概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件5

1、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布第二章 隨機(jī)變量及其分布1.1 隨機(jī)變量一隨機(jī)變量的概念 為了更深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象, 就要建立數(shù)學(xué)模型，隨機(jī)變量是隨機(jī)現(xiàn)象的最基本的數(shù)學(xué)模型. 引入了隨機(jī)變量，我們就可以用隨機(jī)變量的值表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此引入了隨機(jī)變量的概念 1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）例如 擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 觀察某天從北京下火車的人數(shù)； 觀察昆蟲的產(chǎn)卵數(shù) 2、此外，還有些試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果. 也就是說，可以將試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化 正如裁判員

2、在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼一樣，二者之間建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù) 例1 擲一顆骰子, 樣本空間是用X 表示擲出的點(diǎn)數(shù), 稱X 是隨機(jī)變量表示擲出的點(diǎn)數(shù)不超過3是事件并且再看兩個(gè)例子將X 視為 上的函數(shù)則是事件例1（續(xù)）例2 在一副撲克的52 張中任取一張 樣本空間的每個(gè)樣本點(diǎn)表示一張撲克用X 表示所取撲克的大小稱X 是隨機(jī)變量表示所取到的撲克是3 =草花3, 黑桃3, 紅桃3, 方塊3 是事件將X 視為樣本空間上的函數(shù)則例2（續(xù)） 可以看出，上述隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)著變量X 的一個(gè)確定的取值，因此變量X 是樣本空間 上的實(shí)值函數(shù):

3、 并且定義了隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量的取值情況來刻劃隨機(jī)事件W 由此看到，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，因此引入隨機(jī)變量的概念定義1.1通常將隨機(jī)變量 簡記為X 一般用X，Y，Z， 等表示隨機(jī)變量 隨機(jī)變量X 是定義在樣本空間 上的 實(shí)值函數(shù): 對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn) 一個(gè)實(shí)數(shù)， 是 1、 隨機(jī)變量X 隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值 2、 由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率說 明說 明3、我們用 表示事件 表示事件 對(duì)于實(shí)數(shù)的集合A,我們用 即即 4、 在許多實(shí)際問題中, 一

4、個(gè)隨機(jī)變量X 的含義是十分清楚的, 所以一般不再關(guān)心隨機(jī)變量X 在樣本空間上是如何定義的. 可以認(rèn)為X的所有取值就是我們的樣本空間. 只是在必要的時(shí)候才將自變?cè)?寫出來說 明 引入了隨機(jī)變量, 隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來 可見，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi). 也可以說，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn). 就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣二隨機(jī)變量的意義 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機(jī)變量后，對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對(duì)事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對(duì)隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究

5、例3 一批產(chǎn)品有50 件，其中有8件次品，42 件正品，現(xiàn)從中取出 6 件 X 表示取出6 件產(chǎn)品中的次品數(shù) 則X 就是一個(gè)隨機(jī)變量 它的取值為 0，1，2，6表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機(jī)事件 表示取出的產(chǎn)品至少有一件是次品這一隨機(jī)事件 例4 上午 8:009:00 在某路口觀察 Y 表示該時(shí)間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù) 則Y 就是一個(gè)隨機(jī)變量 它的取值為 0，1，表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機(jī)事件注意 Y 的取值是可列無窮個(gè)！表示通過的汽車數(shù)大于50 輛但不超過100輛這一隨機(jī)事件 例5 觀察某生物的壽命（單位：小時(shí)） Z 表示該生物的壽命 則Z 就是一個(gè)隨機(jī)變量 它的取值為所有非負(fù)實(shí)數(shù)表示

6、該生物的壽命大于 3000小時(shí)這一隨機(jī)事件表示該生物的壽命不超過1500小時(shí)這一隨機(jī)事件注意 Z 的取值是不可列無窮個(gè)例6 擲一枚硬幣，令則X 是一個(gè)隨機(jī)變量注意在同一個(gè)樣本空間上可以定義不同的隨機(jī)變量 例7 擲一枚骰子，在例1中，我們定義了隨機(jī)變量 X 表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).我們還可以定義其它的隨機(jī)變量，例如我們可以定義等等一. 離散型隨機(jī)變量的概念與性質(zhì)2.2 離散型隨機(jī)變量 有些隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列個(gè)值，比如，被訪問者的性別、年齡、職業(yè); 一批產(chǎn)品中次品個(gè)數(shù); 一個(gè)醫(yī)學(xué)試樣中白細(xì)胞個(gè)數(shù); 擲兩個(gè)骰子第一次得到12點(diǎn)的次數(shù);等等 定義 2.1如果隨機(jī)變量 X 只取有限個(gè)值或可列個(gè)值則稱 X

7、 是離散型隨機(jī)變量,簡稱為離散隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的定義設(shè)X 是離散型隨機(jī)變量，稱離散型隨機(jī)變量的概率分布定義 2.2為X 的概率分布; 稱 是概率分布列, 簡稱為分布列 離散型隨機(jī)變量的概率分布也常常用如下方式表達(dá)說 明 離散型隨機(jī)變量可完全由其分布列來刻劃. 即離散型隨機(jī)變量可完全由其可能取值以及取這些值的概率唯一確定分布列具有如下性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是概率分布例1 從110這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)取出5個(gè)數(shù)字，X 表示取出的5個(gè)數(shù)字中的最大值. 試求X 的分布列即 X 的分布列為解: X 的取值為5，6，7，8，9，10. 并且例2 將 1枚硬幣擲 3次，X 表示出現(xiàn)的正面次數(shù)與

8、反面次數(shù)之差. 試求X 的分布列解: X 的取值為-3，-1，1，3則 X 的分布列為例3 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為 則例3（續(xù)）例4 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布列為解: 由分布列的性質(zhì)，得該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有所以試求常數(shù)c例5 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號(hào)燈，每盞信號(hào)燈以 1/2 的概率允許或禁止汽車通過. 以X 表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的盞數(shù)，求 X 的分布列. (信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的)PX=3=(1-p)3p可愛的家園解: 以 p 表示每盞信號(hào)燈禁止汽車通過的 概率，則 X 的分布列為 0 1 2 3 4 Xpk p (1-p)p (1-p)2p (1

9、-p)3p (1-p)4 或?qū)懗?PX= k = (1- p)k p， k = 0,1,2,3 PX= 4 = (1-p)4 例5 (續(xù))以 p = 1/2 代入，得Xpk 0 1 2 3 4 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625例5 (續(xù))二. 幾種常用的離散型隨機(jī)變量如果X 只取 0或 1，概率分布是或 則稱隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 p的兩點(diǎn)分布 1.兩點(diǎn)分布 (Bernoulli分布) 記作 兩點(diǎn)分布的概率背景X 表示在一次試驗(yàn)中事件A 發(fā)生的次數(shù)令記則 任何一次試驗(yàn)，當(dāng)只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果A與 時(shí)，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.就可以用兩點(diǎn)分布來描

10、述例6 15件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品，從中任取1件.X 表示取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù).則X 的取值為 0 或者 1，并且如果隨機(jī)變量 X 有如下的概率分布2.二項(xiàng)分布 (Binomial分布)則稱X 服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布, 記作 二項(xiàng)分布的概率分布示意圖說 明1.顯然，當(dāng) n = 1 時(shí)此時(shí)，X 服從兩點(diǎn)分布這說明，兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例第k+1項(xiàng) 2.稱為二項(xiàng)分布的原因是 為 二項(xiàng)展開式二項(xiàng)分布的概率背景進(jìn)行n重貝努里試驗(yàn)，設(shè)在每次試驗(yàn)中X 表示在 n 重貝努里試驗(yàn)中事件 A 發(fā)生的次數(shù)則 一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果 A或 ，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果

11、叫做“成功”和“失敗” 再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行 n 次獨(dú)立試驗(yàn) ( “重復(fù)” 是指這個(gè)試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同 ) 每次試驗(yàn)成功的概率都是 p，失敗的概率都是 q = 1- p 這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作 n 重貝努里試驗(yàn)，簡稱貝努里試驗(yàn)或貝努里概型n重貝努里試驗(yàn) 對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行 n 次射擊，若每次射擊只關(guān)心“擊中目標(biāo)”與“未擊中目標(biāo)” 兩種情況n重貝努里試驗(yàn)的例子 擲 n 次硬幣，只關(guān)心“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”這兩種情況; 擲 n 顆骰子，如果我們對(duì)每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點(diǎn)”與“不出現(xiàn)六點(diǎn)”這兩種情況;注: 貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的

12、是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù) X 的概率分布（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或 ， 且 P (A) = p ， （3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.設(shè)在n重貝努里試驗(yàn)中每一個(gè)樣本點(diǎn)可記作現(xiàn)考慮事件n 重貝努里試驗(yàn)中事件A 恰好發(fā)生k 次，Bkn=其中每一個(gè) 只取 A 或 ，個(gè)():現(xiàn)求概率，knBP分析在 n 次試驗(yàn)中，指定 k 次出現(xiàn) A(成功)，其余 n k 次出現(xiàn) (失敗)，這種指定的方法有 種 而對(duì)于每一種指定好的方法，有 因此 用X 表示 n重貝努里試驗(yàn)中事件 A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則稱X 服從參數(shù)為 n和 p的二項(xiàng)分布，記作 X B ( n , p )二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)演示例

13、7 一張考卷上有5 道選擇題，每道題列出4個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的.某學(xué)生靠猜測(cè)至少能答對(duì)4 道題的概率是多少？則答 5 道題相當(dāng)于做 5 重貝努里試驗(yàn)解: 每答一道題相當(dāng)于做一次試驗(yàn)則令 X 表示該學(xué)生靠猜測(cè)能答對(duì)的題數(shù)例7（續(xù)）所以P 至少能答對(duì)4 道題2.泊松分布(Poisson 分布)如果隨機(jī)變量 X 有如下的概率分布記作 其中 是常數(shù).則稱X 服從參數(shù)是 的Poisson分布,泊松分布的圖形泊松分布隨機(jī)數(shù)演示Poisson分布的應(yīng)用電話總機(jī)在某一時(shí)間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù);放射物在某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù);容器在某一時(shí)間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細(xì)菌數(shù),等等.在一定條件下，都是服從Po

14、isson分布的Poisson分布是概率論中重要的分布之一自然界及工程技術(shù)中的許多隨機(jī)指標(biāo)都服從Poisson分布，例如例8 1910年, 著名科學(xué)家Rutherford(羅瑟福) 和 Geiger (蓋克) 觀察了放射性物質(zhì)釙放射 粒子的情況他們進(jìn)行了N=2608次觀測(cè), 每次觀測(cè)7.5秒,一共觀測(cè)到10094個(gè) 粒子放出,下面的表是觀測(cè)記錄觀測(cè)到的粒子數(shù) k觀測(cè)到k 個(gè)粒子的次數(shù) 發(fā)生的頻率 0 570.0220.021 12030.0780.081 23830.1470.156 35250.2010.201 45320.2040.195 54080.1560.151 62730.1050

15、.097 71390.0530.054 8 450.0170.026 9 270.0100.01110+ 160.0060.007 總計(jì) 2608 0.999 1.00 用Y 表示這塊放射性釙在7.5秒內(nèi)放射出的 粒子數(shù) 在 N = 2608 次重復(fù)觀測(cè)中發(fā)生的頻率和 基本相同. 見書p42圖表的最后兩列表明,事件 其中的Y 是服從 分布的隨機(jī)變量， 是7.5秒中放射出 粒子的平均數(shù) 設(shè)在n重貝努里試驗(yàn)中，以 代表事件 A 在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率 ,它與試驗(yàn)總數(shù)n 有關(guān). 若 Poisson定理則證明:令則Poisson定理的證明(續(xù))對(duì)于固定的 k，有得由Poisson定理的證明(續(xù))所以P

16、oisson定理的應(yīng)用 二項(xiàng)分布與泊松分布關(guān)系 由 Poisson 定理，可知有令則當(dāng) n比較大，p 比較小時(shí)上面我們提到單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二項(xiàng)分布 泊松分布例9 為了保證設(shè)備正常工作，需配備適量的維修工人，現(xiàn)有同類型設(shè)備 300臺(tái)，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01. 在通常情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可有一人來處理. 問至少需配備多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于0.01 ？解: 設(shè)需配備 N 人，記同一時(shí)刻發(fā)生故障的 設(shè)備臺(tái)數(shù)為X， 則 X B ( 300，0.01） 欲確定最小的 N 的取值，使得查表可知，滿足上式的最小的 N是 8, 因此至

17、少需配備 8 個(gè)工人例9 (續(xù))例10 設(shè)有 80 臺(tái)同類型的設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是 0.01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法:其一，由 4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé) 20 臺(tái)其二，由 3 人，共同維護(hù) 80 臺(tái)試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小 解: 按第一種方法. 以 X 記“第1人負(fù)責(zé) 的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)” 則 X B ( 20，0.01）以 Ai 表示事件 “第 i 人負(fù)責(zé)的臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修”則 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為例10 (續(xù))按第二種方法. 以 Y 記 80 臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故

18、障的臺(tái)數(shù)則 Y B ( 80 , 0.01）故 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為第二種方法中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小，且維修工人減少一人。運(yùn)用概率論討論國民經(jīng)濟(jì)問題，可以有效地使用人力、物力資源例10 (續(xù))解: 隨機(jī)變量 X 的分布律為由已知 試求 例11 設(shè)隨機(jī)變量X 服從參數(shù)為 的Poisson分布， 且已知例11（續(xù)）得由此得方程得解所以（另一個(gè)解 不合題意，舍去） 4.超幾何分布(Hypergeometric分布)H(n, M, N)如果隨機(jī)變量 X 有如下的概率分布則稱 X 服從超幾何分布記作 超幾何分布的概率背景 一批產(chǎn)品有 N 件，其中有 M 件次品，其余 N-M件為正品現(xiàn)從中取出 n 件， X 表示取出 n 件產(chǎn)品中的次品數(shù) 則 X 的分布列為如果隨機(jī)變量 X 有如下的概率分布5.幾何分布(Geometric分布)