淺談數(shù)形結(jié)合發(fā)展簡(jiǎn)史

1、龍?jiān)雌诳W(wǎng) 淺談數(shù)形結(jié)合發(fā)展簡(jiǎn)史作者：阿卜杜加帕爾阿巴拜克爾阿米乃圖爾迪麥麥提來(lái)源：新教育時(shí)代學(xué)生版2017年第25期摘 要：“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)的兩大基本概念，數(shù)學(xué)的發(fā)展史也主要是圍繞“數(shù)”和“形”這兩大概念產(chǎn)生、發(fā)展、變遷的歷史。隨著數(shù)學(xué)內(nèi)涵的不斷擴(kuò)充，數(shù)學(xué)中最原始的兩大對(duì)象“數(shù)”與“形”的概念自身處于不斷的發(fā)展變化中。關(guān)鍵詞：數(shù)形 數(shù)形結(jié)合 發(fā)展史 階段簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)“數(shù)”與“形”經(jīng)歷了一個(gè)由分到和，又由合而分的發(fā)展變化過(guò)程。追溯數(shù)形結(jié)合思想的歷史淵源，我們可以發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的歷史與數(shù)學(xué)的發(fā)展史息息相關(guān)，歷史上數(shù)形概念的發(fā)展變化可以概括為以下階段：一、數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期的數(shù)形結(jié)合數(shù)形不分在人類的原始時(shí)

2、代，人們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)與形是密不可分的。正如德國(guó)數(shù)學(xué)家克隆尼克所言：“整數(shù)是被親愛的上帝造成的，其它的一切都是人的工作”，數(shù)的概念是人類通過(guò)實(shí)踐從客觀事物的眾多屬性中抽象出來(lái)的。此時(shí)數(shù)與形是結(jié)合在一起的。例如：“天上一個(gè)太陽(yáng)（數(shù) 1 與太陽(yáng)結(jié)合在一起），人的一只手有五個(gè)指頭（數(shù)5與一只手的指頭結(jié)合在一起）等等”。最早的計(jì)數(shù)方法也體現(xiàn)了這一點(diǎn)，如結(jié)繩記事、在樹皮上劃下刻痕計(jì)數(shù)等。歷史上最早的計(jì)數(shù)工具中國(guó)的算籌和算盤就是數(shù)形結(jié)合的典范。在形的發(fā)展過(guò)程中也離不開數(shù)的作用，如最早的幾何知識(shí)產(chǎn)生于實(shí)際丈量土地的需要，人們對(duì)圖形面積的計(jì)算需要借助于數(shù)。所以形的發(fā)展也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。這個(gè)時(shí)期由于人們的認(rèn)識(shí)

3、能力有限，對(duì)數(shù)與形還沒有達(dá)到有意識(shí)區(qū)分的水平，所以數(shù)形結(jié)合是必然的，它是一種無(wú)意識(shí)的結(jié)合。二、古代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期的數(shù)形結(jié)合從數(shù)占上風(fēng)到形占上風(fēng)古埃及人與巴比倫人通過(guò)長(zhǎng)期的生產(chǎn)生活實(shí)踐獲得了大量的直觀的幾何知識(shí)，然后傳到了古希臘。古希臘的學(xué)派文化極大地促進(jìn)了古希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的貢獻(xiàn)之一是有意識(shí)地承認(rèn)并強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)上的東西如數(shù)和圖形是思維的抽象，同實(shí)際事務(wù)或?qū)嶋H形象是截然不同的。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，不過(guò)他們所說(shuō)的數(shù)是指整數(shù)，對(duì)于分?jǐn)?shù)他們認(rèn)為是整數(shù)之比。這個(gè)學(xué)派數(shù)做了許多研究。畢氏學(xué)派并不把數(shù)和幾何上的點(diǎn)分開來(lái)，即數(shù)和形是結(jié)合在一起的。他們用圖形來(lái)解釋整數(shù)的一些性質(zhì)?？墒钱吺?/p>

4、學(xué)派在研究能組成直角三角形數(shù)組的三邊（即畢達(dá)哥拉斯定理）時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了不可公度比扼，它否定了畢氏學(xué)派的信條“宇宙間一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”。古希臘人拒絕承認(rèn)無(wú)理數(shù)是數(shù)，但為了解決不可公度的問(wèn)題，另一個(gè)學(xué)派歐多克斯引入了變量這個(gè)概念?！八皇菙?shù)，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時(shí)間這些能夠連續(xù)變動(dòng)的東西”。量不能指定數(shù)值，但是類似于數(shù)，可以定義兩個(gè)量之比及比例關(guān)系。這樣做的后果是把數(shù)與幾何截然分開，只有幾何能處理不可公度比。根據(jù)歐多克斯的理論，古希臘的數(shù)學(xué)家繞開了無(wú)理數(shù)，從而把研究方向也從數(shù)轉(zhuǎn)向了形。當(dāng)希臘數(shù)學(xué)發(fā)展到亞歷山大時(shí)期，數(shù)學(xué)家直接把無(wú)理數(shù)用于計(jì)算促進(jìn)三角術(shù)問(wèn)世并得到發(fā)展，同時(shí)算

5、數(shù)和代數(shù)也從幾何中分離出來(lái)，成為獨(dú)立的學(xué)科。代數(shù)學(xué)在16世紀(jì)取得了突破性進(jìn)展，解決了二次、三次、四次方程的求根問(wèn)題，建立了一整套簡(jiǎn)明的字母符號(hào)體系。而受嚴(yán)密的邏輯推理及尺規(guī)作圖的影響，希臘的數(shù)學(xué)家對(duì)幾何的研究舉步維艱。例如他們把幾何只限于研究那些能用直線和圓作出的圖形，曲面只限于研究那些從直線和圓繞一周產(chǎn)生的圓柱、圓錐和球等。并且他們?cè)谘芯繏佄锞€弓形面積或螺線弧所含面積時(shí)遇到相當(dāng)大的難度。這一切都迫切地要求數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，攜手前行。三、解析幾何產(chǎn)生后的數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合人類進(jìn)入 17 世紀(jì)以后，力學(xué)、天文以及技術(shù)的需要，對(duì)于圓錐曲線的研究變得非常重要而有現(xiàn)實(shí)意義，解析幾何就是在這種背景下產(chǎn)生。解

6、析幾何的產(chǎn)生加強(qiáng)了“數(shù)”與“形”的結(jié)合，使“數(shù)”與“形”的結(jié)合產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍。由法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾所創(chuàng)立的解析幾何的基本思想是：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，將每個(gè)幾何點(diǎn)（形）與數(shù)對(duì)（數(shù)）建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，順理成章地使每條曲線同時(shí)與每個(gè)方程也建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這樣每條曲線一個(gè)幾何問(wèn)題通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)就翻譯成一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題，再采用代數(shù)的方法來(lái)解決這些代數(shù)問(wèn)題；然后，又把通過(guò)代數(shù)手段所得的結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何問(wèn)題，也就是利用代數(shù)的手段來(lái)得到幾何問(wèn)題的解答。解析幾何的創(chuàng)立使幾何問(wèn)題有了一個(gè)有力的工具代數(shù)的工具，而且還擴(kuò)大了幾何的領(lǐng)域。另一方面又揭露了代數(shù)與分析中的許多事實(shí)可以用幾何來(lái)表現(xiàn)，例如函數(shù)關(guān)系就可

7、以用圖形來(lái)表示。反過(guò)來(lái)，幾何上的一些考慮又可以幫助解決代數(shù)與分析的問(wèn)題”。解析幾何的思想促進(jìn)了數(shù)和形雙方面的快速發(fā)展。從幾何角度來(lái)看，幾何學(xué)的研究從定性研究階段推進(jìn)到定量研究階段，它的研究對(duì)象從三維的現(xiàn)實(shí)空間拓展到高維的抽象空間，人們對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)從靜態(tài)到動(dòng)態(tài)，把曲線看成是點(diǎn)通過(guò)運(yùn)動(dòng)形成的軌跡。從這一觀點(diǎn)出發(fā)對(duì)曲線及函數(shù)進(jìn)行的研究直接加速了微積分的形成的歷史進(jìn)程。而從代數(shù)角度來(lái)看，幾何學(xué)思想方法向代數(shù)學(xué)思想方法的遷移及滲透，開創(chuàng)了代數(shù)學(xué)許多新的研究方向如線性代數(shù)、數(shù)學(xué)分析等。借助于幾何圖形的直觀性，許多抽象的代數(shù)知識(shí)具備了直觀思考的基礎(chǔ)。四、近代與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合18 世紀(jì)以來(lái)的數(shù)學(xué)，或許只能牽強(qiáng)地認(rèn)為：“數(shù)”就是包括分析學(xué)、數(shù)論以及以代數(shù)方程等為主題的代數(shù)學(xué)，而“形”就是包含了部分射影幾何內(nèi)容的解析幾何、歐幾里得幾何、微分幾何等幾何學(xué)。然而解析幾何并非只是單純地對(duì)“形”進(jìn)行研究，因而解析幾何從其誕生之日開始算不上完全意義上的幾何學(xué)。在此以后代數(shù)、幾何與分析可以說(shuō)幾乎是緊密聯(lián)系、捆綁式地發(fā)展，因?yàn)榻馕鰩缀蔚闹行乃枷胧前汛鷶?shù)方程與曲線、曲面等圖形聯(lián)系起來(lái)，而微分幾何是利用微積分的手段來(lái)研究曲線、曲面隨著點(diǎn)瞬時(shí)變化而逐點(diǎn)變化的性質(zhì)。所以“數(shù)”與“形”在局部相關(guān)領(lǐng)域聯(lián)系就更加緊密，這種情況下“形”的作用主要是提供研究的對(duì)象以及輔助思考的工具，而“數(shù)”的作用則