2022高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué)(人教A理一輪)6.3　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI6.3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和第六章2022內(nèi)容索引0102必備知識 預(yù)案自診關(guān)鍵能力 學(xué)案突破必備知識 預(yù)案自診【知識梳理】 1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的,公比通常用字母q表示(顯然q0).2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q,則它的通項(xiàng)公式為an=;通項(xiàng)公式的推廣an=amqn-m.第2項(xiàng) 同一個 公比 a1qn-1(a10,q0) 3.等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個數(shù)G,使成等比數(shù)列,那么

2、G叫做a與b的等比中項(xiàng),此時,.4.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列an的公比為q(q0),其前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時,Sn=na1;a,G,b G2=ab 常用結(jié)論設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.常用結(jié)論【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.(1)滿足an+1=qan(nN* ,q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列.()(2)G為a,b的等比中項(xiàng)G2=ab.()(3)等比數(shù)列中不存在數(shù)值為0的項(xiàng).()(4)如果an為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,那么數(shù)列bn也是等比數(shù)列.()(5)如果數(shù)列an為等比數(shù)列,那么數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列.()2.(2020江

3、西上饒三模,文3)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若a1=1,a3+4S2=0,則a10=()A.-512 B.512C.1 024 D.-1 024答案 A解析 因?yàn)樵诘缺葦?shù)列an中,a1=1,a3+4S2=0,所以q2+4(1+q)=0,解得q=-2,則a10=-512.3.(2020湖南衡陽一模)在等比數(shù)列an中,a1a3=a4=4,則a6的所有可能值構(gòu)成的集合是()A.6B.-8,8C.-8D.8答案 D 4.(2020全國1,文10)設(shè)an是等比數(shù)列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,則a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.32答案 D解析 設(shè)等比數(shù)列an的

4、公比為q,因?yàn)閍1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,所以q(a1+a2+a3)=2,解得q=2.所以a6+a7+a8=q5(a1+a2+a3)=25=32.5.若數(shù)列an是等比數(shù)列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,則an=. 答案 4n-1解析 因?yàn)閿?shù)列an是等比數(shù)列,且公比q=4,a1+a2+a3=21,所以a1+4a1+16a1=21,解得a1=1,所以an=4n-1,故答案為4n-1.關(guān)鍵能力 學(xué)案突破考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算【例1】 (2020全國3,文17)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)記Sn為數(shù)列l(wèi)og3an的前n項(xiàng)和.

5、若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.思考解決等比數(shù)列基本運(yùn)算問題的常見思想方法有哪些?解題心得解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法:(1)方程思想:等比數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解.(2)分類討論思想:因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論,所以當(dāng)某一參數(shù)為公比進(jìn)行求和時,就要對參數(shù)是否為1進(jìn)行分類求和.(3)整體思想:應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時,常把qn或 當(dāng)成整體進(jìn)行求解.對點(diǎn)訓(xùn)練1(1)(2019全國3,理5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15,且a5=3a3+4a1,則a3=()A.16

6、B.8C.4D.2(2)(2020全國2,文6)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若a5-a3=12,a6-a4=24,則 =()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1答案 (1)C(2)B 考點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明【例2】已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)證明:an+bn是等比數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式.思考判斷或證明一個數(shù)列是等比數(shù)列有哪些方法?解題心得 1.證明數(shù)列an是等比數(shù)列常用的方法:(3)通項(xiàng)公式法,若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成an=cqn-1(c,q均是不為0的常數(shù),nN* ),則a

7、n是等比數(shù)列.2.若判斷一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.對點(diǎn)訓(xùn)練2(2020福建福州三模,理17)已知數(shù)列an和bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,a1=2,b1=1,且an+1=a1+2Tn.(1)若數(shù)列an為等差數(shù)列,求Sn;(2)若bn+1=b1+2Sn,證明:數(shù)列考點(diǎn)3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多考向探究)考向1等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的應(yīng)用【例3】 (1)(2020河北滄州一模,理7)已知an為等比數(shù)列,a5+a8=-3,a4a9=-18,則a2+a11=()(2)(2020遼寧錦州一模,7)已知等比數(shù)列an,若a5+a7=8,則a4(a6+2a8)+a3a11的值為()

8、A.128B.64C.16D.8思考經(jīng)常用等比數(shù)列的哪些性質(zhì)簡化解題過程?答案 (1)C(2)B 考向2等比數(shù)列和的性質(zhì)及應(yīng)用【例4】已知數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,則S12等于()A.40B.60C.32D.50(2)已知數(shù)列an是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和,且S10=10,S30=70,那么S40=()A.150B.-200C.150或-200D.400答案 (1)B(2)A解析 (1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,即數(shù)列4,8,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,因此S

9、12=4+8+16+32=60,故選B.(2)依題意,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比數(shù)列,因此(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30.又因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù),即S200,因此S20=30,S20-S10=20,解題心得 1.在解答等比數(shù)列的有關(guān)問題時,為簡化解題過程常常利用等比數(shù)列項(xiàng)的如下性質(zhì):(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=amqn-m;(2)等比中項(xiàng)的推廣與變形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.對已知條件為等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和,求其前多少

10、項(xiàng)和的問題,應(yīng)用公比不為-1的等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì):Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列比較簡便.對點(diǎn)訓(xùn)練3(1)在等比數(shù)列an中,a5,a7是函數(shù)f(x)=x2-4x+3的兩個零點(diǎn),則a3a9=()A.-3B.3C.-4D.4(2)在等比數(shù)列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=()A.135B.100C.95D.80(3)已知等比數(shù)列an共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=.答案 (1)B(2)A(3)2 解析(1)由a5,a7是函數(shù)f(x)=x2-4x+3的兩個零點(diǎn),即a5,a7是方程x2-4x+3=0的兩個實(shí)根.則

11、a5a7=3,所以在等比數(shù)列an中,a3a9=a5a7=3.故選B.考點(diǎn)4等差、等比數(shù)列的綜合問題【例5】 (1)(2020東北三省四市模擬,理6)已知公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=2,且a1,a3,a9成等比數(shù)列,則S8=()A.56B.72C.88D.40(2)已知在等比數(shù)列an中,有a3a11=4a7,數(shù)列bn是等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且b7=a7,則S13=()A.26B.52C.78D.104答案 (1)B(2)B 思考解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題的基本思路是怎樣的?解題心得等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問題,涉及的知識面很寬,題目的變化也很多,但是萬變不離其宗,只要抓住基本量a1,d(q),充分運(yùn)用方程、函數(shù)、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,合理調(diào)用相關(guān)知識,就不難解決這類問題.要點(diǎn)歸納小結(jié)1.等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題,數(shù)列中有五個量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求解,問題便可迎刃