第三章空間問題的有限元方法(共7頁)

1、PAGE PAGE 9第三章 空間(kngjin)問題(wnt)的有限元方法(fngf)3.1 引言 許多工程實(shí)際問題，屬于空間問題，由于結(jié)構(gòu)形狀或受力的復(fù)雜性，用經(jīng)典彈性理論去求解它們的解析解是不可能的。而有限元法處理此類問題，原則上不存在什么困難，本章將介紹一般空間問題的四面體單元。3.2 一般空間問題的有限元列式3.2.1 單元位移模式及插值函數(shù)空間問題中，每個(gè)單元有四個(gè)結(jié)點(diǎn)，編碼為i,j,m,p。每個(gè)結(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量。每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移可用位移矢量表示，即 單元結(jié)點(diǎn)的位移向量可表示為為單元結(jié)點(diǎn)位移列陣。假設(shè)單元內(nèi)的位移模式選取一次多項(xiàng)式 （3.2.1）由于四個(gè)結(jié)點(diǎn)也在單元內(nèi)，滿足位移模式

2、，于是得 （3.2.2）上式是關(guān)于(guny)的線性方程組。是待定常數(shù)(chngsh)，也稱為廣義坐標(biāo)。它可由（3.2.2）式求出。上式的系數(shù)(xsh)行列式是 （3.2.3）上式中當(dāng)i,j,m,p的編號順序滿足右手法則，V值為正，其大小為四面體體積，因此為了方便單元的編號一般滿足右手法則。求得后,回代入位移模式得 (3.2.4)式中 (3.2.5) （3.2.6） 上式下標(biāo)輪換，可得,及。同理,也可得到其它兩式,于是得 （3.2.7）其中(qzhng) (3.2.8)稱為單元的插值函數(shù)(hnsh)或形函數(shù)，這里它是的一次函數(shù)，其中(qzhng)，,及是常數(shù)，由表達(dá)式可知，它完全由單元的大小和

3、方位確定，一旦單元確定了，這些常數(shù)也完全確定。 （3.2.7）式的矩陣形式是 （3.2.9）稱為插值函數(shù)矩陣或形函數(shù)矩陣。3.2.2應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣 應(yīng)變確定了單元位移后，可以很方便地利用幾何方程和物理方程求得單元的應(yīng)變和應(yīng)力。在（1.4.21）式的幾何方程中，位移用（2.2.11）式代入，得到單元應(yīng)變?yōu)?（3.2.10）B稱為(chn wi)應(yīng)變矩陣。應(yīng)變(yngbin)矩陣的分塊矩陣是 （3.2.11）可以看出，應(yīng)變矩陣B中的元素都是常量，從而單元(dnyun)中的應(yīng)變都是常量，所以三維線性位移模式的四面體單元是常應(yīng)變單元。 應(yīng)力單元應(yīng)力可以根據(jù)物理方程求得， 其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下：或于是

4、應(yīng)力(yngl)向量可表示為 （3.2.12）式中D為彈性(tnxng)矩陣，而 （3.2.13） 從而可以到，三大物理參量(cnling)，都可以用單元結(jié)點(diǎn)位移向量表示：由于N，B，S都是已知的矩陣，只要求得，則單元內(nèi)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力就可以就得，問題是：如何求結(jié)點(diǎn)位移向量3 單元?jiǎng)偠染仃嚭徒Y(jié)點(diǎn)載荷向量 對于三維單元，單元?jiǎng)偠染仃囈簿哂猩险滤懻摰膯卧獎(jiǎng)偠染仃嚨囊话阈问剑?（3.2.15）寫成分塊矩陣(j zhn)的形式 （3.2.16）每個(gè)子矩陣(j zhn)為等效結(jié)點(diǎn)(ji din)載荷 （3.2.17）是單元等效結(jié)點(diǎn)載荷（體力和面力引起的等效結(jié)點(diǎn)力）， 是其他單元對該單元的作用力，則

5、單元結(jié)點(diǎn)力為與和。體積力的等效結(jié)點(diǎn)載荷： 面積力的等效結(jié)點(diǎn)載荷： 這里(zhl)給出兩種常見的載荷的等效結(jié)點(diǎn)力：）均質(zhì)單元的自重分配(fnpi)到四個(gè)結(jié)點(diǎn)的等效結(jié)點(diǎn)力，其數(shù)值都等于；）設(shè)單元的某一邊(ybin)界面上，例如，受有線性分布載荷，它在三個(gè)結(jié)點(diǎn)處的強(qiáng)度分別為，則分配到結(jié)點(diǎn)i上的等效結(jié)點(diǎn)力的數(shù)值為 為受力面三角形面積。方向與原方向平行。3.2.4結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)載荷列陣的集成由單元分析可得有限元列式為 （3.2.18）經(jīng)疊加，組合，得有限元方程其中式中為擴(kuò)大后的單元?jiǎng)偠染仃?；為擴(kuò)大后的單元等效結(jié)點(diǎn)載荷；為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的單元數(shù)。內(nèi)容總結(jié)（1）第三章 空間問題的有限元方法3.1 引言 許多工程實(shí)際問題，屬于空間問題，由于結(jié)構(gòu)形狀或受力的復(fù)雜性，用經(jīng)典彈性理論去求