8.6曲面與空間曲線教案

1、8.6曲面與空間曲線教案8.6曲面與空間曲線教案8.6曲面與空間曲線教案山東理工職業(yè)學(xué)院教案首頁(yè) 學(xué)年 第 學(xué)期課程名稱(chēng) 高等數(shù)學(xué)任課教師授課班級(jí)授課時(shí)間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題86曲面與空間曲線教學(xué)目的1.理解空間曲線方程的概念。2.了解空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)重點(diǎn)空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)難點(diǎn)空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影，并會(huì)求其方程。教學(xué)用具備 注復(fù)習(xí)檢查引入新課引入新課新授課講解小結(jié)作業(yè)考勤一、導(dǎo)入新課 前面我們?cè)芽臻g

2、直線看成是兩平面的交線，類(lèi)似地，空間曲線也可以看成是兩個(gè)曲面的交線。二、講授新課（一）曲線的方程設(shè)有兩個(gè)相交曲面，它們的方程是，那末聯(lián)立方程組： 便是它們的交線方程。 設(shè)兩個(gè)曲面的方程為和，它們相交于曲線。這樣，曲線上的任意點(diǎn)同時(shí)在這兩個(gè)曲面上，它的坐標(biāo)就同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程；反過(guò)來(lái)，同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程的任意一組解所決定的點(diǎn)同時(shí)在這兩個(gè)曲面上，即在曲線上。因此，聯(lián)立方程組 即為空間曲線的方程，我們把它稱(chēng)為空間曲線的一般方程。從代數(shù)上，任何方程組的解，也一定是與它等價(jià)的方程組的解，所以空間曲線的方程可以用不同形式的方程組來(lái)表示。例1 在空間直角坐標(biāo)系下，方程組 表示什么曲線？解 方程是球心在原點(diǎn)，

3、半徑為3的球面，是坐標(biāo)平面，所以它們的交線是坐標(biāo)平面上的圓。如果把方程組改寫(xiě)成同解方程組 它表示母線平行于軸的圓柱面與坐標(biāo)平面的交線?？臻g曲線也可以看成一動(dòng)點(diǎn)在空間中運(yùn)動(dòng)的軌跡，動(dòng)點(diǎn)的位置隨著某一個(gè)參數(shù)在變化。由此我們又可得空間曲線的參數(shù)方程 （為參數(shù)）例2 設(shè)一動(dòng)點(diǎn)M在圓柱面上以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時(shí)又以線速度沿平行于軸的正方向上升（都是常數(shù)），則點(diǎn)M的幾何軌跡叫做螺旋線（圖7-41），試建立其參數(shù)方程。 圖8-36 解： 取時(shí)間為參數(shù)，設(shè)時(shí)動(dòng)點(diǎn)在處，在時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)處。過(guò)點(diǎn)M作面的垂線，則垂足的坐標(biāo)為。由于是動(dòng)點(diǎn)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)角度，而線段的長(zhǎng)是在時(shí)間內(nèi)動(dòng)點(diǎn)上升的高度，所以經(jīng)邊時(shí)間，得，從而因此螺

4、旋線的參數(shù)方程為（二）空間曲線在坐標(biāo)面上的射影設(shè)為已知空間曲線，則以為準(zhǔn)線，以平行于軸的直線為母線的柱面稱(chēng)為空間曲線關(guān)于坐標(biāo)平面的射影柱面。這個(gè)射影柱面與坐標(biāo)平面的交線稱(chēng)為曲線在坐標(biāo)平面上的射影曲線。 類(lèi)似地，我們也可以定義曲線關(guān)于坐標(biāo)平面、坐標(biāo)平面的射影柱面和射影曲線。 下面我們來(lái)討論如何求空間曲線關(guān)于坐標(biāo)平面的射影柱面和在坐標(biāo)平面上的射影曲線。 設(shè)空間曲線的方程為 消去，得 滿(mǎn)足曲線方程的點(diǎn)一定滿(mǎn)足方程，而是一個(gè)母線平行于軸的柱面方程。所以，就是曲線關(guān)于坐標(biāo)平面的射影柱面方程，而 就是曲線在坐標(biāo)平面上的射影曲線。類(lèi)似地，從曲線的方程中消去或者，就可以得到曲線關(guān)于坐標(biāo)平面或者坐標(biāo)平面的射影柱面，從而也可以得到曲線在坐標(biāo)平面或者坐標(biāo)平面上的射影曲線。例3 求曲線圖8-37 在坐標(biāo)平面上的射影曲線方程，并指出它在坐標(biāo)平面上是一條什么樣的曲線。解 消去，得曲線關(guān)于坐標(biāo)平面的射影柱面方程為 所以曲線在坐標(biāo)平面上的射影曲線為 這是坐標(biāo)平面上的一個(gè)圓（如圖8-37）。四