傅里葉變換與傅里葉級(jí)數(shù)(共22頁)

1、 HYPERLINK /newthinker_wei/article/details/8698079 重溫(zhn wn)傅里葉筆記(bj)篇 本文記錄的大多是基礎(chǔ)的公式，還有一些我認(rèn)為(rnwi)比較重要的有參考價(jià)值的說明。（如果對(duì)這些公式已經(jīng)很熟悉，可以直接看第三部分：總結(jié)性說明）重溫傅里葉筆記篇一、傅里葉級(jí)數(shù)$ 關(guān)于三角函數(shù)系的正交性： 三角函數(shù)系包括： 1, cos x, sinx , cos2x, sin 2x, cos nx, sinnx, “正交性”是說，三角函數(shù)系中的任何一項(xiàng)與另一項(xiàng)的乘積，在 (-, ) 區(qū)間內(nèi)的積分為0。（任何兩相的積總可以展成兩個(gè)頻率為整數(shù)倍基頻的正余弦函

2、數(shù)之和或差，而這兩個(gè)展開后的正余弦在(-, )上積分都為0）。 不同頻率（但都是整數(shù)倍基頻）的兩個(gè)正弦函數(shù)之積，在(-, )上積分恒為0。 同頻率的兩個(gè)正弦函數(shù)之積，只有在這兩個(gè)正弦的相位正交時(shí)，其在(-, )上積分才是0。 三角函數(shù)(snjihnsh)系中除“1”以外的任何(rnh)一項(xiàng)的平方，在(-, )上的積分(jfn)恒為，“1”在這個(gè)區(qū)間上的積分為2。 $ 上公式 ! 當(dāng)周期為2時(shí)：式（1）：上式成立的條件是f(x)滿足狄立克雷充分條件：1.在任意有限區(qū)間內(nèi)連續(xù)，或只有有限多個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2.任意的有限區(qū)間，都可被分成有限多個(gè)單調(diào)區(qū)間（另一種說法是：任意有限區(qū)間內(nèi)只有有限多個(gè)極值點(diǎn)

3、，其實(shí)(qsh)是一樣的） 式（1）第一行中的a0/2 就是(jish)f(x)的周期平均值，而且(r qi)第一行的式子只對(duì)f(x)是連續(xù)函數(shù)的情況成立；如果f(x)不連續(xù)，則應(yīng)表示成“(1/2) f(x-0)+f(x+0)”，即f(x)左右極限的算術(shù)平均。下面的類似情況都是這樣，之后就不再專門說明，這些大家應(yīng)該都懂。 第三、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，n，（都為正，且不包含0）。 當(dāng)周期為2L時(shí)（這也是最一般的情形）： 式（2）： 第一行中的a0/2 就是(jish)f(x)的周期(zhuq)平均值； 第三(d sn)、四行中，n的取值都是：1，2，3，4，n，（都為正，且不包含

4、0）。$ 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表達(dá)方式 同樣設(shè)周期為2L。根據(jù)歐拉公式，正余弦函數(shù)都可以用復(fù)指數(shù)表示出來。這樣上面式（2）中的第一行： 可以表示為：令：cn與c-n互為共軛。這樣(zhyng)式（4）變?yōu)椋河墒剑?）和式（2）中對(duì) a0 b0an bn c0 cn c-n的定義(dngy)，可以發(fā)現(xiàn)cn可統(tǒng)一(tngy)表達(dá)為：將傅里葉級(jí)數(shù)用復(fù)數(shù)(fsh)表示后，就是式（6）和式（7）這樣簡(jiǎn)潔的形式。簡(jiǎn)單分析：若f(x)為偶（或奇）函數(shù)(hnsh)，則所有的bn(或an)將為0，此時(shí)(c sh)的cn將變?yōu)閷?shí)數(shù)(shsh)（或純虛數(shù)），且an(或bn)是轉(zhuǎn)換后所得的cn的2（或2i）倍，而c-n與

5、cn相等（或純虛共軛）。二、復(fù)變函數(shù)中的傅里葉變換$ 先上公式： 定理(dngl)：若f(t)在（-,+）上絕對(duì)(judu)可積，即 f(t)的絕對(duì)值在（-,+）上收斂(shulin)，則F()在（-,+）上存在且連續(xù)（F()的連續(xù)性在復(fù)變函數(shù)的教科書中一般都有證明）。F()是實(shí)變復(fù)值函數(shù)，即變量是在實(shí)數(shù)區(qū)間（-,+）定義，而函數(shù)值F()卻在復(fù)數(shù)空間。 式（9）的條件是：f(t)在（-,+）上絕對(duì)可積，并在任一有限區(qū)間 滿足狄立克雷充分條件。$ 若f(t)為偶函數(shù)，則F()將為純實(shí)數(shù)，且同為偶函數(shù)； 若f(t)為奇函數(shù)，則F()將為純虛數(shù)，且同為奇函數(shù)； 而對(duì)任意f(t)，F(xiàn)() 與F(-)始

6、終共軛，這意味著 |F()| 與 | F(-)| 恒相等，即F()的絕對(duì)值是偶函數(shù)。$ 由于要求f(t)絕對(duì)可積，所以對(duì)于周期函數(shù)一般是不能用傅里葉變換的，只能用傅里葉級(jí)數(shù)分析。（周期函數(shù)往往不能收斂）。 三、總結(jié)性說明(shumng) 周期函數(shù)可以看成由很多頻率(pnl)是原函數(shù)頻率整數(shù)倍的正余弦波疊加而成，每個(gè)頻率的波都有各自的振幅和相位，必須將所有頻率的振幅和相位同時(shí)記錄才能準(zhǔn)確表達(dá)原函數(shù)。但從上面的公式來看，我們好像從沒涉及到相位？其實(shí)不然，從式（2）來看，我們將每個(gè)頻率的波分成了一個(gè)正弦分量(fn ling)和一個(gè)余弦分量，同時(shí)記錄了這兩個(gè)分量的振幅an、bn其實(shí)就已經(jīng)包含了這個(gè)頻率

7、的波的相位信息；而對(duì)于式（6a），每個(gè)頻率的波被分成了正負(fù)兩個(gè)頻率的復(fù)數(shù)“波”，這種方式其實(shí)比正余弦形式更加直觀，因?yàn)閺?fù)振幅cn恰好同時(shí)記錄了這個(gè)頻率的振幅和相位，它的物理意義很明顯：cn的幅值 |cn| 即為該頻率的振幅（準(zhǔn)確的說是振幅的一半），而其輻角恰好就是相位（準(zhǔn)確的說是反相的相位，c-n的輻角才恰好代表該頻率波分量的相位）。 傅里葉變換針對(duì)的是非周期函數(shù)，或者說，周期為無窮的函數(shù)。它是傅里葉級(jí)數(shù)的一個(gè)特例（好吧，我曾經(jīng)一直以為傅里葉級(jí)數(shù)是傅里葉變換的一個(gè)特例，正好相反，剛前幾天才想通透）。當(dāng)傅里葉級(jí)數(shù)的周期L趨于無窮時(shí)，自然就變成了上面的傅里葉變換。這種關(guān)系從二者的表達(dá)式中大概能看出

8、點(diǎn)端倪，但是也不是特別明顯，畢竟它們的表達(dá)形式差別還挺大。如果不把傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)成復(fù)數(shù)形式，那就更加難看出二者之間的聯(lián)系了，這也是為什么本文中詳細(xì)列出了復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉變換要求f(t)在（-,+）上絕對(duì)可積，其實(shí)可以理解成“傅里葉級(jí)數(shù)要求函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的積分必須收斂”。在深入篇中，我再好好說說二者是如何聯(lián)系的。 HYPERLINK /newthinker_wei/article/details/8698214 重溫傅里葉-深入篇1-傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換(binhun)的關(guān)系以及頻譜圖的介紹 在讀本文前，請(qǐng)先大致瀏覽一下筆記篇里的東西，下面使用的符號(hào)及其意義都跟筆記篇里是一致(y

9、zh)的。筆記篇里記錄的大都是基礎(chǔ)的公式，教科書上都可以找到。（抱歉(boqin)，剛發(fā)現(xiàn)有點(diǎn)小錯(cuò)誤：在式（6-4）和式（11）里，積分項(xiàng)中的“dx”都應(yīng)改為“d”，由于改圖不太好改，就只在這里說明了。請(qǐng)讀者看的時(shí)候注意）為了下面敘述方便，我先做幾點(diǎn)約定和說明： 本文中提到的傅里葉級(jí)數(shù)都是復(fù)數(shù)形式的級(jí)數(shù)，下標(biāo)n都是負(fù)無窮到正無窮； 對(duì)于筆記篇里經(jīng)常出現(xiàn)的“ n/L ”，它可以看成一個(gè)角頻率，用表示。（角頻率與頻率(通常用f表示)之間的關(guān)系是：=2f）。（參見筆記篇中的式（3）、（4）、（6）等）； 進(jìn)一步，我將“/L”稱為(chn wi)“角基頻(j pn)”， 這樣的話“ n/L ”就是(j

10、ish)n倍角基頻。當(dāng)周期為2時(shí)，角基頻恰好為1； 一定別搞混：cn代表的不是角頻率為n的波分量的振幅，而是角頻率為n倍角基頻的波分量的振幅； 對(duì)于周期函數(shù)，除了角頻率為整數(shù)倍（包括負(fù)整數(shù)倍）角基頻的波分量振幅可以不為0外，角頻率為其他值的波分量振幅都是0。（下面介紹頻譜圖時(shí)會(huì)再提到此事）； *對(duì)于周期L等于無窮大的函數(shù)（非周期函數(shù)），其角基頻為/L = 0 ，這樣實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的所有角頻率都可以看成整數(shù)倍角基頻了，因此非周期函數(shù)在所有的角頻率處都有波分量?。ň褪钦f，頻譜圖由離散變得連續(xù)了）。什么，那不亂套了？如果所有的角頻率都有波分量而且每個(gè)波分量都有一個(gè)不為0的振幅，那級(jí)數(shù)怎么可能收斂？還好，

11、每個(gè)cn的表達(dá)式中都有一個(gè) 1/2L 的系數(shù)，這樣周期無窮大時(shí)，所有的振幅cn也都變成“0”了，所以不會(huì)亂套，但是這么多0加一塊應(yīng)該還是0，怎么能湊出原來的f(x)呢？這就像對(duì)一個(gè)函數(shù)積分一樣，函數(shù)在任意一個(gè)點(diǎn)處的積分都是0（好吧我知道這說法不科學(xué)，但是方便理解），但對(duì)一個(gè)區(qū)間積分，這么多0加起來就成了一個(gè)有限值。好了，不亂說了，越說越亂，本文就從這里開始，看完下面的幾段大家就能清楚的知道是怎么一回事了。 為了方便大家翻閱，我先將一會(huì)兒涉及到的幾個(gè)公式重新貼一遍在這里。這些公式及公式的標(biāo)號(hào)都與筆記篇中相同。周期級(jí)數(shù)(j sh)公式如式（6）和式（7）那樣，我們現(xiàn)在(xinzi)要做的是，搞明白

12、為什么周期L趨于無窮(wqing)時(shí)，就會(huì)有式（9）和式（8）的結(jié)果。好，現(xiàn)在我們對(duì)式（6）和式（7）進(jìn)行第一步加工：將式中的“ n/L ”用角頻率n來表示，代表n倍角基頻。這樣，會(huì)產(chǎn)生下面的新式子：對(duì)比(dub)式（7-1）和式（8），發(fā)現(xiàn)他們右邊的積分(jfn)式主體部分形式幾乎是一樣的，只是上下限和系數(shù)不同。好吧，為了更直觀的對(duì)比，我再創(chuàng)造一個(gè)符號(hào)，F(xiàn)n，將它定義(dngy)如下： Fn= cn 2L 這樣我們就可以徹底拋棄cn 這個(gè)礙眼的符號(hào)了，全部用Fn代替。然后重寫式（6）和式（7）：再拿式（7-2）和式（8）對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)很讓人興奮的結(jié)果，他們的形式幾乎一樣！但是式（6-2）和式（

13、9）貌似差別還不小，他們的系數(shù)一個(gè)是(1/2L)，一個(gè)(1/2)。好吧，接著來，我們?cè)賱?chuàng)造一個(gè)符號(hào)，定義如下： = （/ L） （其實(shí)就是角基頻(j pn)的大?。├盟鼇碓俅?zi c)加工式（6）：（式（7-2）不變，但還是一塊(y kui)列了出來）重新對(duì)比式（6-3）和式（9），發(fā)現(xiàn)形式已經(jīng)很相近了，只不過一個(gè)是積分一個(gè)是和式等一下！和式？再仔細(xì)看看看式（6-3），發(fā)現(xiàn)這時(shí)它很像一個(gè)函數(shù)積分的和式展開式！那我們現(xiàn)在來構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)吧：F* ()和* ()，構(gòu)造方法如下： F*() = Fn 當(dāng) ( n - 1/2 ) ( n + 1/2 ) 時(shí)；* () = n 當(dāng) ( n - 1/2

14、) ( n + 1/2 ) 時(shí)；這是兩個(gè)分段跳躍函數(shù)，它們都以為自變量，并每隔，函數(shù)值變化一次。好吧，數(shù)字太不直觀，我把F*()的函數(shù)圖象大致畫出來方便大家理解： 上面(shng min)這個(gè)階梯狀的東西就是F* ()的函數(shù)(hnsh)圖象。* ()的圖像也是類似的階梯狀，而且它的更簡(jiǎn)單，是一個(gè)從負(fù)無窮到正無窮逐步升高(shn o)的形狀（每次升高一個(gè)角基頻的大?。?。 這里有必要說明一下，以免誤導(dǎo)大家：Fn 一般都是復(fù)數(shù)，只有在f(x)本身是偶函數(shù)時(shí)才是實(shí)數(shù)，因此函數(shù)F*的值也應(yīng)為復(fù)數(shù)。也就是說，將F*的函數(shù)圖象畫成圖1那樣的實(shí)數(shù)形式其實(shí)是不合理的。我這樣做只是為了方便大家理解（6-3）中的和

15、式是如何變成積分式的。好了，有了這兩個(gè)(lin )函數(shù)，我們?cè)賮碜屑?xì)看看式（6-3），不難看出，這個(gè)和式其實(shí)就是(jish)函數(shù)F*在（-,+）上的積分(jfn)（面積）！這次我們?cè)龠M(jìn)一步，將上面兩個(gè)式子中的Fn和n也都換掉，使其變成*和F*這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系式（離成功不遠(yuǎn)了）： 這就是轉(zhuǎn)換后的結(jié)果。筆記篇中的式（6b）與式（7），跟現(xiàn)在推出的式（6-4）與式（7-4），是完全等價(jià)的，因?yàn)楹竺娴膬蓚€(gè)就是根據(jù)前兩個(gè)換算來的，只不過借助了F*()和* ()這兩個(gè)新構(gòu)造的函數(shù)而已。 表達(dá)的意義一樣，適用范圍也一樣（都適用于周期函數(shù)），但形式卻大變！ 這時(shí)再回頭看看式（9）和式（8），我們終于可以松

16、口氣了，形式完全一樣！好了，現(xiàn)在我們?cè)倏纯纯粗芷贚趨于無窮時(shí)會(huì)發(fā)生什么。如果直接分析筆記篇中的式（6b）與式（7），我們會(huì)很失望，因?yàn)長(zhǎng)趨于無窮時(shí)，它們都“退化”了，很難直接地從這兩個(gè)式子中得到有用的信息（如果用這兩個(gè)式子，我們所能得到的“直觀”結(jié)果就是：cn 全變0了，所以f(x)是0。顯然這是錯(cuò)的）。但我們后來創(chuàng)造出來的式（6-4）與式（7-4），適應(yīng)環(huán)境的能力就很強(qiáng)了。1. 首先(shuxin)，L趨于無窮(wqing)時(shí)，會(huì)變得越來越小直至(zhzh)變成0（是什么？忘了？前面有， = （/ L）；2. 同時(shí)，對(duì)于* () = n，由于其實(shí)就是角基頻，而相鄰的兩個(gè)n差就是一個(gè)角基頻，根

17、據(jù)1可知，L趨于無窮時(shí)，* ()就由階梯跳躍變得連續(xù)了，這時(shí)* () =。3. 同時(shí)，兩個(gè) 相鄰的Fn，他們的差別也越來越小直至變成0，（Fn =cn 2L ，從cn的表達(dá)式可以看出，L趨于無窮時(shí)cn本身就是一個(gè)與（1/L）同階的無窮小量，那相鄰的cn之間的差值就是比（1/L）更高階的無窮小量，因此相鄰的Fn之間的差值就趨于0了）。OK完結(jié)，多么簡(jiǎn)單，可是以前就沒想到，剛現(xiàn)在才開竅。 數(shù)字游戲玩完之后，我們?cè)俸煤美斫?lji)一下式（8）（9）中的F()。從我們(w men)剛才的證明過程中，可以看到 Fn = cn2L ，在筆記(bj)篇中我說過，cn其實(shí)就代表某個(gè)頻率波分量的振幅和相位，而

18、Fn與cn是成正比的，它的值同樣可以表征一個(gè)波分量的振幅和相位。F()與Fn有相同的意義，因此F()的分布其實(shí)就代表了各角頻率波分量的分布。具體的說： |F()| 的分布正比地體現(xiàn)了各個(gè)角頻率波分量的振幅分布。（別忘了F()是復(fù)數(shù)） F()的輻角體現(xiàn)了各個(gè)角頻率波分量的相位分布。 我們平時(shí)所說的“頻譜圖”，其實(shí)指的就是| F()|的函數(shù)圖象，它始終是偶函數(shù)（這個(gè)就是實(shí)數(shù)了，因?yàn)槲覀內(nèi)〉氖荈()的幅值而不是F()本身）。對(duì)于滿足傅里葉變換條件的非周期函數(shù)，他們的頻譜圖一般都是連續(xù)的；而對(duì)于周期函數(shù)，他們的頻譜則都是離散的點(diǎn)，只在整數(shù)倍角基頻的位置有非零的頻譜點(diǎn)存在。根據(jù)頻譜圖可以很容易判斷該原函

19、數(shù)是周期函數(shù)還是非周期的（看頻譜圖是否連續(xù)就行了），而且對(duì)于周期函數(shù)，可以從頻譜圖讀出周期大?。ㄏ噜彽碾x散點(diǎn)之間的橫軸間距就是角基頻，這個(gè)角頻率對(duì)應(yīng)的周期就是原函數(shù)的周期）。那怎樣讀出每個(gè)頻率的振幅呢？| F()| 與振幅成正比，要想讀出某個(gè)頻率波分量的實(shí)際振幅，只需讓 |F()| 乘以相鄰離散點(diǎn)的橫軸間距再除以即可。其實(shí)就是讓 |F()| 除以原函數(shù)周期值的一半（即L），參考一下我們上面說到的Fn和cn之間的關(guān)系式以及我在筆記篇中提到的“|cn|的幅值是實(shí)際振幅的一般”，就可以輕松得到得到這個(gè)結(jié)論。對(duì)于非周期函數(shù)來說，其頻譜圖已趨于連續(xù)，相鄰“離散點(diǎn)”的橫軸間距就是一個(gè)無窮小量，而 |F()

20、| 是有限值，那么每個(gè)頻率波分量的實(shí)際振幅就都是0了。所以對(duì)于非周期函數(shù)，說“|F()| 代表了振幅密度的大小”比說“ |F()| 代表了振幅的大小”更貼切一點(diǎn)。在某個(gè)寬度為的區(qū)間內(nèi)（頻帶），對(duì)這個(gè)“密度”進(jìn)行積分，（其實(shí)還要再除以的）就能得到這個(gè)寬度為的頻帶中所有頻率產(chǎn)生的振幅之和（雖然大家的振幅都是趨于0，但無數(shù)個(gè)加一塊就有非零值了）。怎么理解呢？先把這個(gè)連續(xù)頻譜圖想象成一個(gè)由很多離散點(diǎn)組成的離散頻譜圖，只不過相鄰離散點(diǎn)之間的橫軸間距特別?。ㄓ胐表示吧，方便我敘述），其實(shí)相當(dāng)于先把這個(gè)非周期函數(shù)想象成了一個(gè)周期很長(zhǎng)的周期函數(shù)（周期越長(zhǎng)，相鄰離散點(diǎn)的橫軸間距/L 越?。缓笥弥芷诤瘮?shù)那一套

21、計(jì)算這個(gè)寬度為 的頻帶內(nèi)所有頻率的振幅之和，求解方法就是讓每個(gè)非零的頻譜值乘以相鄰離散點(diǎn)橫軸間距d，都加一塊，再除以。這要取個(gè)極限的話，正好就是“在這個(gè)寬度為的頻帶內(nèi)，對(duì)這個(gè)密度進(jìn)行積分，然后除以”。 下面配兩個(gè)圖，分別(fnbi)是一個(gè)周期函數(shù)和一個(gè)非周期函數(shù)的頻譜圖：本文完。我以前就一直不清楚傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)的具體關(guān)系(gun x)，在網(wǎng)上找不到很好的資料，以前又沒聽過課（估計(jì)課上也不會(huì)講），書本上又講的太含糊，所以很長(zhǎng)時(shí)間沒有好好思考過傅里葉級(jí)數(shù)，現(xiàn)在終于自己想明白了。希望我的這些想法希望對(duì)你也有所幫助。我研究(ynji)過 傅立葉級(jí)數(shù)可以說是一對(duì)于一個(gè)周期性的函數(shù)(hnsh)而言

22、的，然而當(dāng)我們把周期看成 HYPERLINK /s?wd=%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%A4%A7&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 無窮大時(shí)，那么(n me)離散的傅立葉級(jí)數(shù)也就成為了連續(xù)的 HYPERLINK /s?wd=%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 傅立葉變換了，然后在利用哪個(gè) HYPERLINK /s?wd=%E6%AC%A7%E6%8B%89%E

23、5%85%AC%E5%BC%8F&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 歐拉公式，將它變成了實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)的 HYPERLINK /s?wd=%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 傅立葉變換了，這個(gè)是 HYPERLINK /s?wd=%E6%97%B6%E5%9F%9F&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 時(shí)域與 HYPERLINK /s?wd=%E9%A2%91%E5%9F%9F&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 頻域的變換，這個(gè)變換大大的化簡(jiǎn)了在 HYPERLINK /s?wd=%E6%97%B6%E5%9F%9F&hl_tag=textlink&tn=SE_hldp01350_v6v6zkg6 t _blank 時(shí)域里面的運(yùn)算，我們可以看到 HYPERLINK /s?wd=%E5%82%