2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)8.4　直線、平面平行的判定與性質(zhì)

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI8.4直線、平面平行的判定與性質(zhì)第八章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識 預(yù)案自診判定性質(zhì)定義定理圖形條件 結(jié)論aaab【知識梳理】 1.直線與平面平行的判定與性質(zhì) a= a ,b,且a ba,a,=b 判定性質(zhì)定義定理圖形條件 ,a結(jié)論aba2.面面平行的判定與性質(zhì) = a,b,ab=P,a,b ,=a,=b 常用結(jié)論1.平面與平面平行的三個性質(zhì)(1)兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.(2)夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等.(3)兩條直線被三個平

2、行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.2.判斷兩個平面平行的三個結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行.(2)平行于同一平面的兩個平面平行.(3)如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,那么這兩個平面平行.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.()(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.()(3)若直線a與平面內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a.()(4)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.()(5)如果兩個平面平行,那么分別在這

3、兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.()2. 已知平面,直線m,n,滿足n,則“mn”是“m”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 D解析 當(dāng)mn時,若m,則充分性不成立,當(dāng)m時,mn不一定成立,即必要性不成立,則“mn”是“m”的既不充分也不必要條件.故選D.3.(2020廣東湛江高三一模)已知直線a,b,平面,a,b,則a,b是的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案 B解析 因為直線a,b,平面,a,b,由a,b,得,平行或相交;由,得a,b,所以a,b是的必要不充分條件.故選B.4.(2020安

4、徽宣城高三模考)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別為棱AA1,BB1的中點(diǎn),過MN作一平面分別交底面三角形ABC的邊BC,AC于點(diǎn)E,F,則下列說法正確的是()A.MFNEB.四邊形MNEF為梯形C.四邊形MNEF為平行四邊形D.A1B1NE答案 B解析 在AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,AM=BN,又AMBN,四邊形ABNM是平行四邊形,MNAB.又MN平面ABC,AB平面ABC,MN平面ABC.又MN平面MNEF,平面MNEF平面ABC=EF,MNEF,EFAB.在ABC中,EFAB,EFMN,四邊形MNEF為梯形.故選B.5.(2020遼寧朝陽模擬)如圖,平面平

5、面,PAB所在的平面與平面,分別交于CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1證明空間直線與平面平行【例1】 (一題多解)如圖,在四棱錐E-ABCD中,ABCD,ABC=90,CD=2AB=2CE=4,點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn).證明:AF平面BCE.證明 (方法1)如圖,取CE的中點(diǎn)M,連接FM,BM.因為點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn),所以FMCD,且FM= CD=2,因為ABCD,且AB=2,所以FMAB,且FM=AB,所以四邊形ABMF為平行四邊形,所以AFBM.因為AF平面BCE,BM平面BCE,所以AF平面BCE.(方法2)如圖,在平面ABCD內(nèi),分別延長CB,DA

6、,交于點(diǎn)N,連接EN.因為ABCD,CD=2AB,所以A為DN的中點(diǎn).又F為DE的中點(diǎn),所以AFEN.因為EN平面BCE,AF平面BCE,所以AF平面BCE.(方法3)如圖,取棱CD的中點(diǎn)G,連接AG,GF,因為點(diǎn)F為棱DE的中點(diǎn),所以FGCE.因為FG平面BCE,CE平面BCE,所以FG平面BCE.因為ABCD,AB=CG=2,所以四邊形ABCG是平行四邊形,所以AGBC,因為AG平面BCE,BC平面BCE,所以AG平面BCE.又FGAG=G,FG平面AFG,AG平面AFG,所以平面AFG平面BCE.因為AF平面AFG,所以AF平面BCE.思考判斷或證明線面平行的常用方法有哪些?解題心得 1

7、.判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性質(zhì)(,aa).2.證明線面平行往往先證明線線平行,證明線線平行的途徑有:利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì),或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.對點(diǎn)訓(xùn)練1(2020河北唐山模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)M,N分別為線段A1B,AC1的中點(diǎn).求證:MN平面BB1C1C.證明如圖,連接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C為平行四邊形.又因為N為線段AC1的中點(diǎn),所以A1C與AC1相交于點(diǎn)N,

8、即A1C經(jīng)過點(diǎn)N,且N為線段A1C的中點(diǎn).因為M為線段A1B的中點(diǎn),所以MNBC.又因為MN平面BB1C1C,BC平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.考點(diǎn)2證明空間兩條直線平行【例2】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形且ABC=120,點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證:EFCD;(2)略.解 (1)證明: 底面ABCD是菱形,ABCD,又AB平面PCD,CD平面PCD,AB平面PCD.又A,B,E,F四點(diǎn)共面,且平面ABEF平面PCD=EF,ABEF,即可得EFCD.思考空間中證明兩條直線平行的常用方法有哪些?解題心得 空間中證明兩條直線平行的常

9、用方法:(1)利用線面平行的性質(zhì)定理,即a,a,=bab.(2)利用平行公理推論:平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)利用垂直于同一平面的兩條直線互相平行.對點(diǎn)訓(xùn)練2(2020湖南岳陽模擬)如圖,平面ABEF平面ABCD,四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形,BAD=FAB=90,BC AD,BE FA,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).(1)求證:四邊形BCHG是平行四邊形;(2)求證:C,D,E,F四點(diǎn)共面.考點(diǎn)3證明空間兩平面平行【例3】 (2020浙江溫州模擬)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,BF平面ABCD,DE平面ABCD,BF=DE,M為棱AE的中點(diǎn).

10、(1)求證:平面BDM平面EFC;(2)若AB=1,BF=2,求三棱錐A-CEF的體積.(1)證明如圖,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)N,則N為AC的中點(diǎn),連接MN,又M為棱AE的中點(diǎn),MNEC.MN平面EFC,EC平面EFC,MN平面EFC.BF平面ABCD,DE平面ABCD,且BF=DE,BFDE,四邊形BDEF為平行四邊形,BDEF.BD平面EFC,EF平面EFC,BD平面EFC.又MNBD=N,平面BDM平面EFC.(2)解連接EN,FN.在正方形ABCD中,ACBD,又BF平面ABCD,BFAC.又BFBD=B,AC平面BDEF,又N是AC的中點(diǎn),V三棱錐A-NEF=V三棱錐C-NEF,思考判斷

11、或證明面面平行的方法有哪些?解題心得判定面面平行的方法(1)利用定義:即證兩個平面沒有公共點(diǎn)(不常用).(2)利用面面平行的判定定理(主要方法).(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用).(4)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(客觀題可用).對點(diǎn)訓(xùn)練3(2020河北邯鄲二模)如圖,在四棱錐P-ABCD中,ABC=ACD=90,BAC=CAD=60,PA平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點(diǎn).(1)求證:平面CMN平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.(1)證明 M,N分別為PD,AD的中點(diǎn),MNPA.又MN平面P

12、AB,PA平面PAB,MN平面PAB.在RtACD中,CAD=60,CN=AN,ACN=60.又BAC=60,CNAB.CN平面PAB,AB平面PAB,CN平面PAB.又CNMN=N,平面CMN平面PAB.(2)解 由(1)知,平面CMN平面PAB,點(diǎn)M到平面PAB的距離等于點(diǎn)C到平面PAB的距離.由已知,B=1,ABC=90,BAC=60,考點(diǎn)4平行關(guān)系中的存在問題【例4】 (2020河南南陽高三二模)在直角梯形ABCD中(如圖1),ABDC,BAD=90,AB=5,AD=2,CD=3,點(diǎn)E在CD上,且DE=2,將ADE沿AE折起,使得平面ADE平面ABCE(如圖2),G為AE的中點(diǎn).(1)

13、求四棱錐D-ABCE的體積;(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)P,使得CP平面ADE?若存在,求 的值;若不存在,請說明理由.(2)在BD上存在點(diǎn)P,使得CP平面ADE.過點(diǎn)C作CFAE交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作FPAD交DB于點(diǎn)P,連接PC,如圖所示,因為CFAE,AE平面ADE,CF平面ADE,所以CF平面ADE,同理FP平面ADE,又因為CFPF=F,所以平面CFP平面ADE.因為CP平面CFP,所以CP平面ADE.所以在BD上存在點(diǎn)P,使得CP平面ADE.因為四邊形AECF為平行四邊形.所以AF=CE=1,即BF=4,思考解決存在性問題的一般思路是什么?解題心得解決存在問題一般先假設(shè)求解的結(jié)果存

14、在,從這個結(jié)果出發(fā),尋找使這個結(jié)論成立的充分條件,若找到了使結(jié)論成立的充分條件,則存在;若找不到使結(jié)論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.而對于探求點(diǎn)的問題,一般是先探求點(diǎn)的位置,多為線段的中點(diǎn)或某個三等分點(diǎn),然后給出符合要求的證明.對點(diǎn)訓(xùn)練4如圖,在空間幾何體ABCDE中,BCD與CDE均為邊長為2的等邊三角形,ABC為腰長為 的等腰三角形,平面CDE平面BCD,平面ABC平面BCD.試在平面BCD內(nèi)作一條直線,使直線上任意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行,并給出詳細(xì)證明.解 如圖所示,取BC和BD的中點(diǎn)H,G,連接HG,則直線HG為所求直線.證明如下.因為H,G分別為BC和BD的中點(diǎn),所以HGCD,所以HG平面CDE.取CD的中點(diǎn)O,連接EO,AH,AG,如圖,易知EOCD,AHBC.因為平面CDE平面BCD,且EOCD,所以EO平面BCD,又由平面ABC平面BCD,AHBC,得AH平面BCD,所以EOAH,所以AH平面CDE,又AHHG于點(diǎn)H,所以平面AHG平面CDE,所以直線HG上任意一點(diǎn)F與A的連線AF均與平面CDE平行.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化方向如圖所示: 要點(diǎn)歸納小結(jié)2.直線與平面平行的主要判定方法:(1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質(zhì).3.平面與平