分布函數(shù)以及其基本性質(zhì)

1、關(guān)于分布函數(shù)及其基本性質(zhì)第一張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月 為了對離散型的和連續(xù)型的隨機(jī)變量以及更廣泛類型的隨機(jī)變量給出一種統(tǒng)一的描述方法，引進(jìn)了分布函數(shù)的概念. f (x)xo0.10.30.6kPK012第二張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月 |x定義：設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量，稱為 X 的分布函數(shù). 記作 X F(x) 或 FX(x). 如果將 X 看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù) F(x) 的值就表示 X落在區(qū)間的概率.第三張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月說明 X是隨機(jī)變量, x是參變量。 F(x) 是隨機(jī)變量X取值不大于 x 的概率。 由定義，對任意實(shí)數(shù) x

2、1x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間（ x1 , x2 的概率為：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1)第四張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算設(shè)離散型隨機(jī)變量分布律為PX=xk=pk,k=1,2,由概率的可列可加性得X的分布函數(shù)為F(x)= PXx=PXxk=pk這里和式是對于所有滿足xkx的k求和.第五張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) x0 時(shí)， X x = ， 故 F(x) =0例1，求 F(x).當(dāng) 0 x 1 時(shí)， F(x) = P(X x) = P(X=0) =F(x) = P(X x)解:第六張，PPT共二十頁

3、，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 1 x 2 時(shí)， F(x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1第七張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月 不難看出，F(xiàn)(x) 的圖形是階梯狀的圖形，在 x=0，1，2 處有跳躍，其躍度分別等于 P(X=0) , P(X=1) , P(X=2).第八張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月已知 X 的分布律為求X的分布函數(shù)，并畫出它的圖形。第九張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月-11230.250.51xF(x)F(x)的示意圖第十張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月 引進(jìn)分布函數(shù)F(x)后，事件的概率都可以用F(x)的函數(shù)值來表示

4、。P（Xb）=F(b)P（aXb）=F(b)-F(a)P（Xb）=1-P（Xb）=1 - F(b)P（aXb）=P(X b)-P(Xa)= F(b)- F(a)第十一張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月例:設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù),并求PX1/2,P3/2X 5/2,P2 X 3.解:由概率的有限可加性得即 PX1/2=F(1/2)=1/4 P3/2X 5/2 =F(5/2)-F(3/2) =3/4 -1/4=1/2 P2 X 3 = F(3)-F(2)+PX=2 =1-1/4+1/2=3/4第十二張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月解 (1) 第十三張，PPT共二十頁，創(chuàng)

5、作于2022年6月(2) 第十四張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月分布函數(shù)的性質(zhì) 第十五張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月試說明F(x)能否是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù).例 設(shè)有函數(shù) F(x)解： 注意到函數(shù) F(x)在 上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)， 可見F(x)也不能是隨機(jī)變量的分布函數(shù).或者第十六張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月 例 在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以 X 表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo). 設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長度成正比，試求 X 的分布函數(shù). 解：設(shè) F(x) 為 X 的分布函數(shù)，當(dāng) x a 時(shí)，F(xiàn)(x) =1第十七張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月當(dāng) 0 x a 時(shí)， P(0 X x) = kx (k為常數(shù) )由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a第十八張，PPT共二十頁，創(chuàng)作于2022年6月問一問是不是某一