2011年高考-不等式（專題復(fù)習(xí)）

1、第六單元 不等式 第一節(jié) 不等關(guān)系與不等式 基礎(chǔ)梳理1. 不等式的定義：用不等號、連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的式子叫做不等式.2. 不等式的基本性質(zhì)(1) ab b a;(2) ab,bca c;(3) ab a+c b+c;(4) ab,c0ac bc;(5) ab,c0ac b,cda+c b+d;(7) ab0,cd0ac bd;(8) ab0,nN*,n1 , .3. 實(shí)數(shù)比較大小的方法（1）a-b0 a b;（2）a-b=0 a = b;（3）a-b0 a 至多小于”、“b,則acb;若abab0,則若ab, ,則a0,b0,則ab,故為真命題.中，由 可得 ,由 ,可得 , 為真命題.中，

2、由ab,得-a-b,c-aab0,0c-ab0, 為真命題.中，由 ,abb,a0,bb0,cd0,e0,求證：證明： cd-d0.又ab0,a-cb-d0,(a-c)2(b-d)20， .又e0,b0,c0,又由題設(shè)條件可知ab,故有 成立，即所以同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了.學(xué)后反思 實(shí)數(shù)大小的比較問題常常用“比較法”來解決，“比較法”有“作差比較法”和“作商比較法”兩種，可根據(jù)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)靈活選用.“作差比較法”的依據(jù)是 “ ” ，其過程可分為三步：作差；變形；判斷差的符號.其中關(guān)鍵一步是變形，手段可有通分、因式分解、配方等，變形的目的是有利于判斷符號，因

3、此變形越徹底，越有利于下一步的判斷.“作商比較法”的依據(jù)是“ ”,是把兩數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化為一代數(shù)式與“1”進(jìn)行比較，在代數(shù)式結(jié)構(gòu)含有冪、根式或絕對值時(shí)，可采用此方法.在用“比較法”時(shí)，有時(shí)可先將原代數(shù)式變形后再作差或作商進(jìn)行比較，若是選擇題還可用特殊值法判斷數(shù)的大小關(guān)系.舉一反三3. 設(shè)a、b是不相等的正數(shù)， ,試比較A、G、H、Q的大小.解析： a,b為不相等的正數(shù), 即HG;由 ,即GA;由 ,即AQ.綜上可知，當(dāng)a、b是不相等的正數(shù)時(shí)，HGAQ.題型四 利用不等式性質(zhì)求范圍【例4】(12分)設(shè) ,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范圍.分析 易知1a-b2，2a+b4,只要

4、將f(-2)=4a-2b用a+b和a-b表示出來，再利用不等式性質(zhì)求解4a-2b的取值范圍即可.解 方法一：設(shè)f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m、n為待定系數(shù))，則4a-2b=m(a-b)+n(a+b)，2即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,.4于是得 ,解得 ,.6f(-2)=3f(-1)+f(1).8又1f(-1)2,2f(1)4,53f(-1)+f(1)10,.10即5f(-2)10.12方法二：由得f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)9又1f(-1)2,2f(1)4,1053f(-1)+f(1)10,即5f(-2)1012學(xué)后反思 由 ,求 的取值范圍，可利用待定

5、系數(shù)法解決，即設(shè) 用恒等變形求得p,q，再利用不等式的性質(zhì)求得 的范圍.此外，本例也可用線性規(guī)劃的方法來求解.舉一反三4. 已知 ，求 的取值范圍.解析： , , +得-+， . , . +得-, .又, , .易錯(cuò)警示【例】已知2a3,1b2,求a+b,a-b, 的范圍.錯(cuò)解 2a3,1b2,3a+b5,1a-b1, .錯(cuò)解分析 在運(yùn)用不等式性質(zhì)時(shí)忽視了性質(zhì)成立的必要條件.另外，同向不等式相加，不等號方向不變，相減、相除則行不通.正解 2a3,1b2,3a+b5.又-2-b-1,0a-b2.又 ,1”“”或“=”).考點(diǎn)演練解析 : 答案： 0且x1),試比較f(x)與g(x)的大小.解析：

6、 .(1)當(dāng) ,即 或 時(shí),也就是x 或0 xg(x);(3)當(dāng) ,即 或 時(shí)，也就是 時(shí),f(x) 或0 xg(x);當(dāng)x= 時(shí),f(x)=g(x);當(dāng)1x 時(shí),f(x)2t,故乙先到教室.基礎(chǔ)梳理第二節(jié) 一元二次不等式及其解法1. 一元二次不等式的定義只含有1個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫做一元二次不等式.2. 一元二次不等式的解集如下表 判別式0=00二次函數(shù) 的圖象一元二次方程的 根有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根沒有實(shí)數(shù)根的解集. . . .R的解集. . . .3. 分式不等式與一元二次不等式的關(guān)系設(shè)a0; 等價(jià)于（x-a）(x-b)0,且方程 的根是所以原不等式的解集是 .

7、(2)方法一：原不等式即為 ,其相應(yīng)方程為 , ,上述方程有兩相等實(shí)根 ,結(jié)合二次函數(shù) 的圖象知，原不等式的解集為R.方法二：xR,不等式的解集為R.學(xué)后反思 一般地，對于a0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解.舉一反三1. 已知二次函數(shù) ,當(dāng)y0時(shí),有 ,解不式 .解析：因?yàn)楫?dāng)y0時(shí) ，有 ，所以 是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.由根與系數(shù)的關(guān)系得 解得 ，所以不等式 ,解得-2x3,即不等式 的解集為x|-2x3.題型二 一元二次不等式的恒成立問題【例2】函數(shù) (1)當(dāng)xR時(shí)，f(x)a恒成立,求a的取值范圍；（2）當(dāng)x-2,2時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值范

8、圍.分析 設(shè) 恒成立問題轉(zhuǎn)化為g(x)0恒成立問題. （1）中xR時(shí),g(x)0恒成立，即g(x)的圖象不在x軸下方，故0.(2)中當(dāng)x-2,2時(shí)，g(x)0恒成立，并不能說明拋物線恒在x軸上方，應(yīng)分三種情況討論.解（1）xR時(shí)，有 恒成立，須且只須 ,即(2)方法一：當(dāng)x-2,2時(shí)， ,分如下三種情況討論： 圖1 圖2 圖3如圖1，當(dāng)g(x)的圖象恒在x軸上方時(shí)，有 ,即-6a2.如圖2，g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)，但在x-2,+)時(shí)，g(x)0,即 即解得 .如圖3,g(x)的圖象與x軸有交點(diǎn),但在x(-,2時(shí),g(x)0, 即 即解得-7a-6.綜合得a-7,2.方法二： ,只要f(x)

9、的最小值大于或等于a即可. .當(dāng) ，即-4a4時(shí), .令 ,再結(jié)合-4a4,解得-4a2.當(dāng) ，即a-4時(shí)， .令2a+7a，則a-7,-7a4時(shí), .令7-2aa，則a73，a.由得-7a2.即當(dāng)a-7,2時(shí)，在x-2,2時(shí)，有f(x)a恒成立.學(xué)后反思 (1) 對 xR恒成立時(shí)，只要求滿足 即可.另外： 恒成立 恒成立 恒成立 (2) 區(qū)別“f(x)0對xR恒成立”與“f(x)0對xm,n恒成立”的不同.f(x)0對xm,n恒成立，即f(x)在m,n上的最小值 .舉一反三2. 不等式 對于xR恒成立，則a的取值范圍是（）A.(-,2 B.(-，-2) C.(-2,2) D.(-2,2 解析

10、：當(dāng)a=2時(shí)，不等式恒成立；當(dāng)時(shí) ，解得-2a2.綜上,-2a2.答案：D題型三 一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用【例3】(12分)國家原計(jì)劃以2 400元/t的價(jià)格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m t,按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納8元（稱作稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8%）.為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān),制定積極的收購政策.根據(jù)市場規(guī)律,稅率降低x個(gè)百分點(diǎn),收購量能增加2x個(gè)百分點(diǎn).試確定x的范圍,使稅率調(diào)低后,國家此項(xiàng)稅收總收入不低于原計(jì)劃的78%.分析 理解題意,巧設(shè)未知數(shù),正確將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成不等式是解題關(guān)鍵.解 設(shè)稅率調(diào)低后的稅收總收入為y元,.1則 .4依題意,得y2 400m8%78%,即 2 400m8%7

11、8%.6整理得 ,解得-44x2.9根據(jù)x的實(shí)際意義,知0 x8,所以0 x2為所求.11即x的取值范圍是(0,2.12學(xué)后反思 解不等式應(yīng)用題，可分以下幾步思考：（1）認(rèn)真審題，抓住問題中的關(guān)鍵詞，找準(zhǔn)不等關(guān)系;（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，用不等式表示不等關(guān)系，使其數(shù)學(xué)化;（3）求解不等式;（4）還原實(shí)際問題.舉一反三3. 已知汽車從剎車到停車所滑行的距離（m）與時(shí)速（km/h）的平方及汽車總重量成正比例.設(shè)某輛卡車不裝貨物以時(shí)速50 km/h行駛時(shí),從剎車到停車走了20 m.如果這輛卡車裝著等于車重的貨物行駛時(shí),發(fā)現(xiàn)前面20 m處有障礙物,這時(shí)為了能在離障礙物5 m以外處停車,最大限制時(shí)速應(yīng)是多少

12、(結(jié)果只保留整數(shù)部分,設(shè)卡車司機(jī)發(fā)現(xiàn)障礙物到剎車需經(jīng)過1 s)?解析：設(shè)卡車從剎車到停車滑行距離為s m,時(shí)速為v km/h,卡車總質(zhì)量為t,則有 (k為常數(shù)).設(shè)卡車空載時(shí)的總質(zhì)量為 ,則 ,解得 .設(shè)卡車的限速為x km/h(x0),易知1 s走了由題意得 ,即 ，解得0 x23.所以卡車的最大限速為23 km/h.【例】解關(guān)于x的不等式 .易錯(cuò)警示錯(cuò)解 即當(dāng) ，即0a1時(shí)，不等式解集為 ;當(dāng) 1或a0時(shí)，不等式解集為 .錯(cuò)解分析 上述錯(cuò)解有如下錯(cuò)誤：首先沒有對二次項(xiàng) 的系數(shù)a的正負(fù)進(jìn)行討論.在比較 與1的大小時(shí),忽視了 =1這種情況.此外應(yīng)注意如下錯(cuò)誤:步驟要規(guī)范完整，分類討論的試題要有

13、總結(jié)性的語言,如“綜上所述”.由于關(guān)于x的不等式是按a的取值分類討論的,故最后結(jié)論不應(yīng)取并集,應(yīng)分別敘述；若是按x分類討論,最后應(yīng)取并,故何時(shí)取交集、并集，還是分別說明應(yīng)引起重視.正解 若a=0,原不等式-x+11;若a0，原不等式 其解的情況應(yīng)由 與1的大小關(guān)系決定，當(dāng)a=1時(shí)，式x;當(dāng)a1時(shí)，式 ;當(dāng)0a1時(shí)，式 .綜上所述，當(dāng)a1;當(dāng)0a1時(shí)，解集為 . 考點(diǎn)演練10. 當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式 恒成立,則m的取值范圍是 .解析：方法一（分離變量法）：原不等式可化為 ，x(1,2),式可化為 .易證明 在(1,2)上是減函數(shù)，所以 ,m-5.方法二（二次函數(shù)法）：如圖，顯然，要使得二次函

14、數(shù) 在區(qū)間(1,2)上小于0恒成立,只需 即可，解得m-5.答案：m-511. 某摩托車廠上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價(jià)為1.2萬元/輛,年銷售量為1 000輛.本年度為適應(yīng)市場需求,計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量,適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 x1),則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為 0.75x,同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x,已知年利潤y=（出廠價(jià)-投入成本）年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式;(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)?解析：(1)由題意得y=1.2(1+0.75x)-1(1+

15、x)1 000(1+0.6x)(0 x1),整理得(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加,必須有即 解得0 x .12. (2009南京模擬)已知不等式 的解集為x|xb.(1)求a,b;(2)解不等式 .解析：(1)因?yàn)椴坏仁?的解集為x|xb,所以 =1與=b是方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且b1,由根與系數(shù)關(guān)系得 ,解得(2)不等式 ,即 ,即(x-2)(x-c)2時(shí),不等式(x-2)(x-c)0的解集為x|2xc;當(dāng)c2時(shí),不等式(x-2)(x-c)0的解集為x|cx2;當(dāng)c=2時(shí),不等式(x-2)(x-c)2時(shí),不等式 的解集為x|2xc;當(dāng)c2時(shí),不等式 的解集為x|cx0在平面直角坐標(biāo)

16、系中表示直線Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界.當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時(shí),此區(qū)域應(yīng)包括邊界,則把邊界畫成實(shí)線.（2）判定方法對于直線Ax+By+C=0同一側(cè)的所有點(diǎn),把它的坐標(biāo)(x,y)代入Ax+By+C,所得的符號都相同,因此只需在此直線的同一側(cè)取某個(gè)特殊點(diǎn)( )作為測試點(diǎn),由 的符號即可判斷Ax+By+C0表示的是直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當(dāng)C0時(shí),常取原點(diǎn)作為測試點(diǎn).（3）不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示平面點(diǎn)集的交集,因而是各個(gè)不等式所表示平面區(qū)域的公共部分.2. 線性規(guī)劃的有關(guān)概念名稱意義約束條件

17、由變量x,y組成的不等式組線性約束條件由x,y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的函數(shù)解析式,如z=2x+3y等線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x,y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x,y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題典例分析題型一 用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域 【例1】如圖，在ABC中，A（0，1），B（-2，2），C（2，6），寫出ABC區(qū)域所表示的二元一次不等式組.分析 首先寫出直線AB、AC、BC的方程,再確定陰影部分在直線的哪一側(cè)，寫出相應(yīng)的二元一次不等式,再組成不

18、等式組.解 由兩點(diǎn)式得直線AB、BC、CA的方程并化簡為：直線AB:x+2y-2=0,直線BC：x-y+4=0,直線CA:5x-2y+2=0.原點(diǎn)（0,0）不在各直線上，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入到各直線方程左端，結(jié)合式子的符號可得不等式組為學(xué)后反思 直線把平面分成的每一個(gè)區(qū)域內(nèi)所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足一個(gè)不等式，確定不等式Ax+By+C0(0,0,0)表示直線Ax+By+C=0的哪一側(cè)區(qū)域，常用下列方法：先由等式定直線，然后在直線的某一側(cè)任取( ),把它的坐標(biāo)代入Ax+By+C0,若不等式成立，則和( )同側(cè)的點(diǎn)都滿足不等式，從而平面區(qū)域被找到.否則，直線的另一區(qū)域?yàn)椴坏仁紸x+By+C0所表示的區(qū)域.當(dāng)C

19、0時(shí)，常用原點(diǎn)來判別或者根據(jù)B的符號和不等式的符號來判別，若B的符號和不等式的符號同號，則不等式表示的區(qū)域在直線上方；若異號，則在直線的下方.舉一反三(教材改編題)若不等式組 表示的平面區(qū)域是一個(gè)三角形,則a的取值范圍是( )A.a5 B.a7 C.5a7 D.a0,將C(7,9)代入z得最大值為21.(2) 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方,過M作直線AC的垂線,易知垂足N在線段AC上,故z的最小值是 . 表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)（x,y）與定點(diǎn) 連線的斜率的兩倍，因?yàn)?,所以z的取值范圍為 .學(xué)后反思 線性規(guī)劃求最值問題,要充分理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,諸如直線的截距、兩

20、點(diǎn)間的距離（或平方）、點(diǎn)到直線的距離、過已知直線兩點(diǎn)的直線斜率等. 3. 如果點(diǎn)P在平面區(qū)域 上，點(diǎn)Q在曲線 上，那么|PQ|的最小值為（ ）舉一反三解析： 如圖，當(dāng)P取點(diǎn) ，Q取點(diǎn)（0，-1）時(shí)，|PQ|有最小值為答案： A題型四 線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用【例4】 (12分)某公司計(jì)劃2008年在甲、乙兩個(gè)電視臺做總時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告費(fèi)用不超過9萬元.甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分鐘和200元/分鐘.假定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司每分鐘所做的廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3 萬元和0.2萬元.問：該公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司收益最大，最大收益

21、是多少萬元？ 分析 根據(jù)題意，列出線性約束條件，正確作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃問題解決.解 設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分鐘,總收益為z元.2由題意得 z=3 000 x+2 000y.6二元一次不等式組等價(jià)于 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域,即可行域.如圖:作直線l:3 000 x+2 000y=0,即3x+2y=0.8平移直線l,從圖中可知，當(dāng)直線l過M點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.9聯(lián)立 ,解得x=100,y=200.10點(diǎn)M的坐標(biāo)為(100,200), =3 000 x+2 000y=700 000 （元）.11所以該公司在甲電視臺做

22、100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告,公司的收益最大,最大收益是70萬元.12學(xué)后反思 (1)解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的步驟是:設(shè)出未知數(shù)；列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù)；作出可行域；作平行線，使直線與可行域有交點(diǎn)；求出最優(yōu)解，并作答;(2)用圖解法解答線性規(guī)劃應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意:仔細(xì)審題,對關(guān)鍵部分進(jìn)行“精讀”,準(zhǔn)確理解題意,明確有哪些限制條件,探求的目標(biāo)如何?起關(guān)鍵作用的變量有哪些?由于線性規(guī)劃應(yīng)用題中的量較多,為了理順題目中量與量之間的關(guān)系,一般可將數(shù)據(jù)列成一個(gè)表格來幫助分析數(shù)量關(guān)系;(3)要注意結(jié)合實(shí)際問題,確定未知數(shù)x,y等是否有限制,如本題中必須x0,y0;(4)能建立線性規(guī)劃的實(shí)際問題的

23、類型:給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣統(tǒng)籌安排，使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源量最小.舉一反三4. 某化工集團(tuán)在靠近某河流修建兩個(gè)化工廠，流經(jīng)第一化工廠的河流流量為500萬立方米/天，在兩個(gè)化工廠之間還有一條流量為200萬立方米/天的支流并入大河（如圖）.第一化工廠每天排放含有某種有害物質(zhì)的工業(yè)廢水2萬立方米，第二化工廠每天排放這種工業(yè)廢水1.4萬立方米,從第一化工廠排出的工業(yè)廢水在流到第二化工廠之前,有20%可自然凈化.環(huán)保要求:河流中工業(yè)廢水的含量應(yīng)不大于0.2%,因此,這兩個(gè)工廠都需各自處理部分工業(yè)廢水,第一化工

24、廠處理工業(yè)廢水的成本是1 000元/萬立方米,第二化工廠處理工業(yè)廢水的成本是800元/萬立方米.試問:在滿足環(huán)保要求的條件下,兩個(gè)化工廠應(yīng)各自處理多少工業(yè)廢水,才能使這兩個(gè)工廠總的工業(yè)廢水處理費(fèi)用最小?解析：設(shè)第一化工廠每天處理工業(yè)廢水x萬立方米,需滿足：設(shè)第二化工廠每天處理工業(yè)廢水y萬立方米,需滿足:兩個(gè)化工廠每天處理工業(yè)廢水總的費(fèi)用為1 000 x+800y元.問題即為:在約束條件 即 下求目標(biāo)函數(shù)z=200(5x+4y)的最小值.如圖,作出可行域.可知當(dāng)x=1,y=0.8時(shí)目標(biāo)函數(shù)有最小值,即第一化工廠每天處理工業(yè)廢水1萬立方米,第二化工廠每天處理工業(yè)廢水0.8萬立方米,能使這兩個(gè)工廠總

25、的工業(yè)廢水處理費(fèi)用最小.易錯(cuò)警示【例】在R上可導(dǎo)的函數(shù) ,當(dāng)x(0,1)時(shí)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí)取得極小值,求點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的區(qū)域的面積以及 的取值范圍.易錯(cuò)分析 本題解答易出現(xiàn)如下誤區(qū)：（1）不能根據(jù)條件準(zhǔn)確作出可行域或不理解所要解答問題的幾何意義;（2）易忽視可行域不包括邊界而得出 .正解 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為 ,當(dāng)x(0,1)時(shí)f(x)取得極大值,當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)取得極小值,則方程 有兩個(gè)根,一個(gè)根在區(qū)間(0,1)內(nèi),另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi),由二次函數(shù) 的圖象與 方程 的根的分布之間的關(guān)系可以得到在aOb平面內(nèi)作出滿足約束條件的點(diǎn)(a,b)對應(yīng)的區(qū)域?yàn)锳BD（不包括

26、邊界,如圖陰影部分），其中點(diǎn)A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0), (h為點(diǎn)A到a軸的距離).點(diǎn)C(1,2)與點(diǎn)(a,b)連線的斜率為 ,顯然 ( ),即 .考點(diǎn)演練10. (2009福建福州八中)在可行域內(nèi)任取一點(diǎn)，規(guī)則如流程圖所示，則能輸出數(shù)對(x,y)的概率是 .解析:如圖，輸出的點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以 為半徑的圓周及其內(nèi)部，面積為 ，可行域內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的軌跡是邊長為 的正方形,面積為2.所以概率為 = .答案： 11. (創(chuàng)新題)設(shè)m為實(shí)數(shù) 若求m的取值范圍. 解析：由題意知,可行域應(yīng)在圓內(nèi),如圖,如果-m0,則可行域取到x0,b0 .(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng) a

27、=b 時(shí)取等號.2. 幾個(gè)重要的不等式(1) 2ab(a,bR).(2) 2 (a,b同號).(3) (a,bR). .3. 利用基本不等式求最值問題已知x0,y0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),x+y有最小值是 .(簡記:積定和最小)（2）如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y 時(shí), xy有最大值是 .(簡記:和定積最大)基礎(chǔ)梳理典例分析題型一 證明不等式【例1】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1, 求證:分析 將1=a+b+c代入不等式左邊,構(gòu)造基本不等式模型，再利用基本不等式證明.證明 學(xué)后反思 本題如果改為a0,b0,c0,求證 就比較明顯.用a+b+c=1的

28、條件將（a+b+c）“隱”去，造成了思考上的困難，因此應(yīng)注意“1”的代換，構(gòu)造基本不等式，使其積為定值，并使得等號同時(shí)成立.舉一反三1. 已知x,y,z是互不相等的正數(shù),且x+y+z=1,求證:證明: x,y,z是互不相等的正數(shù)，且x+y+z=1, 又0 x1, .同理, 將三式相乘,得 題型二 求最值【例2】 (1)設(shè)0 x0,y0,且x+y=1,求 的最小值.分析 (1)由0 x0,8-3x0.由于3x+(8-3x)=8,可由基本不等式得3x(8-3x) =16.(2)原式= ，再討論a-4的正負(fù).(3)由 ,再用基本不等式求最值.解 (1)0 x2,03x20, ,當(dāng)且僅當(dāng)3x=8-3x

29、,即x=43時(shí)取等號,當(dāng)x= 時(shí), 的最大值是4.(2)顯然a4,當(dāng)a4時(shí),a-40, 當(dāng)且僅當(dāng) ,即 時(shí)取等號;當(dāng)a4時(shí),a-40,y0,且x+y=1, ，當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=2y時(shí)等號成立，當(dāng) 時(shí)， 有最小值18.學(xué)后反思 (1)在利用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值時(shí),有時(shí)不一定恰好能用上基本不等式,因此還必須對所給的函數(shù)或代數(shù)式進(jìn)行變形整理,通過湊項(xiàng)的辦法(一般是湊和或者積為定值)構(gòu)造出基本不等式的形式再進(jìn)行求解.本題第(2)小題中 雖不是定值,但變形為 即可發(fā)現(xiàn) 為定值,故可用基本不等式求之.分式函數(shù)求最值,通?；?,g(x)恒正或恒負(fù))的形式,然后運(yùn)用基本不等式來求最值. (2)第(

30、3)小題要求根據(jù)條件求最值,如何合理利用條件x+y=1是解答本題的關(guān)鍵,方法是在式子上乘以(x+y).利用基本不等式求最值時(shí),要注意三個(gè)條件,即“一正、二定、三相等”，本題常見的錯(cuò)解為：x0,y0, .此法錯(cuò)誤的原因是沒有考慮等號成立的條件 和x=y同時(shí)成立是不可能的.所以在不等式連續(xù)放縮的時(shí)候,要時(shí)刻注意是否在同一條件下進(jìn)行放縮,放縮時(shí)還要注意目的性、同向性，不要出現(xiàn)放縮后不能比較大小的情況.在第(2)小題中當(dāng)a4,即a-40時(shí),要用基本不等式必須前面添負(fù)號變?yōu)檎?舉一反三2. 求f(x)= 的值域.解析：由已知得 .(1)若x2,則x-20.故 ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即x=3時(shí)取等號;(2)若x2,則x-20),即x=10時(shí)取等號.5當(dāng)長為16.2米，寬為10米時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為38 880元.6（2）由限制條件知 .8設(shè) .9g(x)在 上是增函數(shù),.10當(dāng) 時(shí) , g(x)有最小值,即f(x)有最小值 (元)11當(dāng)長為16米,寬為 米時(shí),總造價(jià)最低，為38 882元.12學(xué)后反思 (1)解應(yīng)用題時(shí),一定要注意變量的實(shí)際意義,即注意它的取值范圍.(2)利用基本不等式解決實(shí)際問題，要注意驗(yàn)證基本不等式成立的三個(gè)條件，當(dāng)“=”不能成立時(shí)，一般可用函數(shù)單調(diào)性求其最值.舉一反三3. 某游