第五章相似矩陣及二次型(共31頁(yè))

1、第五章相似矩陣及二次型1試用(shyng)施密特法把下列(xili)向量組正交化(1) (a1, a2, a3)1 1 11 2 41 3 9解根據(jù)(gnj)施密特正交化方法1b1a111b ,a 1ba1 2 b02 2 b ,b 1 11 11bab1,a3bb2,a3b 123 3 b ,b 1b ,b 2 311 1 2 2111011101110(2) (a1, a2, a3)解根據(jù)施密特正交化方法10b1 a1 11b2 a2b1,a2b113321b ,b 11 1bab1,a3b1b2,a3 133 3 b ,b 1bb ,b 2 5341 1 2 22下列(xili)矩陣是不

2、是正交陣:11123(1)11212;11132184999814999447999解此矩陣(j zhn)的第一個(gè)行向量非單位向量, 故不是(b shi)正交陣(2)解該方陣每一個(gè)行向量均是單位向量且兩兩正交故為正交陣3設(shè) x 為 n 維列向量xTx 1令 H E 2xxT證明 H 是對(duì)稱的正交陣證明因?yàn)镠T (E 2xxT)T E 2(xxT)T E 2(xxT)TE 2(xT)TxT E 2xxT所以 H 是對(duì)稱矩陣因?yàn)镠TH HH (E 2xxT)(E 2xxT)E 2xxT 2xxT (2xxT)(2xxT)E 4xxT 4x(xTx)xTE 4xxT 4xxTE所以 H 是正交矩陣4

3、設(shè) A 與 B 都是 n 階正交陣證明 AB 也是正交陣證明因?yàn)?A B 是 n 階正交陣故 A 1 AT B 1 BT(AB)T(AB) BTATAB B 1A 1AB E故 AB 也是正交陣5求下列(xili)矩陣的特征值和特征向量:212(1)533 ;1022l12解| AlE |53l3(l1)3102l故 A 的特征值為l1(三重(sn zhn)對(duì)于(duy)特征值l1由3AE511223011 0 10 1 10 0 0得方程(A E)x 0 的基礎(chǔ)解系 p1 (1 11)T向量 p1 就是對(duì)應(yīng)于特征值l1 的特征值向量.(2)1 2 32 1 3 ;3 3 61 l23解| A

4、lE |21 l3336ll(l1)(l9)故 A 的特征值為l1 0 l21 l3 9對(duì)于特征值l1 0由1 2 3A2 1 3 3 3 61 2 30 1 10 0 0得方程 Ax 0 的基礎(chǔ)解系 p1 ( 11 1)T向量 p1 是對(duì)應(yīng)于特征值l1 0 的特征值向量.對(duì)于特征值l21, 由2 2 3AE2 2 3 3 3 72 2 30 0 10 0 0得方程(fngchng)(A E)x 0 的基礎(chǔ)(jch)解系 p2 ( 1 1 0)T向量(xingling) p2 就是對(duì)應(yīng)于特征值l21 的特征值向量對(duì)于特征值l3 9由A9E8231 11283 0 1103330 02得方程(A

5、 9E)x 0 的基礎(chǔ)解系 p3 (1/2 1/2 1)T向量 p3 就是對(duì)應(yīng)于特征值l3 9 的特征值向量0 00 10 01 00 10 01 00 0(3).解| AlE |l0010l1001l0100l(l1)2(l1)2故 A 的特征值為l1 l21l3 l4 1對(duì)于特征值l1 l21由1 0 010 1 100 1 101 0 01AE1 0 0 10 1 1 00 0 0 00 0 0 0得方程(A E)x 0 的基礎(chǔ)解系 p1 (1 0 01)T p2 (0 11 0)T向量 p1 和 p2 是對(duì)應(yīng)于特征值l1 l21 的線性無(wú)關(guān)特征值向量0111001 0 01對(duì)于特征值l

6、3 l4 1由1001AE01100 11 000 0 0010 0 00得方程(fngchng)(A E)x 0 的基礎(chǔ)(jch)解系 p3 (1 0 0 1)T p4 (0 1 1 0)T向量(xingling)p3 和 p4 是對(duì)應(yīng)于特征值l3 l4 1 的線性無(wú)關(guān)特征值向量6設(shè) A 為 n 階矩陣證明 AT 與 A 的特征值相同 證明因?yàn)閨AT lE| |(A lE)T| |A lE|T |A lE|所以 AT 與 A 的特征多項(xiàng)式相同從而 AT 與 A 的特征值相同7設(shè) n 階矩陣 A、B 滿足 R(A) R(B) n證明 A 與 B 有公共 的特征值有公共的特征向量證明設(shè) R(A)

7、 r R(B) t則 r t n若 a1 a2an r 是齊次方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系顯然它們是A 的對(duì)應(yīng)于特征值l 0 的線性無(wú)關(guān)的特征向量類似地設(shè) b1 b2bn t 是齊次方程組 Bx 0 的基礎(chǔ)解系則它們是 B 的對(duì)應(yīng)于特征值l 0 的線性無(wú)關(guān)的特征向量由于(n r) (n t) n (n r t) n故 a1 a2an r b1 b2bn t必線性相關(guān)于是有不全為 0 的數(shù) k1 k2kn r l1 l2ln t使k1a1 k2a2kn ran r l1b1 l2b2ln rbn r 0記g k1a1 k2a2kn ran r(l1b1 l2b2ln rbn r)則 k1 k2k

8、n r 不全為 0否則 l1 l2ln t 不全為 0而l1b1 l2b2ln rbn r 0與 b1 b2bn t 線性無(wú)關(guān)相矛盾因此 g 0 g是 A 的也是 B 的關(guān)于l 0 的特征向量所以 A 與B 有公共的特征值有公共的特征向量8設(shè) A2 3A 2E O證明 A 的特征值只能取 1 或 2證明設(shè)l是 A 的任意一個(gè)特征值 x 是 A 的對(duì)應(yīng)于l的特征向量(xingling)則(A2 3A 2E)x l2x 3lx 2x (l2 3l 2)x 0因?yàn)?x 0所以(suy)l2 3l 2 0即l是方程l2 3l 2 0 的根也就是說(shuō)l 1 或l 29設(shè) A 為正交陣且|A|1證明(zhn

9、gmng)l1 是 A 的特征值 證明因?yàn)?A 為正交矩陣所以 A 的特征值為 1 或 1 因?yàn)閨A|等于所有特征值之積又|A| 1所以必有奇數(shù)個(gè)特征值為 1即l1 是 A 的特征值10設(shè)l 0 是 m 階矩陣 Am nBn m 的特征值證明l也是 n 階矩 陣 BA 的特征值證明設(shè) x 是 AB 的對(duì)應(yīng)于l 0 的特征向量則有(AB)x lx于是B(AB)x B(lx)或BA(B x) l(Bx)從而l是 BA 的特征值且 Bx 是 BA 的對(duì)應(yīng)于l的特征向量11已知 3 階矩陣 A 的特征值為 1 2 3求|A3 5A2 7A|解令j(l) l3 5l2 7l則j(1) 3j(2) 2j(

10、3) 3 是j(A)的特征值故|A3 5A2 7A| |j(A)| j(1) j(2) j(3) 3 2 3 1812已知 3 階矩陣 A 的特征值為 1 23求|A* 3A 2E|解因?yàn)閨A| 1 2 ( 3)6 0所以 A 可逆故A* |A|A 16A 1A* 3A 2E6A 1 3A 2E令j(l)6l 1 3l2 2則j(1)1 j(2) 5 j( 3)5 是j(A)的特征值故|A* 3A 2E| | 6A 1 3A 2E| |j(A)|j(1) j(2) j( 3)1 5 ( 5) 2513設(shè) A、B 都是 n 階矩陣(j zhn)且 A 可逆證明(zhngmng) AB 與 BA

11、相似證明(zhngmng)取 P A則P 1ABP A 1ABA BA即 AB 與 BA 相似14設(shè)矩陣 A解由2 0 13 1 x4 0 5可相似對(duì)角化求 x| A lE |2 l 0 13 1 l x4 0 5 l(l 1)2(l 6)得 A 的特征值為 l1 6 l2 l3 1因?yàn)?A 可相似對(duì)角化所以對(duì)于 l2 l3 1齊次線性方程組1 01 r1 0 1( A E)3 0 x 0 0 x4 040 0 0(A E)x 0 有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解因此 R(A E) 1由3知當(dāng) x 3 時(shí) R(A E) 1即 x 3 為所求15已知 p (111)T 是矩陣 A量2 1 25 a 31 b

12、2的一個(gè)特征向(1)求參數(shù) a b 及特征向量 p 所對(duì)應(yīng)的特征值解設(shè) l 是特征向量 p 所對(duì)應(yīng)的特征值則2 l 1210(A lE)p 0即5 a l3101 b2 l10解之得 l1 a3 b 0(2)問(wèn) A 能不能相似(xin s)對(duì)角化？并說(shuō)明理由解由2 l 1 2| A lE | 5 3 l 3(l 1)31 0 2 l得 A 的特征值為l1 l2 l3 111 2 r1 01A E52 3 0 11b 10 00由1知 R(A E) 2所以齊次線性方程組(A E)x 0 的基礎(chǔ)解系只有(zhyu)一個(gè)解向量(xingling)因此 A 不能相似對(duì)角化16試求一個(gè)正交的相似變換矩陣

13、, 將下列對(duì)稱陣化為對(duì)角陣:(1)220212 ;020解將所給矩陣記為 A由AlE2l221 l0202(1 l)(l 4)(l 2)l得矩陣 A 的特征值為l12 l2 1 l3 4對(duì)于l12解方程(A 2E)x 0即420 x1232x2 0022x3得特征向量(1 2 2)T單位化得 p(1, 2 , 2)T1 3 3 3對(duì)于l2 1, 解方程(A E)x 0即120 x1202x2021x30得特征向量(2 12)T單位(dnwi)化得 p(2 , 1,2)T2 3 33對(duì)于(duy)l3 4, 解方程(A 4E)x 0即220 x1232x2 0024x3得特征向量(22 1)T單

14、位(dnwi)化得 p(2 ,2 , 1)T3 33 3于是有正交陣 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag( 2 1 4)(2)222254245解將所給矩陣記為 A由AlE2l2225l4(l 1)2(l 10)245l得矩陣 A 的特征值為l1 l2 1 l3 10對(duì)于l1 l2 1解方程(A E)x 0即122x10244x20244x30得線性無(wú)關(guān)特征向量( 2 1 0)T 和(2 0 1)T將它們正交化、單位化得p1 (1 52, 1, 0)Tp12 3 5(2, 4, 5)T對(duì)于l3 10, 解方程(A 10E)x 0即822x10254x20245x303得特征向量(

15、 12 2)T單位(dnwi)化得 p1 ( 1,32, 2)T于是(ysh)有正交陣 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag(1 1 10)17設(shè)矩陣(j zhn) A1242x2 與42154相似求 xy并y求一個(gè)正交陣 P使 P 1AP解已知相似矩陣有相同的特征值顯然l 5 l4 l y 是 的特征值故它們也是 A 的特征值因?yàn)閘4 是 A 的特征值 所以解之得 x 4| A4E |5242 x424259(x4)0已知相似矩陣的行列式相同因?yàn)?24| A|2424215100|4y20 y所以 20y100 y 5對(duì)于l 5解方程(A 5E)x 0得兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(1

16、01)T (12 0)T將它們正交化、單位化得p1 (1, 0,1 21)Tp12 3 2(1,4, 1)T得 p3對(duì)于l4解方程(A 4E)x 0得特征向量(2 1 2)T單位化1 (2, 1, 2)T3 1 2 1 于是(ysh)有正交矩陣 P233 201433 2使 P 1AP 1 2 1 2 33 218設(shè) 3 階方陣(fn zhn) A 的特征值為l1 2 l22 l3 1對(duì)應(yīng)(duyng)的特征向量依次為 p1 (0 1 1)T p2 (1 1 1)T p3 (1 1 0)T求 A.解令 P (p1 p2 p3)則 P 1AP diag(22 1)A PP 1因?yàn)? 1 111

17、11 1 00110 1 11P 11 10所以APP 10 1 12001 101 331 1 102011 14 531 1 00010114 4219設(shè) 3 階對(duì)稱陣 A 的特征值為l1 1 l21 l3 0對(duì)應(yīng)l1、l2 的特征向量依次為 p1 (1 2 2)T p2 (2 12)T求 A解設(shè) Ax1 x2 x3 x2 x4 x5 x3 x5 x6則 Ap1 2p1 Ap22p2即x1 x2 x32x12x22x3再由特征值的性質(zhì)有2x22x42x5x2 x4 x52x3 12x5 22x6 22x3 22x5 12x6 2由解得x1 x4 x6 l1 l2 l3 0 x11 xx1

18、xx21 x1 32 62 2 63 34 6x11 xx21 x4 32 615 34 6212令 x6 0得 x13x2 0 x3 3x4 3x5 3因此(ync)A1 0 210 1 2322 020設(shè) 3 階對(duì)稱矩陣(j zhn) A 的特征(tzhng)值l1 6l2 3l3 3與特征值l1 6 對(duì)應(yīng)的特征向量為 p1 (1 1 1)T求 A.解設(shè) Ax1 x2 x3 x2 x4 x5 x3 x5 x6因?yàn)閘1 6 對(duì)應(yīng)的特征向量為 p1 (1 1 1)T所以有11A 16 111x1 x2即 x2 x4x3 x5x3 6x5 6x6 6l2 l3 3 是 A 的二重特征值, 根據(jù)實(shí)

19、對(duì)稱矩陣的性質(zhì)定理知R(A 3E) 1利用可推出A3Ex1 3x2x3x2x4 3x5x3x5 x6 311x2 x4 3x3 x51x5x6 3因?yàn)?R(A 3E) 1所以 x2 x4 3 x5 且 x3 x5 x6 3解之得x2 x3 x5 1 x1 x4 x6 4因此A4 1 11 4 11 1 421設(shè) a (a1 a2 an)T a1 0 A aaT(1)證明l 0 是 A 的 n 1 重特征值證明設(shè)l是 A 的任意一個(gè)特征值 x 是 A 的對(duì)應(yīng)于l的特征 向量則有Ax lxl2x A2x aaTaaTx aTaAx laTax于是(ysh)可得l2 laTa從而(cng r)l 0

20、 或l aTa設(shè)l1 l2ln 是 A 的所有(suyu)特征值因?yàn)?A aaT 的主對(duì)角線性上的元素為 a12 a22an2所以a12 a22an2 aTa l1 l2ln這說(shuō)明在l1 l2ln 中有且只有一個(gè)等于 aTa而其余 n 1 個(gè)全為 0即l 0 是 A 的 n 1 重特征值(2)求 A 的非零特征值及 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量解設(shè)l1 aTa l2ln 0因?yàn)?Aa aaTa (aTa)a l1a所以 p1 a 是對(duì)應(yīng)于l1 aTa 的特征 向量對(duì)于l2ln 0解方程 Ax 0即 aaTx 0因?yàn)?a 0所以aTx 0即 a1x1 a2x2anxn 0其線性無(wú)關(guān)解為p2 ( a2

21、 a1 0 0)Tp3 ( a3 0 a1 0)Tpn ( an 0 0 a1)T因此 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為( p , p , p )a1 a2 ana2 a1 012142nan 0a122設(shè) A解由03 4043求 A1001 l| AlE |00423l443l(l1)(l5)(l5)得 A 的特征值為l1 1 l2 5 l35對(duì)于(duy)l1 1解方程(fngchng)(A E)x 0得特征向量 p1 (1 0 0)T 對(duì)于(duy)l1 5解方程(A 5E)x 0 得特征向量 p2 (2 1 2)T 對(duì)于l15解方程(A 5E)x 0得特征向量 p3 (12 1)T

22、令 P (p1 p2 p3)則P 1AP diag(1 55)A PP 1A100 P100P 1因?yàn)?00 diag(1 5100 5100)1 211P 1 0 120 21所以5051 0125 021A1001 21 0 15 0 210121510015100151005050120210 5100000510023在某國(guó)每年有比例為 p 的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)有比例為 q 的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村 假設(shè)該國(guó)總?cè)丝跀?shù)不變 且上述人口 遷移的規(guī)律也不變 把 n 年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋?例依次記為 xn 和 yn(xn yn 1)(1)求關(guān)系式xn 1yn 1A xnyn中的矩陣 A解

23、由題意知xn1xn qyn pxn (1 p)xn qynyn1yn pxn qynpxn (1 q)yn可用矩陣(j zhn)表示為xn 1yn 11pqxnp1 qyn因此(ync)A1pqp1 qx0.5(2) 設(shè) 目 前 農(nóng) 村人口 與 城 鎮(zhèn)人口 相等即0y0 xnyn0.5求解由 xn 1yn 1| AlE |A xnyn1p p可知(k zh) xnynlq1 qlAn x0 由y0(l1)(l1pq)得 A 的特征值為l1 1 l2 r其中 r 1 p q對(duì)于l1 1解方程(A E)x 0得特征向量 p1 (q p)T對(duì)于l1 r解方程(A rE)x 0得特征向量 p2 ( 1

24、 1)T則q1令 P( p1, p2) p1P 1AP diag(1 r)A PP 1An PnP 1于是An1q11 0 n q1p10 rp1 1 q11 011pqp10 rnp q 1 qprn qqrnpqpprn pqrnxn 1 qprn qqrn0.5yn pqpprn pqrn0.5 1 2q( pq)rn2( pq) 2 p(q32p)rn10924 (1)設(shè) A解由23求j(A) A5A| AlE |3l223l(l1)(l5)得 A 的特征值為l1 1 l2 5對(duì)于(duy)l1 1解方程(fngchng)(A E)x 0得單位(dnwi)特征向量1 (1, 1)T2對(duì)

25、于l1 5解方程(A 5E)x 0得單位特征向量 1 (21, 1)T于是有正交矩陣 P 1 112 1 1使得 P1AP diag(1 5)從而 A PP 1 Ak PkP 1因此j(A) Pj()P 1 P(10 59)P 1Pdiag(1 510) 5diag(1 59)P 1Pdiag( 4 0)P 1 1 114 0 1 1 12 110021 122222 1 22 1 11 1(2)設(shè) A1 2 22 2 1, 求j(A) A10 6A9 5A8解求得正交矩陣為132P11326202使得 P 1AP diag( 1 1 5)A PP 1于是j(A) Pj()P 1 P(10 6

26、9 58)P 1P8(E)(5E)P 1Pdiag(1 1 58)diag( 2 0 4)diag( 64 0)P 1Pdiag(12 0 0)P 1131136202122020112330222112211222425用矩陣(j zhn)記號(hào)表示(biosh)下列二次型:(1) f x2 4xy 4y2 2xz z2 4yz1 2 1x解f(x, y, z) 2 4 2y1 2 1z(2) f x2 y2 7z2 2xy 4xz 4yz112xx3 2x1x解f(x, y, z)112y227z(3) f x12 x 2 x 2 x 22342x1x2 4x11121x11132x2解f(

27、x1, x2, x3, x4)2310 x31201x44 6x2x3 4x2x426寫出下列二次型的矩陣(j zhn)2 1(1) f (x)xT 3 1 x2 1解二次型的矩陣為 A3 1(2) f (x)1 2 3xT 4 5 6 x7 8 9123解二次型的矩陣為 A45678927求一個(gè)(y )正交變換(binhun)將下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形:2(1) f 2x12 3x 23x334x2x32 0 0解二次型的矩陣(j zhn)為 A0 3 2由0 2 3AlE2l0003l2023l(2l)(5l)(1 l)得 A 的特征值為l1 2 l2 5 l3 1當(dāng)l1 2 時(shí), 解方程(A

28、 2E)x 0由0000 1 2A2E012 0 0 10210 0 0得特征向量(1 0 0)T取 p1 (1 0 0)T當(dāng)l2 5 時(shí)解方程(A 5E)x 0由A 5E3001 0 0022 0 110220 0 02得特征向量(0 1 1)T取 p(0, 1 ,21 )T2當(dāng)l3 1 時(shí)解方程(A E)x 0由1 0 0AE0 2 2 0 2 21 0 00 1 10 0 03得特征向量(01 1)T取 p(0,1 , 1 )T22于是有正交矩陣 T (p1 p2 p3)和正交變換 x Ty使2222f 2y12 5y 2y32(2) f x12 x2x3x42x1x2 2x1x4 2x

29、2x3 2x3x41101111 001111011解二次型矩陣為 A由AlE101(l1)(l1 l10111 l1001 1 l11 l3)(l1)2得 A 的特征值為l11 l2 3 l3 l4 1當(dāng)l11 時(shí)可得單位(dnwi)特征向量 p(1 ,1 ,1 , 1)T當(dāng)l2 3 時(shí)可得單位(dnwi)特征向量 p1 2(1 , 1 ,22 21 ,1)T2 2 222當(dāng)l3 l4 1 時(shí)可得線性無(wú)關(guān)(wgun)的單位特征向量p3(1 , 0,21 , 0)T2p4 (0,1 , 0,21 )T2于是有正交矩陣 T ( p1 p2 p3 p4)和正交變換 x Ty使2fy12 3y 2y

30、32y4228求一個(gè)正交變換把二次曲面的方程3x2 5y2 5z2 4xy 4xz 10yz 1化成標(biāo)準(zhǔn)方程解二次型的矩陣為 A322255255由| AlE |3l2225l5l(l2)(l11)得 A 的特征值2為l1 2 l2 11 l3 055l對(duì)于l1 2解方程(A 2E)x 0得特征向量(411)T單位化得 p1( 4 ,3 21 ,1 )3 2 3 2對(duì)于l2 11解方程(A 11E)x 0得特征向量(1 22)T單位1 22化得 p2( ,)3 33對(duì)于(duy)l3 0解方程 Ax 0得特征向量(011)T單位(dnwi)化得p3 (0,1 , 1 )22于是(ysh)有正交

31、矩陣 P (p1 p2 p3)使 P 1AP diag(2 11 0)從而有正交變換 4 10 x3 23uy 1 2 1 v 1 2 1 3 232z3 232w使原二次方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程 2u2 11v2 129明二次型 f xTAx 在|x| 1 時(shí)的最大值為矩陣 A 的最大特征值.證明A 為實(shí)對(duì)稱矩陣則有一正交矩陣 T使得TAT 1 diag(l1 l2ln)成立其中l(wèi)1 l2ln 為 A 的特征值不妨設(shè)l1 最大作正交變換 y Tx即 x TTy注意到 T 1 TT有f xTAx yTTATTy yTy l1y12 l2y22lnyn2因?yàn)?y Tx 正交變換所以當(dāng)|x| 1 時(shí)有n|

32、y| |x| 1即 y12 y22y 2 1因此2fl1y12 l2y 2nlny 2 l1又當(dāng) y1 1 y2 y3yn 0 時(shí) fl1所以 f maxl130用配方法化下列二次形成規(guī)范形并寫出所用變換的矩陣(1) f(x1 x2 x3) x12 3x22 5x32 2x1x2 4x1x32解f(x1 x2 x3) x12 3x22 5x32(x1 x2 2x3)2 4x2x3 2x 22x1x2 4x1x3x32(x1 x2 2x3)2 2x22 (2x2 x3)2 5 y1x1x2 2x3x1 y112 y2 2 y3令y2y32x22x2 x3即 x2x3y222 y2 y3二次型化為

33、規(guī)范(gufn)形所用的變換(binhun)矩陣為2f y12 y 2y321522C010202 1(2) f(x1 x2 x3) x12 2x32 2x1x3 2x2x3解f(x1 x2 x3) x12 2x32 2x1x3 2x2x3(x1 x3)2 x32 2x2x3(x1 x3)2 x22 (x2 x3)2y1令y2y3x1 x3x2x2 x3x1即 x2x3y1 y2 y3y2y2 y3二次型化為規(guī)范(gufn)形所用的變換矩陣為2f y12 y 2y321 11C0 10011(3) f(x1 x2 x3) 2x12 x22 4x32 2x1x2 2x2x313解f(x1 x2

34、x3) 2x 2x224x 22x1x2 2x2x32(x1 x )21 x2x2 x x12 22 2 4 32 2 32(x1 x )2 1 xx 2 x212 2y2(x2 ( 21 x2 3) 2 3x1 y1 y1 y1 1 1 2 2)1 2 122 23 2 令y2y3(x222x32x3)即 x2x32 y2 2 y3 1 y23二次型化為規(guī)范(gufn)形所用(su yn)的變換矩陣為2f y12 y 21y321131設(shè)C10222 0 0122f x12 x2為正定(zhn dn)二次型求 a5x32ax1x2 2x1x3 4x2x3解二次型的矩陣為 Aa1a1a121

35、25a12a(5a4)1 251a1其主子式為a11 111 a2a 1因?yàn)?f 為正主二次型所以必有 1 a2 0 且 a(5a 4) 0解之4得5a032判別(pnbi)下列二次型的正定性(dng xng)2(1) f2x12 6x 234x 22x1x2 2x1x3解二次型的矩陣(j zhn)為 A2211160因?yàn)?041a11 20所以 f 為負(fù)定1611 02| A|380(2) f x12 3x22 9x32 19x42x1x2 4x1x3 2x1x4 6x2x4 12x3x4解二次型的矩陣為 A11211 3032096因?yàn)?36 1911 2a11 101140 ,1 31

36、3 020 960 ,A240所以 f 為正定33證明對(duì)稱陣 A 為正定的充分必要條件是存在可逆矩陣U使 A U TU即 A 與單位陣 E 合同證明因?yàn)閷?duì)稱陣 A 為正定的所以存在正交矩陣 P 使PTAP diag(l1 l2ln)即 A PPT其中l(wèi)1 l2ln 均為正數(shù)令1 diag(l1 ,l2 , ln )則11 A P11TPT再令 U1TPT則 U 可逆且 A UTU第六章線性空間與線性變換1驗(yàn)證所給矩陣集合對(duì)于矩陣的加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間并寫出各個(gè)空間的一個(gè)基(1) 2 階矩陣的全體 S1解設(shè) A B 分別(fnbi)為二階矩陣則 A BS1因?yàn)?yn wi)(A B)S1

37、kAS1所以(suy) S1 對(duì)于矩陣的加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間10e10 0是 S1 的一個(gè)基.e0 12 0 0e0 03 1 0e0 04 0 1(2)主對(duì)角線上的元素之和等于 0 的 2 階矩陣的全體 S2解設(shè) Aa bBcad eA BS2因?yàn)閒dAB(ad ) cbScaad2kAka kbSkcka2所以 S2 對(duì)于矩陣的加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間e1 0101是 S2 的一個(gè)基e0 12 0 0e0 03 1 0(3) 2 階對(duì)稱矩陣的全體 S3.解設(shè) A BS3則 AT A BT B 因?yàn)?(A B)T AT BT A B (A B)S3 (kA)T kAT kA kAS3

38、所以 S3 對(duì)于加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間.e1 010 0是 S3 的一個(gè)基.e0 12 1 0e0 03 0 12驗(yàn)證與向量(0 0 1)T 不平行的全體 3 維數(shù)組向量對(duì)于 數(shù)組向量的加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間解設(shè) V 與向量(001)T 不平行的全體三維向量設(shè)r1 (1 1 0)T r2 ( 1 0 1)T則 r1 r2V但 r1 r2 (0 0 1)TV即 V不是(b shi)線性空間.3設(shè) U 是線性空間(kngjin) V 的一個(gè)(y )子空間試證若 U 與 V 的維數(shù)相等則 U V證明 設(shè)e1 e2 en 為 U 的一組基 它可擴(kuò)充為整個(gè)空間 V 的一個(gè)基 由于 dim(U)

39、 dim(V) 從而e1 e2 en 也為 V 的一個(gè)基 則 對(duì)于 x V 可以表示為 x k1e1 k2e2 krer 顯然 x U 故 V U 而由已知知 U V 有 U V4設(shè) Vr 是 n 維線性空間 Vn 的一個(gè)子空間 a1 a2ar 是 Vr的一個(gè)基試證Vn 中存在元素 ar 1an使 a1 a2ar,ar 1an 成為 Vn 的一個(gè)基證明 設(shè) r n, 則在 Vn 中必存在一向量 ar 1 Vr 它不能被 a1 a2 ar 線性表示 將 ar 1 添加進(jìn)來(lái) 則 a1 a2 ar 1 是線性無(wú)關(guān) 的 若 r 1 n 則命題得證 否則存在 ar 2 L(a1 a2 ar 1) 則 a

40、1 a2 ar 2 線性無(wú)關(guān) 依此類推 可找到 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量 a1 a2 an 它們是 Vn 的一個(gè)基5在 R3 中求向量a (3 7 1)T 在基a1 (1 3 5)T a2 (6 3 2)Ta3 (3 1 0)T 下的坐標(biāo)解設(shè)e1 e2 e3 是 R3 的自然基則(a1 a2 a3) (e1 e2 e3)A(e1 e2 e3) (a1 a2 a3)A 1其中 A1 6 33 3 1A 15 2 0263515892815因?yàn)?yn wi)a(e1, e32, e3) 71(a1, a332, a ) A 1 71(a1, a2, a3)(a1, a2, a3)26515928338

41、21543387151所以(suy)向量a在基a1 a2 a3 下的坐標(biāo)(zubio)為(3382 154)T6在 R3 取兩個(gè)基a1 (1 2 1)T a2 (2 3 3)T a3 (3 7 1)Tb1 (3 1 4)T b2 (5 2 1)T b3 (1 16)T試求坐標(biāo)變換公式解設(shè)e1 e2 e3 是 R3 的自然基則(b1 b2 b1) (e1 e2 e3)B(e1 e2 e3) (b1 b2 b1)B 1(a1 a2 a1) (e1 e2 e3)A (b1 b2 b1)B 1A其中A1 2 12 3 71 3 13 51B1 214 161設(shè)任意向量a在基a1 a2 a3 下的坐標(biāo)為

42、(x1 x2 x3)T則x1 a(a1, a2, a3) x2 x3x1 (b1, b2, b3)B A x2 x3故a在基b1 b2 b3 下的坐標(biāo)為13191814x1 x122xB 1 A xx3 x3xx2291363171099x347在 R4 中取兩個(gè)(lin )基e1 (1 0 0 0)T e2 (0 1 0 0)T e3 (0 0 1 0)T e4 (0 0 0 1)Ta1 (2 11 1)T a2 (0 3 1 0)T a3 (5 3 2 1)T a3 (6 6 1 3)T(1)求由前一個(gè)(y )基到后一個(gè)基的過(guò)渡矩陣解由題意(t y)知(a 1 , a2 , a3 , a 4 )(e1 , e 2, e 3, e 4 )2 0 5 613 3 61 1 2 110 1 3從而由前一個(gè)基到后一個(gè)基的過(guò)渡矩陣為2 0 5 6A13 3 61 1 2 11 0 1 3(2)求向量(x1 x2 x3 x4)T 在后一個(gè)基下的坐標(biāo)解因?yàn)閤1xxa(e1 , e 2 , e 3 , e 4 )23x 4x1