2022年余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、1.2 余弦定理 南京師范大學(xué)附屬中學(xué) 張躍紅 教學(xué)目標(biāo)：1. 掌握余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題；2. 能夠運(yùn)用余弦定理解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：重點(diǎn)是余弦定理及其證明過(guò)程教學(xué)難點(diǎn)：難點(diǎn)是余弦定理的推導(dǎo)和證明教學(xué)過(guò)程：1. 創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題 問(wèn)題 1：修建一條高速公路，要開(kāi)鑿隧道將一段山體打通現(xiàn)要測(cè)量該山體底側(cè)兩點(diǎn)間的距離，A 圖 1 B 即要測(cè)量該山體兩底側(cè)A，B 兩點(diǎn)間的距離（如圖1）請(qǐng)想辦法解決這個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)意圖：這是一個(gè)學(xué)生身邊的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，定理，自然引出本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容2. 構(gòu)建模型，解決問(wèn)題 在其解決的過(guò)程中得到余弦學(xué)生活動(dòng)：提出的方法有，先航拍

2、，然后根據(jù)比例尺算出距離；利用等高線量出距離等；也有學(xué)生提出在遠(yuǎn)處選一點(diǎn)C，然后量出 AC，BC 的長(zhǎng)度，再測(cè)出ACB ABC 是確定的， 就可以計(jì)算出 AB 的長(zhǎng)接下來(lái)， 請(qǐng)三位板演其解法法 1：（構(gòu)造直角三角形）如圖 2，過(guò)點(diǎn) A 作垂線交 BC 于點(diǎn) D，則AD ACsinC，CD ACcosC，ABD BC CD BC ACcosC，所以，|AB|AD2 |BD|2|BC|cos CCD圖 2 B|AC2 |BC2 |2|AC|法 2：（向量方法）C),CyA圖 3 Buuur 如圖 3，因?yàn)?ABuuur ACuuur CB，所以，uuur 2AB(uuur ACuuur CB) 2

3、uuur AC2uuur CB22uuur ACuuur CBcos(A即|AB|AC| 2|BC| 22|AC|BC|cos CC圖 4 Bx法 3：（建立直角坐標(biāo)系）建立如圖 4 所示的直角坐標(biāo)系，則 B （BC, 0），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，可得A （ ACcosC, ACsinC），|AB|(|AC|cos C|BC|)22 |(|AC|sinC0 )2，cos C所以，AB|AC2|BC2|AC|BC|活動(dòng)評(píng)價(jià)：師生共同評(píng)價(jià)板演3. 追蹤成果，提出猜想 師：回顧剛剛解決的問(wèn)題，我們很容易得到結(jié)論：在ABC 中，a，b，c 是2 2 2角 A，B，C 的對(duì)邊長(zhǎng)，則有 c a b 2 a

4、b cos C 成立類(lèi)似的還有其他等式，2 2 2 2 2 2a c b 2 cb cos A，b c a 2 ca cos B正弦定理反映的是三角形中邊長(zhǎng)與角度之間的一種數(shù)量關(guān)系，因?yàn)榕c正弦有關(guān)，就稱為正弦定理；而上面等式中都與余弦有關(guān)，就叫做余弦定理問(wèn)題 2：剛才問(wèn)題的解題過(guò)程是否可以作為余弦定理的證明過(guò)程？設(shè)計(jì)意圖：作為定理要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明，在解決問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣學(xué)生活動(dòng)：經(jīng)過(guò)思考得出，若把解法一作為定理的證明過(guò)程，需要對(duì)角 C 進(jìn)行分類(lèi)討論，即分角 C 為銳角、直角、鈍角三種情況進(jìn)行證明；第二種和第三種解法可以作為余弦定理的證明過(guò)程教師總結(jié)：證明余弦定理，就是證明一個(gè)等式而

5、在證明等式的過(guò)程中，我們可以將一般三角形的問(wèn)題通過(guò)作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題； 還可以構(gòu)造向量等式，然后利用向量的數(shù)量積將其數(shù)量化；還可以建立直角坐標(biāo)系， 借助兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)解決，等等4. 探幽入微，深化理解 問(wèn)題 3：剛剛認(rèn)識(shí)了余弦定理這個(gè)“ 新朋友”學(xué)生活動(dòng)：勾股定理是余弦定理的特例，看一看它有什么特征？反過(guò)來(lái)也可以說(shuō)，余弦定理是勾股定理的推廣；當(dāng)角2C 為銳角或鈍角時(shí)，邊長(zhǎng)之間有不等關(guān)系a2b2c2，a2b2c2；c2ab22abcosC是邊長(zhǎng) a、b、c 的輪換式，同時(shí)等式右邊的角與等式左邊的邊相對(duì)應(yīng)；等式右邊有點(diǎn)象完全平方，等等教師總結(jié)： 我們?cè)谟^察一個(gè)等式時(shí)，就如同觀察一個(gè)人

6、一樣，先從遠(yuǎn)處看，然后再近處看，先從外表再到內(nèi)心深處觀察等式時(shí)，先從整體（比如輪換）再到局部（比如等式左右邊角的對(duì)稱） ，從一般到特殊，或者從特殊到一般（比如 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣）問(wèn)題 4：我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)余弦定理，學(xué)它有什么用？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生真正體會(huì)到學(xué)習(xí)余弦定理的必要性同時(shí)又可以得到余弦定理能解決的三角形所滿足的條件，以及余弦定理的各種變形 讓學(xué)生體會(huì)在使用公式或定理時(shí)，不但要會(huì)“ 正向使用” 還要學(xué)會(huì)“ 逆向使用”學(xué)生活動(dòng)：解已知三角形的兩邊和它們夾角的三角形；如果已知三邊，可以 求角，進(jìn)而解出三角形，即cosAb2c2a2,cosBa2c2b2,cosCa2b2c22bc2 ac2ab5. 學(xué)以致用，拓展延伸 練習(xí)：1在 ABC 中，若 a3，b5，c7，求角 C2（1）在 ABC 中，若b3,3,1c0 c6,A450，解這個(gè)三角形（2）在 ABC 中，bB601，求 a學(xué)生活動(dòng)： 練習(xí)后相互交流得出， 解答題 1 時(shí)，利用的是余弦定理的