎題.7B【解析】由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.8B【解析】由模長公式求解即可.【詳解】，當時取等號，所以本題答案為B.【點睛】本題考查向量的數量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.9C【解析】如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計算長度，設球半徑為，則，解得，得到答案

10、.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，故，設球半徑為，則，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.10D【解析】以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系求解平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解.【詳解】如圖所示的直四棱柱，取中點，以為坐標原點，所在直線為x軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標系設，則，設平面的法向量為，則取，得設直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正切值等于故選：D【點睛】本題考查了向量法求解線面角，考查了學生空間想象，邏輯推理，數學運算的能力，

11、屬于中檔題.11C【解析】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數的和相等，可得，即得解.【詳解】因為幻方的每行、每列、每條對角線上的數的和相等，所以階幻方對角線上數的和就等于每行（或每列）的數的和，又階幻方有行（或列），因此，于是故選：C【點睛】本題考查了數陣問題，考查了學生邏輯推理，數學運算的能力，屬于中檔題.12C【解析】設為中點,先證明平面，得出為所求角,利用勾股定理計算,得出結論【詳解】設分別是的中點平面 是等邊三角形 又平面 為與平面所成的角是邊長為的等邊三角形，且為所在截面圓的圓心球的表面積為 球的半徑平面 本題正確選項：【點睛】本題考查了棱錐與外接球的位置關系問題，關鍵是能夠通過

12、垂直關系得到直線與平面所求角，再利用球心位置來求解出線段長，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數次冪項分別為，其系數之和為，解得考點：二項式定理14【解析】求出點坐標，由于直線與直線垂直，得出直線的斜率為，再由點斜式寫出直線的方程.【詳解】由于直線可看成直線先繞點逆時針方向旋轉角，再繼續(xù)旋轉角得到，則直線與直線垂直，即直線的斜率為所以直線的方程為，即故答案為：【點睛】本題主要考查了求直線的方程，涉及了求直線的交點以及直線與直線的位置關系，屬于中檔題.15【解析】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角

13、坐標系，從而可得、，然后利用向量數量積的坐標運算可得，再根據輔助角公式以及三角函數的性質即可求解.【詳解】以為坐標原點，所在的直線為軸，的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，由，且，所以，所以，即 又平分，所以，則,設，則，所以，所以，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查了向量數量積的坐標運算、利用向量解決幾何問題，同時考查了輔助角公式以及三角函數的性質，屬于中檔題.16【解析】先還原幾何體，再根據柱體體積公式求解【詳解】空間幾何體為一個棱柱，如圖，底面為邊長為的直角三角形，高為的棱柱，所以體積為【點睛】本題考查三視圖以及柱體體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題三、解答題：共7

14、0分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）；（），【解析】（）由題意可得，的坐標，結合橢圓離心率，及隱含條件列式求得，的值，則橢圓方程可求；（）設直線，求得的坐標，再設直線，求出點的坐標，寫出的方程，聯立與，可求出的坐標，由，可得關于的函數式，由單調性可得取值范圍【詳解】（），由，得，又，解得：，橢圓的標準方程為；（）設直線，則與直線的交點，又，設直線，聯立，消可得解得，聯立，得，直線，聯立，解得，函數在上單調遞增，【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關系的應用，考查運算求解能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力18（1）見解析；（2）存在，長【

15、解析】（1）先證面,又因為面,所以平面平面.（2）根據題意建立空間直角坐標系. 列出各點的坐標表示,設,則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【詳解】解:（1）證明:因為四邊形為矩形,.面面又面平面平面（2）取為原點,所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標系.如圖所示:則,設,;,設平面的法向量為,不防設.,化簡得,解得或;當時,;當時,;綜上存在這樣的點,線段的長.【點睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用,考查利用線面所成角求參數問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計算能力.19 (1) AB的中點的橫坐標為；（2）證明見

16、解析；（3）【解析】設.（1）因為直線的傾斜角為，所以直線AB的方程為，聯立方程組，消去并整理，得，則，故線段AB的中點的橫坐標為（2）根據題意得點，若直線AB的斜率為0，則直線AB的方程為，A、C兩點重合，顯然M，B，C三點共線；若直線AB的斜率不為0，設直線AB的方程為，聯立方程組，消去并整理得，則，設直線BM、CM的斜率分別為、，則，即=，即M，B，C三點共線 （3）根據題意，得直線GH的斜率存在，設該直線的方程為，設，聯立方程組，消去并整理，得，由，整理得，又，所以， 結合，得，當時，該直線為軸，即，此時橢圓上任意一點P都滿足，此時符合題意； 當時，由，得，代入橢圓C的方程，得，整理，

17、得，再結合，得到，即，綜上，得到實數的取值范圍是20（1）（2）【解析】（1）利用零點分段法將表示為分段函數的形式，由此求得不等式的解集.（2）對分成三種情況，求得的最小值，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）當時，由此可知，的解集為（2）當時，的最小值為和中的最小值，其中，.所以恒成立.當時，且，不恒成立，不符合題意.當時，若，則，故不恒成立，不符合題意；若，則，故不恒成立，不符合題意.綜上，.【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查根據絕對值不等式恒成立求參數的取值范圍，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.21（1），.（2）當時，此時選擇火車運輸費最??；當時，此時選擇飛機運輸費用最省；當時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【解析】（1）將運費和損耗費相加得出總費用的表達式.（2）作差比較、的大小關系得出結論.【詳解】（1），.（2）， 故，恒成立，故只需比較與的大小關系即可，令，故當，即時，即，此時選擇火車運輸費最省，當，即時，即，此時選擇飛機運輸費用最省.當，即時，此時選擇火車或飛機運輸費用最省.【點睛】本題考查了常見函數的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎題.22（1）見解析（2）【解析】（1）取中點，連接，通