工具變量法：2SLS

1、=0工具變量法（一）：2SLS實(shí)證研究的常見問(wèn)題之一為內(nèi)生性（），即解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)。研究者通常要花很大精力來(lái)解決內(nèi)生性問(wèn)題，而工具變量法則是解決內(nèi)生性的常用利器。內(nèi)生性及其后果考慮最簡(jiǎn)單的一元線性回歸模型:列二住+肚+6(i=1Il)其中，J為被解釋變量，匸為解釋變量，與；為待估計(jì)的未知參數(shù)，下標(biāo)-表示個(gè)體（比如，第個(gè)企業(yè)），-為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)（包含除.-外影響的所有其他因素），而為樣本容內(nèi)生性意味著解釋變量與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)，即如果存在內(nèi)生性，則稱解釋變量為內(nèi)生變量（）；反之，則稱b為外生變量（）。內(nèi)生性的嚴(yán)重后果是使得L估計(jì)量不一致（Si即無(wú)論樣本容量多大，LS估計(jì)量也不會(huì)收斂至真實(shí)的參數(shù)值。

2、工具變量的思想工具變量的思想其實(shí)很簡(jiǎn)單。雖然內(nèi)生變量是壞的變量（與擾動(dòng)項(xiàng)相關(guān)），但仍可能有好的部分（與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)的部分），正如壞人通常也有好的一面。如果能將內(nèi)生變量.分解為內(nèi)生部分與外生部分之和，則可能使用其外生部分得到一致估計(jì)。而要實(shí)現(xiàn)這種分離，通常需要借助另一變量，比如，稱為工具變量（，簡(jiǎn)記IV因?yàn)樗鹬ぞ咝缘淖饔?。顯然，并非任何變量都可以作為工具變量。首先，變量要能夠幫助內(nèi)生變量；分離出一個(gè)外生部分，則變量自身必須是干凈的，即滿足外生性（與擾動(dòng)項(xiàng)不相關(guān)）：其次，變量J還須與工有一定關(guān)系，即滿足相關(guān)性（衛(wèi)與工相關(guān)）C”DV（逐、T/0尋找內(nèi)生變量的外生部分假設(shè)找到內(nèi)生變量工的有效工具變

3、量則可將工對(duì)進(jìn)行回歸，從而分離出工的外生部分：S=;+曲+g此回歸稱為第一階段回歸（）。由工具變量的相關(guān)性（了與工相關(guān)）可知，去（）；否則，無(wú)法實(shí)現(xiàn)此分離。記此回歸的擬合值（）為；=+S益其相應(yīng)的殘差（）為顯然，第一階段回歸將內(nèi)生變量/分解為兩部分：%=僉+Ui其中，第一階段回歸的擬合值為工具變量的線性函數(shù)，故為外生部分（因?yàn)?外生）；而其余的殘差為內(nèi)生部分。二階段最小二乘法既然第一階段回歸的擬合值心外生，故只要將必替代原模型中的內(nèi)生變量;即可用得到一致估計(jì)：加=生+聳+（己,+萬(wàn)魚）稱此回歸為.第二階段回歸（）r不難證明，在此回歸中，必與擾動(dòng)項(xiàng)-不相關(guān)。首先，由于為工具變量的線性函數(shù)，故與不

4、相關(guān)。其次，根據(jù)的正交性（陳強(qiáng)，1）,回歸的擬合值與殘差正交（），故a（第一階段回歸的擬合值）與必（第一階段回歸的殘差）不相關(guān)。因此，為一致估計(jì)。由于此工具變量法通過(guò)兩個(gè)回歸來(lái)實(shí)現(xiàn)，故稱為二階段最小二乘法（，簡(jiǎn)記）S多個(gè)工具變量如果有多個(gè)工具變量，比如I與二，也不難處理，只要將這兩個(gè)工具變量同時(shí)放入第一階段回歸即可：s=7+$為+昭譏+爲(wèi)而第二階段回歸依然不變。加入控制變量在多元回歸中，一般還有其他的外生變量或控制變量，比如y-i=口+艮工訂十圧工衛(wèi)+紡其中，r為內(nèi)生變量，而-為外生變量。此時(shí)，應(yīng)將外生變量-也放入第一階段回歸中。原因有二。首先，二可作為自身的工具變量，因?yàn)闈M足相關(guān)性（二與自身

5、完全相關(guān)）與外生性（二為外生變量）。其次，如果不將外生變量二放入第一階段回歸，則無(wú)法保證第一階段回歸的殘差:；與-正交，使得第二階段回歸的擾動(dòng)項(xiàng)可能與-相關(guān)（二在第二階段回歸方程中），導(dǎo)致第二階段回歸不一致。多個(gè)內(nèi)生變量如果只有個(gè)內(nèi)生變量，則僅需個(gè)工具變量即可進(jìn)行估計(jì)。類似地，如果有個(gè)內(nèi)生變量，則至少需要個(gè)工具變量才能進(jìn)行估計(jì)。理由如下。假設(shè)有個(gè)內(nèi)生變量-i與-但只有個(gè)工具變量.。此時(shí)，存在兩個(gè)第一階段回歸方程:Si=71+一坯1=衛(wèi)+隔-坯2所得的擬合值分別為Jl爲(wèi)1=71-齢A.兔=72-昭顯然，由于-1與-V均為工具變量.的線性函數(shù)，故二者之間存在嚴(yán)格的線性關(guān)系。因此,將與同時(shí)放入第二階

6、段回歸方程，將導(dǎo)致嚴(yán)格多重共線性（tictticoihea使得無(wú)法進(jìn)行L估計(jì)。識(shí)別條件（Identification由上可知，如果工具變量個(gè)數(shù)少于內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，則無(wú)法進(jìn)行2SL估計(jì)，稱為不可識(shí)別（nidentifidd,因?yàn)闊o(wú)法得到對(duì)模型參數(shù)的一致估計(jì)。如果工具變量個(gè)數(shù)正好等于內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，則稱為恰好識(shí)別（tidentifiedactidentified。如果工具變量個(gè)數(shù)大于內(nèi)生變量個(gè)數(shù)，則稱為過(guò)度識(shí)別（oeidentified在恰好識(shí)別或過(guò)度識(shí)別的情況下，均可進(jìn)行2SL估計(jì)；而在不可識(shí)別的情況下，則無(wú)法進(jìn)行。2SLS的大樣本性質(zhì)可以證明（陳強(qiáng)，2，第章），2SLS估計(jì)量為一致估計(jì)（conitertc,且隨著樣本容量增大，其漸近分布為正態(tài)分布（atoticno）ait而且，如果擾動(dòng)項(xiàng)為球形擾動(dòng)項(xiàng)（滿足同方差、無(wú)自相關(guān)），則2SL為最有效率的工具變量法。如果擔(dān)心擾動(dòng)項(xiàng)存在異方差，則依然可使用穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤（ottanda）進(jìn)行!統(tǒng)計(jì)o推斷。當(dāng)然，2SLS的這些優(yōu)秀性質(zhì)都依賴于工具變量的有