大學(xué)__數(shù)學(xué)專業(yè)__空間解析幾何__第一章__向量代數(shù)-課件

1、高等院校本科數(shù)學(xué)課程 空間解析幾何 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第一講 向量向量的加法數(shù)量乘向量腳本編寫：教案制作：月黑雁飛高，單于夜遁逃。欲將輕騎逐，大雪滿弓刀。 塞下曲唐盧綸北方大雪時(shí)，群雁早南歸。月黑天高處，怎得見雁飛。 教是為了不教,學(xué)然后會(huì)自學(xué). 學(xué)會(huì)思考嘗試研究性的學(xué)習(xí)方法：提出問題、研究問題、解決問題注重持續(xù)性學(xué)習(xí)：有計(jì)劃地安排學(xué)習(xí)借鑒周圍同學(xué)的學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)遇到困難怎么辦？ 定義1.1.1 既有大小又有方向的量叫做向量，或稱矢量.向量(矢量)既有大小又有方向的量.向量的幾何表示：1.1 向量的概念| |向量的模長：向量的大小.或或兩類量: 數(shù)量(標(biāo)量):可用一個(gè)數(shù)值來描述的量;有向線段有

2、向線段的方向表示矢量的方向.有向線段的長度表示矢量的大小,模長為1的向量稱為單位向量.模長為0的向量稱為零向量， 它的方向可以看作是任意的.特別:| |向量的模長：向量的大小.或非負(fù)性3. 自由向量自由向量: 只有大小、方向, 而無特定起點(diǎn)的向量. 具有在空間中可以任意平移的性質(zhì). 定義1.1.2 如果兩個(gè)向量的模長相等且方向相同，那么叫做相等向量.記為所有的零矢量都相等. 定義1.1.3 兩個(gè)模長相等，方向相反的矢量叫做互為反向量. 定義1.1.2 如果兩個(gè)向量的模長相等且方向相同，那么叫做相等向量.記為零矢量與任何共線的矢量組共線. 定義1.1.4 平行于同一直線的一組矢量叫做共線矢量.

3、定義1.1.5 平行于同一平面的一組矢量叫做共面矢量.零矢量與任何共面的矢量組共面.1.2、向量的加法OAB這種求兩個(gè)向量和的方法叫三角形法則.三角不等式OABC這種求兩個(gè)向量和的方法叫做平行四邊形法則定理1.2.2 向量的加法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2） 定理1.2.1 如果把兩個(gè)向量 為鄰邊組成一個(gè)平行四邊形OACB，那么對(duì)角線向量 （3）結(jié)合律：定理1.2.2 向量的加法滿足下面的運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）OA1A2A3A4An-1An 這種求和的方法叫做多邊形法則.OAB三角不等式向量減法三角不等式（a） 平行四邊形法則.將 之一平移, 使起點(diǎn)重合, 作以 為鄰邊的平行

4、四邊形, 對(duì)角線向量, 為 （b）三角形法則.將 之一平移, 使起點(diǎn)重合, 由 的終點(diǎn)向 的終點(diǎn)作一向量, 即為 ABC例2 試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與 平行且相等,結(jié)論得證.同理可得，平行且相等,1.3 數(shù)量乘向量按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定， 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模長的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.兩個(gè)向量的平行關(guān)系定理1.3.1 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）第一分配律：定理1.3.1 數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）第一分配律：（3）第二分配律：簡要證明：時(shí)，例1 證明:例1.設(shè)P, Q分別是ABC

5、的BC, AC邊的中點(diǎn), AP與BQ交于點(diǎn)M. 證明:ABCMAM = AP.23PQABCST由條件可知: BC = 2BP, AC = 2AQ.往證點(diǎn)S與點(diǎn)T重合, 即AS = AT.PQ設(shè)AS = AP, BT = BQ, 2323例1 設(shè) 是 的中線,求證:例2 用向量法證明:聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段平行與第三邊且等于第三邊的一半.作業(yè) P 951. (1)(2) 4. 2. (1)(2) 3. 高等院校本科數(shù)學(xué)課程 空間解析幾何 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二講 向量的線性關(guān)系與向量的分解 腳本編寫：教案制作：1.4 向量的線性關(guān)系與向量的分解平行四邊形法則 例1 證明四面體對(duì)邊中點(diǎn)的連線

6、交于一點(diǎn)，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3連接AF，因?yàn)锳P1是AEF 的中線，所以有又因?yàn)锳F是ACD 的中線，所以又有BCDEFP1e1e2e3A例3 試用向量方法證明：空間四邊形相鄰各邊中點(diǎn)的連線構(gòu)成平行四邊形.證: 只要證 EFGH例3 設(shè)試證三點(diǎn)共線的充要條件是存在不全為零的實(shí)數(shù)使得且作業(yè) P956. 7. 10. 12. 高等院校本科數(shù)學(xué)課程 空間解析幾何 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第三講 標(biāo)架與坐標(biāo) 向量在軸上的射影 腳本編寫：教案制作：1.5 標(biāo)架與坐標(biāo)橫軸縱軸豎軸定點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:

7、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn)二、點(diǎn)的直角坐標(biāo) (稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo))xyz坐標(biāo)軸 : 坐標(biāo)面 :在各卦限中點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)?二、空間兩點(diǎn)間的距離 因?yàn)閨M1M2|2=|M1Q|2+|M2Q|2=|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2 ，M1所以|M2Q|=|z2z1|。| PQ |=|y2y1|， 設(shè)M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)為空間兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離d。|M1P|=|x2x1|， 作一個(gè)以 M1和 M2 為對(duì)角線頂點(diǎn)的長方體，使其三個(gè)相鄰的面分別平行于三個(gè)坐標(biāo)面。O x y z M2x2x1 y1 y2PQz1z2注意：稱為向量 的坐標(biāo)分解式.xyz顯然，向量的坐標(biāo)

8、：向徑：在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分向量：M (x, y, z)起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的向量. (3). 運(yùn)算性質(zhì)設(shè) a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 則 a b = (ax bx , ay by , az bz )證明: a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )四、利用坐

9、標(biāo)作向量的線性運(yùn)算向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式特殊地：定義 稱 是向量 在仿射坐標(biāo)系 下的坐標(biāo).(4) 兩向量平行的充要條件.設(shè)非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 因此ax =bx, ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 規(guī)定若某個(gè)分母為零相應(yīng)的分子也為零. a / b(*) a / b a = b則(為常數(shù))例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3) 即 (ax , ay , az) =(bx , by , bz), 解設(shè)為直線上的點(diǎn)，由題意知：由題意知：四. 向量在軸上的投影1. 點(diǎn)在軸上投影設(shè)有空

10、間一點(diǎn) A 及軸 u, 過 A 作 u 軸的垂直平面 ,平面 與 u 軸的交點(diǎn)A 叫做點(diǎn) A 在軸 u 上的投影.AAu2. 向量在軸上的投影.設(shè)有向線段AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為點(diǎn)A 和B . 定義1.3:BBAAu向量AB在軸u上的投影向量或射影向量.稱有向線段A B 為如果向量e為與軸u的正方向的單位向量，則稱 x 為向量 AB 在軸u上的投影，記作則向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue3. 兩向量的夾角設(shè)有非零向量(起點(diǎn)同).規(guī)定：正向間位于0到之間的那個(gè)夾角為 的夾角,記為 或(1) 若 同向，則(2) 若 反向，則(3) 若 不平行，則說明：投影為正；投影為

11、負(fù)；投影為零；BBAAue定理1.2. (投影定理) 設(shè)向量AB與軸u的夾角為則 ProjuAB = | AB |cos BBAAuB1BBAAue定理1.3 兩個(gè)向量的和在軸u上的投影等于兩上向量在該軸上的投影的和。推論:BBAAuCC即即定理1.4: 實(shí)數(shù)與向量 的乘積在軸u上的投影，等于乘以向量 在該軸上的投影。定理1.2. (投影定理) 設(shè)向量AB與軸u的夾角為則 ProjuAB = | AB |cos zijkMoxyCABzyxN 向量在 軸上的投影 向量在 軸上的投影 向量在 軸上的投影作業(yè) P9513. 14. 15 高等院校本科數(shù)學(xué)課程 空間解析幾何 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第四

12、講 數(shù)量積與向量積腳本編寫：教案制作：啟示:實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.1.7 兩向量的數(shù)量積M1M2數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模長和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積.定義關(guān)于數(shù)量積的說明：證證數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若 為數(shù)：若 、 為數(shù)：（2）分配律：（1）交換律： 例. 用向量法證明余弦定理. ABC故證明: 如圖所示，設(shè)數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式例如兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式由此可知兩向量垂直的充要條件為：解例1解例3證 例 證明三角形的三條高交于一點(diǎn)。 ABCO以上兩式相加，可得 。所以 中BC

13、邊上的高通過O點(diǎn)。這就證明了三高相交于一點(diǎn)。 證明: 設(shè) 邊AB,CA上的高交于O點(diǎn)，以O(shè)為始點(diǎn)，以A,B,C為終點(diǎn)的向量分別記為 。zijkMoxyCABzyxN由于：從而：此即向量模的坐標(biāo)表示. 為空間兩點(diǎn). 空間兩點(diǎn)間距離公式解原結(jié)論成立. 在 z 軸上求與兩點(diǎn) A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn).設(shè)該點(diǎn)為M(0, 0, z) ,由題設(shè) ,即解得即所求點(diǎn)為例4解 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角.由圖分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向.設(shè)故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cos三、向量的模長與

14、方向余弦的坐標(biāo)表示式.1. 方向角: 非零向量a 與x, y, z 軸正向夾角, , , 稱為a 的方向角.2. 方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos, 稱為方向余弦.3. 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cosayzx0設(shè)a =(ax, ay, az)又： ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | coscos2 +cos2 +cos2 = 1設(shè)e是與a同向的單位向量e= (cos , cos , cos )ayzx0例2.1. 已知兩點(diǎn)M1(2, 2, )和M2(

15、1, 3, 0). 計(jì)算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角. 解: M1 M2 = (1, 1, )|M1 M2 | =解實(shí)例1.8 兩向量的向量積定義向量積也稱為“叉積”,“外積”.關(guān)于向量積的說明：/證/向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）若 為數(shù)：引理ca將矢量a一投一轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)900），證明引入證畢(a+b)c=(a c)+(b c)c03. 證明矢量積的分配律: 兩矢方向:一致；a2|a2|= |a1|a2得a2(a+b)c=(a c)+(b c)cbaa+b由矢量和的平行四邊形法則，c03. 證明矢量積的分配律: .將平行四邊形一投一轉(zhuǎn)(a+b)c=(a c)+(b c)cbaa+

16、b(a+b)cac由矢量和的平行四邊形法則，得證c03. 證明矢量積的分配律: .bc將平行四邊形一投一轉(zhuǎn)(a+b)c=(a c)+(b c)作業(yè) P9622.(2)(3) 29. 30. 32. 33. 高等院校本科數(shù)學(xué)課程 空間解析幾何 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第五講 向量的混合積腳本編寫：教案制作：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）（2）分配律：（3）若 為數(shù)：關(guān)于向量積的說明：/向量積的坐標(biāo)表達(dá)式o關(guān)于向量積的說明：ijk設(shè)o向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用行列式表示設(shè)向量積的助記符-行列式表示:向量積模長的幾何意義向量積的應(yīng)用：（2）方向.（1）模;例1解例3.1求以 = (2, 1, 1),

17、 =(1, 1, 2)為兩邊的平行四邊形的面積.解：S| |.S=而S=| |= i5j 3k= (1, 5, 3),=| |.S例3.1求以 = (2, 1, 1), =(1, 1, 2)為兩邊的平行四邊形的面積.例4. 已知三點(diǎn)角形 ABC 的面積. 解: 如圖所示,求三解解三角形ABC的面積為2. 用向量方法證明正弦定理:證: 由三角形面積公式所以因定義設(shè)1.9 向量的混合積解設(shè)向量 (ax, ay, az), 則有 = (cx, cy, cz), (bx, by, bz),記(3.9)式 (3.9) 稱為混合積 ( ) 的坐標(biāo)表示。 設(shè)向量 (ax, ay, az), = (cx, cy, cz), (bx, by, bz),bc a baS=|a b|h4. 混合積的幾何意義hac a bb4. 混合積的幾何意義.hac a bb4. 混合積的幾何意義.其混合積 abc = 0三矢 a, b, c共面因此，（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說明：由幾何意義可證bca解例1bca解的絕對(duì)值.例7. 證明四點(diǎn)共面 .解: 因故 A , B , C , D 四點(diǎn)共面 .復(fù)合積三個(gè)向量其中兩個(gè)向量先做向量積，得到一個(gè)向量再與另一個(gè)向量作向量積，稱為這三個(gè)向量的復(fù)合積或注：叫二重向量