4.4 函數(shù)的最大值與最小值教案

1、4.4 函數(shù)的最大值與最小值教案4.4 函數(shù)的最大值與最小值教案4.4 函數(shù)的最大值與最小值教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁(yè) 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級(jí) 授課時(shí)間第周第周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題 4.4 函數(shù)的最大值與最小值教學(xué)目的1、理解極值和最值的關(guān)系。2、掌握判斷函數(shù)最值的方法。教學(xué)重點(diǎn)掌握判斷函數(shù)最值的方法教學(xué)難點(diǎn) 極值和最值的關(guān)系教學(xué)用具備 注復(fù)習(xí)檢查引入新課新授課考勤最大值最小值問(wèn)題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中, 常常會(huì)遇到這樣一類問(wèn)題: 在

2、一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問(wèn)題, 這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開(kāi)區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中的最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間a, b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中

3、的最小者. 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1, x2, , xn, 則比較f(a), f(x 1), , f(x n), f(b)的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在a, b上的最小值. 例1 求函數(shù)f(x)|x23x2|在3 4上的最大值與最小值 解 在(3 4)內(nèi) f(x)的駐點(diǎn)為 不可導(dǎo)點(diǎn)為x1和x2 由于f(3)20 f(1)0 f(2)0 f(4)6比較可得f(x)在x3處取得它在3 4上的最大值20 在x1和x2處取它在3 4上的最小值0 （如圖4-5）鐵路線上AB段的距離

4、為100km. 工廠C距A處為20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問(wèn)D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 圖4-5 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么y=5kCD+3kDB (k是某個(gè)正數(shù)),即 +3k(100-x) (0 x100). 現(xiàn)在, 問(wèn)題就歸結(jié)為: x 在0, 100內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小. 先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k

5、, y|x=15=380k,其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 注: f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無(wú)限, 開(kāi)或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 , 并且這個(gè)駐點(diǎn)x0 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 那么, 當(dāng)f(x0)是極大值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)f(x0)是極小值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y f(x 0) Oa x 0 b x y=f(x ) y 圖4-6 圖4-7 應(yīng)當(dāng)指出, 實(shí)際問(wèn)題中, 往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值,

6、 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. 例3 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問(wèn)矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W ()最大?d hb 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0bd). 這樣, W就是自變量b的函數(shù), b的變化范圍是(0, d).現(xiàn)在, 問(wèn)題化為: b等于多少時(shí)目標(biāo)函數(shù)W 取最大值？為此, 求W對(duì)b 的導(dǎo)數(shù): .解方程W =0得駐點(diǎn). 由于梁的最大抗彎截面模量一定存在, 而且在(0, d)內(nèi)部取得; 現(xiàn)在, 函數(shù)在(0, d)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn), 所以當(dāng)時(shí), W 的值最大. 這時(shí), ,即 . . 練習(xí)求下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的最大值與最小值（1）， （2），（3） （4），設(shè)兩正數(shù)之和為定數(shù)，求其積的最大值。從長(zhǎng)為12cm，寬為8cm的矩形紙板的四個(gè)角剪去相同的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子，要使盒子的容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？把一根長(zhǎng)為24cm的鐵絲剪成兩段，一段做成圓，一