9.1二元函數的基本概念教案

1、9.1二元函數的基本概念教案9.1二元函數的基本概念教案9.1二元函數的基本概念教案山東理工職業(yè)學院教案首頁 學年 第 學期課程名稱 高等數學任課教師授課班級授課時間第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié)第 節(jié) 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授課課題9.1二元函數的基本概念教學目的 1理解多元函數的概念，理解二元函數的幾何意義。 2了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念，會求二元函數極限。教學重點1.二元函數的極限與連續(xù)教學難點1.二元函數與一元函數在概念上的區(qū)別教學用具備 注 引入新課新授課前面我們已經討論了只限于一個變量的函數，

2、也就是一元函數的微積分學，但是在很多實際問題中，我們遇到的函數卻可能依賴兩個或更多個變量，即多元函數.多元函數微積分是一元函數微積分的推廣，它具有一元函數的許多性質，但也存在本質上的差別.本章我們探討二元函數，即有兩個變量函數的微分與積分.知識準備1.平面區(qū)域 定義：由平面上的一條或者幾條曲線所圍成的一部分平面或者整個平面，稱為平面的平面區(qū)域，簡稱區(qū)域.圍成區(qū)域的曲線成為區(qū)域的邊界，邊界上的點稱為邊界點.分類：若區(qū)域可以延伸到平面的無限遠處，則稱為無界區(qū)域；若區(qū)域可以包圍在一個以原點為中心，以適當大的長為半徑的圓內，則稱為有界區(qū)域.包括邊界在內的區(qū)域稱為閉區(qū)域；不包括邊界在內的區(qū)域稱為開區(qū)域.

3、平面區(qū)域一般用表示，例如：表示整個坐標平面，是無界區(qū)域；表示圓心在原點，半徑為1的圓面(不包括邊界)，是有界開區(qū)域(圖9-1)；表示以直線為界的上半平面，包括直線，是無界閉區(qū)域(圖9-2). 圖9-1 圖9-22.鄰域定義：在平面上，以點為中心，為半徑的開區(qū)域，稱為點的鄰域.它可以表示為：，或者簡記為： .二、二元函數基本概念我們知道：矩形的面積、與矩形的長、寬之間有公式：.當、取定一組值時，矩形面積就確定了.一定質量的理想氣體的壓強P、體積V和絕對溫度T之間有關系式：，其中R為常數.可知當V、T取定一組值時，壓強P就有一個確定的值與之對應. 在現實生活中，我們也會遇到這樣的例子：某部門需要購

4、買2種商品，單價(單位：元)分別為、，購買數量(單位：件)分別為、，則購買需要的費用，當購買數量、給定一對值時，費用P就有一個確定的值與之對應. 以上各例具有共同點：兩個變量每取定一對值時，按照確定的對應關系可以確定另外一個變量的取值，這就是二元函數.二元函數定義： 設是三個變量，是一個給定的非空數對集，若對于每一數對，按照某一確定的對應發(fā)則，變量總有唯一確定的數值與之對應，則稱是的函數，記作：，其中稱為自變量，稱為因變量，數對集稱為該函數的定義域. 對照一元函數概念，若取有序數組時，則稱該函數在有定義；與對應的的數值稱為函數在點的函數值，記作或.當取遍數對集中的所有數對時，對應的函數值全體構

5、成的數集稱為函數的值域.從幾何上看，二元函數的定義域就是平面上的平面區(qū)域.例如，二元函數的定義域是整個平面；二元函數的定義域是平面上的一個有界區(qū)域，如圖9-3中的陰影部分. 圖9-3類似的可以定義三元函數以及三元以上的函數.二元函數及二元以上函數統(tǒng)稱為多元函數.例1 求函數的定義域.解：顯然當根式內的表達式非負時才有確定的值，所以定義域為在平面上，表示以原點為圓心，以為半徑的圓以及圓的內部全部點構成的閉區(qū)域.二元函數在幾何上通常表示空間曲面.設點是二元函數的定義域內的任一點，則相應的函數值是，于是，有序數組確定了空間一點.當點在內變動時，對應的點在空間的軌跡形成的曲面即為二元函數的圖像，其定義

6、域就是空間曲面在面的投影(圖9-4).圖9-42.二元函數的極限與連續(xù)對于一元函數，“時函數的極限”就是討論當自變量無限接近時，函數的變化趨勢.類似的，二元函數的極限問題，就是討論當自變量，無限接近，時，即，時，該函數的變化趨勢.（1）二元函數極限定義： 設函數在點的某一鄰域內有定義(點可以除外)，如果當點以任意方式無限趨向于點時，對應的函數值趨向于一個確定的常數，則稱為函數當時的極限.記為 或 與一元函數的極限不同的是二元函數極限要求點以任何方式趨向于點時，函數值都趨向于同一個確定的常數.因此，如果當沿著兩條不同的路徑趨向于時，函數趨向于不同的值，那么可以斷定函數極限一定不存在.例2 討論函

7、數在點的極限.解：當時，由于且，根據無窮小量的性質之“無窮小量與有界函數的乘積還是無窮小量”，可知的極限存在，且.例3 討論函數，當時的極限.解：令點沿趨向于點時，顯然取不同的值時，也不同，所以函數的極限不存在.（2）二元函數連續(xù)性定義： 設函數在點的某個鄰域內有定義，如果當點趨向于點時，函數的極限存在，且等于它在點處的函數值， 即 ，則稱函數在點處連續(xù)，稱點為函數的連續(xù)點.若函數在點不滿足連續(xù)的定義，則稱這一點是函數的不連續(xù)點或間斷點.例如，函數當時函數無定義，所以直線和上的點都是它的間斷點.若函數在區(qū)域內的每一點都連續(xù)，則稱函數在區(qū)域內連續(xù)，或稱為上的連續(xù)函數.與一元函數類似，二元連續(xù)函數的和、差、積、商(分母不等于零)仍為連續(xù)函數；二元函數的復合函數也是連續(xù)函數，因此，二元初等函數在其定義域內是連續(xù)的.計算二元函數在其定義域內一點的極限，只要求他在這點的函數值即可，即.例如，函數在點的極限為.三課堂練習四小