高中數(shù)學(xué)題型全面歸納（教師版）：3.1 導(dǎo)數(shù)與定積分14

1、第三章 導(dǎo)數(shù)與定積分本章知識結(jié)構(gòu)圖生活中的優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)的正負與單調(diào)性的關(guān)系單調(diào)性幾何意義、物理意義導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定積分與微積分定積分與圖形的計算導(dǎo)數(shù)的概念基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算法則三次函數(shù)的性質(zhì)、圖像和應(yīng)用極值最值第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念與運算考綱解讀1、了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景.2、能理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3、能根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)（為常數(shù)），的導(dǎo)數(shù).4、能利用常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)（僅限形如的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).命題趨勢探究預(yù)測2019年高考依然以考查導(dǎo)數(shù)的計算、四則運算法則的應(yīng)用和求切線斜率為主，可能出選擇題、填空題，也可能在解答

2、題中出現(xiàn)，較容易.知識點精講一、基本概念1、導(dǎo)數(shù)的概念 設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果時，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限，即無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或即2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中為切線的傾斜角，如圖31所示，過點的切線方程為同樣，可以定義曲線在的法線為過點與曲線在的切線垂直的直線.過點的法線方程為3、導(dǎo)數(shù)的物理意義:設(shè)時刻一車從某點出發(fā)，在時刻車走了一定的距離在時刻，車走了這一段時間里車的平均速度為當(dāng)與很接近時，該平均速度近似于時刻的瞬時速度.若令，則可以認為，即就是時刻的瞬時速度.二、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初

3、等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式如表31，為正整數(shù)為有理數(shù)表31 注：三、導(dǎo)數(shù)的運算法則（和、差、積、商）設(shè)均可導(dǎo)，則（1） （2）（3） （4）注：四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之間具有關(guān)系該關(guān)系用語言表述就是“對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積”，也就是先把當(dāng)作一個整體，把對求導(dǎo)，再把對求導(dǎo)，這兩者的乘積就是復(fù)合函數(shù)對的導(dǎo)數(shù)，即.題型歸納及思路提示題型39 導(dǎo)數(shù)的定義思路提示：對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫出.例3.1 設(shè)存在，求下列各極限.(1) (2) 分析 ，導(dǎo)數(shù)的定義中，增量的形式是多樣的，但不論選擇哪種形式，必須選擇相應(yīng)的形式.利

4、用函數(shù)在點處可導(dǎo)的條件，可以將已知極限變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式.解析 （1）（2）評注 的幾種等價形式：等.變式1 若則（ ）、 B、 C、3 D、2解析因為，故選B變式2 設(shè)在處可導(dǎo)，則=（ ） A、2 B、 C、 D、解析。故選D。題型40 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)思路提示 ：對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題.例3.2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1) (2) (3) (4) (5) (6).解析 （1） （2）（3） （4） （5） （6）評注 對于基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)），可以直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式求解其導(dǎo)數(shù)，這是整個導(dǎo)數(shù)運

5、算的基礎(chǔ)，一定要熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.根式一般化成分數(shù)指數(shù)冪求導(dǎo).變式1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1） （2） （3） （4）（3）； （4）.解析 （1）; （2）；（3） （4）。例3.3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）.分析 按照導(dǎo)數(shù)的運算法則計算即可，注意常用導(dǎo)數(shù)公式的正確使用.解析 （1）；（2）；（3）；（4）.評注 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)數(shù)時，要根據(jù)法則逐步進行，不要跳步，熟練以后可適當(dāng)簡化運算過程.變式1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.分析 靈活運用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。解析 （1）；（2）； （3）； （4） ；（5）變式2

6、 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.解析 （1），故；（2）；（3）； （4）例3.4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.分析 設(shè)出中間變量，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行.解析 （1）設(shè)，則，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有，再把代入得；（2）設(shè)，則，所以，再把代入，可得；（3）設(shè)，則，所以；（4）設(shè)，則，所以.評注 新課標的考試大綱只要求掌握對復(fù)合函數(shù)型的求導(dǎo).這里設(shè)中間變量，按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，只要理解并記住這個公式，在解題時直接套用即可.變式1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）；（2）；（3）；（4）.解析 （1）； （2）：（3）：（4）題型41 導(dǎo)數(shù)的幾何意義思路提示函數(shù)

7、在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別.（1）已知在點處的切線方程為.（2）若求曲線過點的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點坐標為，由過點，求得的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點既在曲線上又在切線上.例3.5 設(shè)為曲線上的點，且曲線在點處切線傾斜角的取值范圍為，則點橫坐標的取值范圍為（ ）A B C D 分析 根據(jù)曲線的傾斜角和斜率的關(guān)系可得，曲線在處切線的斜率的范圍是，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只要函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個范圍即可.解析 ，由于曲線在點處的切線傾斜角的取值范圍為，所以其切線的斜率的范圍為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得，即.故選A.評注 函數(shù)在某點

8、處的導(dǎo)數(shù)、曲線在某點處的切線的斜率和傾斜角這三者之間是相互關(guān)聯(lián)的，可以相互轉(zhuǎn)化，在解題時要善于在這三者之間轉(zhuǎn)化.變式1 設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點處的斜率為1，則該曲線在點處的切線的斜率為 .解析 因為函數(shù)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)在點處的切線斜率與在點處的切線斜率相反，故曲線在點處的切線的斜率為-1。評注 可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)例3.6 （1）曲線在點處的切線方程為 ；過點的切線方程為 .（2）過點的直線與曲線相切，且不是切點，則直線的斜率是（ ）A B C D 分析 若求曲線在點處的切線方程，則點為切點；若求曲線過點處的切線方程，則該點不一定為切點，應(yīng)

9、先設(shè)切點坐標，求其切線方程，代入，求其切點坐標.解析 （1）曲線在點處的切線的斜率為，切線方程為，即.設(shè)過點的切線的切點坐標為，則切線方程為，代入點得，即，得，解得或，所以切線方程為或，即或.（2）依題意，設(shè)切點坐標為，則切線方程為，代入點，得，即，得或，又，所以，直線的斜率為，故選C.變式1 （2012安徽理19）設(shè)函數(shù)，設(shè)曲線在點處的切線方程為，求的值.解析 依題意，函數(shù)在點處的導(dǎo)函數(shù)值為，即，令，得，所以或，又，故，又，得，所以。變式2 已知函數(shù)，若曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，求的值.解析 依題意，得，所以。變式3 已知函數(shù)，和直線，又.（1）求的值；（2）是否存在，使直線既是

10、曲線的切線，又是曲線的切線？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.解析 （1），即，所以。（2）設(shè)曲線在點的切線方程為，即，則 = 1 * GB3 = 2 * GB3 曲線在點處的切線方程為，即，則 = 3 * GB3 = 4 * GB3 ，由 = 4 * GB3 得，當(dāng)時，代入 = 1 * GB3 得，則或，顯然或均不滿足 = 2 * GB3 式，故舍去。當(dāng)代入 = 1 * GB3 得，即，所以或，將代入 = 2 * GB3 中不滿足方程 = 2 * GB3 ；將代入 = 2 * GB3 中滿足方程，綜上所述，公切線是，此時。例3.7 在平面直線坐標系中，已知點是函數(shù)的圖像上的動點，該

11、圖像在處的切線交軸于點，過點作的垂線交軸于點，設(shè)線段的中點的縱坐標為，則的最大值是 .分析 先設(shè)切點坐標，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，寫出切線方程，從而求出的縱坐標，同理可求出的縱坐標，將表示成的函數(shù)，最后借助導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最大值.解析 設(shè)，的方程為，令，得.的方程為，令，得，故，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故，所以的最大值是.評注 利用切點橫坐標可以表示曲線上任一點處切線的方程為：.變式1 設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則 的最小值為（ ）A B C D 解析 利用互為反函數(shù)的函數(shù)圖象性質(zhì)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解。由題意知函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對稱，兩曲線上

12、點之間的最小距離是與上點的最小距離的2倍，設(shè)在點處的切線與平行，有，所以與上點的最小距離是，所求距離為，故選B，最有效訓(xùn)練題14（限時45分鐘）1設(shè)，若，則（ ）A B C D 2若函數(shù)滿足，則的值為（ ）A B C D3曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積為（ ）A B C D4是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，且，則不等式的解集為（ ）A B C D5正弦曲線上一點，以點為切點的切線，則直線的傾斜角的范圍是（ ）A B C D6已知函數(shù)在上滿足，則曲線在點處的切線方程是（ ）A B C D7已知函數(shù)，則的值為 8一輛列車沿直線軌道前進，從剎車開始到停車這段時間內(nèi)，測得剎車后秒內(nèi)列車前進的距離

13、為米，則列車剎車后 秒內(nèi)停下來，期間列車前進了 米654321Oyx1243ABC圖3-29如圖3-2所示，函數(shù)的圖像是折線段，其中的坐標分別為，那么 （用數(shù)字作答）10已知，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)，則 11已知曲線.（1）求曲線在處的切線的方程；（2）若，且直線與曲線相切于點，求直線的方程及切點坐標；（3）在（1），（2）條件下，設(shè)與相交于，與軸的交點為，求的面積.12已知三次曲線的圖像關(guān)于點中心對稱.（1）求常數(shù)；（2）若曲線與直線相切，求曲線的方程.最有效訓(xùn)練題141.D 解析 ，所以，所以，所以，故選D2.A 解析 由題意可知，令，則，解得。故選A3.A 解析 故曲線在點處的切線方程為，易得切線與直線和圍成的三角形的面積為，故選A。4.D 解析 令，則為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，因此函數(shù)在上也是單調(diào)遞減，函數(shù)的草圖如圖3-18所示，的解集為，故選D。5.A 解析 ，其值域為以點P為切點的切線的斜率的取值范圍，為，結(jié)合正切函數(shù)圖像及直線傾斜角取值范圍，可知答案為，故選A。6.A解析 由得即，所以，所以，所以切線方程為，即，故選A7.2 解析 有定義知8.30,405 解析 依題意，即剎車后30秒車停下來，期間列車前進了405米。9.2 由圖3-2可知，10. 解析 由，得，因此。11.解