土木工程測量第6章-測量誤差基本知識課件

1、第6章 測量誤差基本知識 6.1 測量誤差概述 6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn) 6.3 誤差傳播定律6.4 等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.5 不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.1 測量誤差概述對未知量進(jìn)行測量的過程稱為觀測。測量所測得的數(shù)值稱為觀測值。觀測過程中由于不可避免的存在一些因素會對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，從而使得觀測值與真值之間存在一定的差異，這種差異稱為測量誤差或觀測誤差。即：第1節(jié) 概述1、儀器工具的影響。2、人的因素。 3、外界條件的影響。觀測條件：儀器設(shè)備、觀測者、外界環(huán)境統(tǒng)稱為觀測條件。6.1.1測量誤差的來源6.1 測量誤差概述6.1.2測量誤差的種類1.系統(tǒng)誤差2.

2、偶然誤差。 1.系統(tǒng)誤差： 在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果誤差的符號與大小保持不變或按一定的規(guī)律變化，這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。 如：i角誤差、2C誤差、指標(biāo)差、度盤偏心差、標(biāo)尺零點(diǎn)差、鋼尺尺長誤差、特性：對測量成果的影響有累積性6.1 測量誤差概述6.1 測量誤差概述系統(tǒng)誤差的處理方法：（1）用計算的方法加以改正。（2）用合適的觀測方法加以削弱。（3）將系統(tǒng)誤差限制在一定的允許范圍之內(nèi)。6.1 測量誤差概述2、偶然誤差 在一定的觀測條件下進(jìn)行一系列觀測，如果觀測誤差的大小和符號呈現(xiàn)出偶然性，即沒有一定的規(guī)律，這類誤差稱偶然誤差。如：氣泡居中誤差，估讀誤差， 瞄準(zhǔn)誤差，環(huán)境影響。6.1.3

3、偶然誤差的特性在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會大；絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等；在相同條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即 6.1 測量誤差概述6.1 測量誤差概述偶然誤差分布曲線為正態(tài)分布。6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)精度:是指對某個量進(jìn)行多次同精度觀測中，其偶然誤差分布的離散程度。分布密集說明小誤差多,觀測質(zhì)量較好，分散說明大誤差多,觀測質(zhì)量低。6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)評定觀測值精度的指標(biāo)中誤差相對中誤差極限誤差或容許誤差6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)1、中誤差 從圖

4、中看出，愈小，曲線愈陡峭，表示誤差分布愈密集，精度越高， 愈大，曲線愈平緩，表示誤差分布愈離散?？梢姡?的大小可反映誤差分布的密集或離散的程度。真誤差n觀測次數(shù)6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn) 一般情況下，中誤差越大，表示誤差的離散性大，觀測值精度越低，反之，精度越高。自乘求和平均開方1、中誤差6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)例6-1：設(shè)對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進(jìn)行了10次觀測，求每次觀測所得的三角形內(nèi)角和的真誤差第一組：3，2，4，2，0，4，3，2， 3，1；第二組：0，1，7，2，1，l，8，0，3，1；1、中誤差6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)解：比較m1和m2的值可知，第一組的觀測精度較第二組觀測精度

5、高。6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn) 有些觀測量的精度可以用中誤差來評定，但有些觀測量僅用中誤差評定是不能反映出精度的高低的。如距離測量的精度，若測量5000米和1000米中誤差都是0.5m，但這兩段距離的精度并不一樣，顯然， 1000米的精度優(yōu)于5000米精度。此時應(yīng)用相對誤差評定更為準(zhǔn)確。5000m 0.5m1000m 0.5ABCD2. 相對誤差6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn) 絕對誤差（中誤差，真誤差）的絕對值與相應(yīng)觀測量的比值，化成分子為一的形式，叫作相對誤差（相對中誤差，相對真誤差）。用K 表示 。 相對誤差分母越大，k值越小，精度越高反之，精度越低。2. 相對誤差6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)2. 相對誤差

6、5000m 0.5m1000m 0.5ABCD解：可見：即前者的精度比后者高。6.2 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)3.極限誤差和容許誤差因此，測量上一般取 或6.3 誤差傳播定律誤差傳播:直接觀測量的誤差以一定的方式傳遞給間接觀測量。誤差傳播定律：是指各觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間的關(guān)系。 Z=f(x1,x2, xn)廣泛用來計算和評定函數(shù)值（間接觀測量）的精度。6.3 誤差傳播定律6.3.1 倍數(shù)函數(shù)的中誤差設(shè)Z=Kx式中K為常數(shù)，x為未知量的直接觀測值，Z為x的函數(shù)當(dāng)觀測值x有誤差x時，函數(shù)為Z的誤差為z，即 Z+z=K(x+x)z=Kxz1=Kx1z2=Kx2zn=Kx n公式兩邊平方相加再除以n，則

7、根據(jù)中誤差定義可得mz=Kmx 6.3 誤差傳播定律6.3.2 和或差函數(shù)的中誤差 設(shè)某一量Z是兩個獨(dú)立觀測值x和y的和或差，則有關(guān)系式Z=xy 當(dāng)x與y分別含有真誤差x與y時，則函數(shù)Z也會產(chǎn)生真誤差z，即Z+z=(x+x)(y+y)z=xy6.3 誤差傳播定律因?yàn)閤與y是偶然誤差，根據(jù)偶然誤差的第四個特性，當(dāng)n相當(dāng)大時，xy=0，故上式為設(shè)x與y都觀測了n次，則有:即 z1=x1y1z2=x2y2zn=xnyn公式兩邊平方相加再除以n得6.3 誤差傳播定律6.3.2 和或差函數(shù)的中誤差 推而廣之，設(shè)函數(shù)Z=x1+x2+xn，x1、x2xn為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差為m1、m2mn，則函數(shù)Z的

8、中誤差m2為mz= 假設(shè)上式中 m1=m2=mn=m則 mz= 6.3 誤差傳播定律6.3.3 線性函數(shù)的中誤差設(shè)獨(dú)立觀測值為L1，L2Ln，常數(shù)K1，K2，Kn，線性函數(shù)Z的關(guān)系為mz= 再設(shè) x1=K1L1，x2= K2L2，xn= KnLn，則上式為： Z=K1L1+K2L2+KnLn Z=x1+x2+xn設(shè)Li觀測值的中誤差為mi，則xi的中誤差函數(shù)Z的中誤差為：6.3 誤差傳播定律設(shè)函數(shù)Z=f(x1,x2, xn),x1,x2, xn為獨(dú)立觀測值，x1,x2, xn的中誤差為m1,m2, mn,6.3.3 一般函數(shù)的中誤差6.3 誤差傳播定律應(yīng)用3）將系數(shù)代入誤差傳播定律即可求得函數(shù)

9、值中誤差： 式中， 就是誤差傳播定律中的系數(shù)。求觀測值函數(shù)的精度時，可歸納為如下三步：1）按問題的要求寫出函數(shù)式：2）對函數(shù)式全微分，得出關(guān)系式：6.3 誤差傳播定律例1：在地面有矩形ABCD，AB=40.38m0.03m，BC=33.42m0.02m，求面積及其中誤差。1、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值：2、對函數(shù)表達(dá)式取全微分：3、求函數(shù)值中誤差：解：設(shè)AB=a=40.38米，ma=0.03米，BC=b=33.42米，mb=0.03米,面積s=ab求，msS=ab=40.3833.42=1349.50(m2)1.29(m2)6.3 誤差傳播定律例2：由已知點(diǎn)求未知點(diǎn)坐標(biāo)時，須測得已知點(diǎn)到未知點(diǎn)

10、的方位角及邊長D，再求得坐標(biāo)增量x、y，最后求得未知點(diǎn)的坐標(biāo)x和y?，F(xiàn)在測得某一邊長D=167.245m0.016m，方位角=67483020，求未知點(diǎn)的點(diǎn)位精度。解：由邊長及方位角求坐標(biāo)增量的公式為同理可得：6.3 誤差傳播定律6.3.4 應(yīng)用實(shí)例1、水準(zhǔn)測量的精度1）每測站高差限差 每測站高差h=ab，DS3水準(zhǔn)儀讀數(shù)時估讀毫米的誤差不超過3毫米，即ma=mb=3毫米。由誤差傳播定律可知：即故規(guī)定DS3水準(zhǔn)儀每測站兩次高差之差范圍不大于5mm6.3 誤差傳播定律6.3.4 應(yīng)用實(shí)例1、水準(zhǔn)測量的精度2）水準(zhǔn)路線精度分析 設(shè)在A、B兩點(diǎn)用水準(zhǔn)儀測了n個測站，其中第i個測站測得的高差為hi，則

11、A、B兩點(diǎn)之間的高差h為h=h1+h2+hn 設(shè)各測站觀測的高差是等精度的獨(dú)立測值，其中誤差均為m站，即m1=m2=m站由誤差傳播定律可得： 6.3 誤差傳播定律6.3.4 應(yīng)用實(shí)例 若水準(zhǔn)路線是在地形平坦的地區(qū)進(jìn)行的，前后兩立尺間的距離l大致相等。設(shè)A、B的距離為L，即兩點(diǎn)測站數(shù)n= 代入上式得 則1公里路線長的高差中誤差當(dāng)A、B的距離為L公里時，A、B兩點(diǎn)間的高差中誤差mh為：若水準(zhǔn)測量進(jìn)行了往返觀測，最后觀測結(jié)果為往返測高差值取中數(shù) ，則設(shè) ，稱為1公里往返高差中數(shù)的中誤差，則 6.3 誤差傳播定律6.3.4 應(yīng)用實(shí)例2、水平角測量的精度1）DJ6型光學(xué)經(jīng)緯儀測角中誤差 DJ6型光學(xué)經(jīng)緯

12、儀一測回方向中誤差為6，而一測回角值為兩個方向值之差，故一測回角值的中誤差為：2）測回之間較差的限差 測回法測角時，各測回之間的較差的中誤差應(yīng)為其差值的中誤差，即其差值中誤差：若以3倍中誤差為限差，則有6.4等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.4.1 等精度獨(dú)立觀測量的最或是值 設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，其真值為X，觀測值為 ， ， ，相應(yīng)的真誤差為1，2，n，則即：將上式相加再除以觀測次數(shù)n，得：6.4等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定1.觀測值中誤差6.4.2 評定精度真誤差最或是誤差兩式相減得令則對上式兩邊取平方和得：因故6.4等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定又有根據(jù)偶然誤

13、差特性，當(dāng)n時，上式等號右邊的第二項(xiàng)趨向于零，故6.4等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定于是即6.4等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定2. 最或是值的中誤差設(shè)對某量進(jìn)行n次等精度觀測，其觀測值 ，觀測值中誤差為m，最或是值為L。則有：根據(jù)誤差傳播定律，有：故：6.4等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定歸納觀測精度評定:1、觀測值中誤差公式：m=2、平均值中誤差公式：M= m/ =計算舉例觀測值或是誤差VVV中誤差35 18 2835 18 2535 18 2635 18 2235 18 24 3013190191觀測值中誤差m= m= =2.23或是值中誤差M=m/ M=2.23/ =1

14、X= 35 18 25 =0 =20 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定 在對某量進(jìn)行不等精度觀測時，各觀測結(jié)果的中誤差不同。顯然，不能將具有不同可靠程度的各觀測結(jié)果簡單地取算術(shù)平均值作為最或是值并評定精度。此時，需要選定某一個比值來比較各觀測值的可靠程度，此比值稱為權(quán)。 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.5.1 權(quán)的概念 設(shè)一組不等精度觀測值為li，相應(yīng)的中誤差為mi（i1，2，n），選定任一大于零的常數(shù)，定義權(quán)Pi為稱Pi為觀測值li的權(quán)。對一組已知中誤差的觀測值而言，選定一個值，就有一組對應(yīng)的權(quán)。各觀測值的權(quán)之間的比例關(guān)系為：1. 權(quán)的定義 6.5不等精度獨(dú)立觀測

15、量的最可靠值與精度評定2. 權(quán)的性質(zhì)權(quán)和中誤差都是用來衡量觀測值精度的指標(biāo)，但中誤差是 絕對性數(shù)值，表示觀測值的絕對精度；權(quán)是相對性數(shù)值，表示觀測值的相對精度。權(quán)與中誤差平方成反比，中誤差越小，權(quán)越大，表示觀測值越可靠，精度越高。權(quán)始終取正號。由于權(quán)是一個相對性數(shù)值，對于單一觀測值而言，權(quán)無意義。權(quán)的大小隨的不同而不同，但權(quán)之間的比例關(guān)系不變。在同一個問題中只能選定一個值，不能同時選用幾個不同的值，否則就破壞了權(quán)之間的比例關(guān)系。 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.5.2測量中常用的確權(quán)方法1.等精度觀測值的算術(shù)平均值的權(quán) 設(shè)一次觀測的中誤差為m，則n次等精度觀測值的算術(shù)平均值的中

16、誤差 為： 由權(quán)的定義取m2，則一次觀測值的權(quán)為： 算術(shù)平均值的權(quán)為由此可知，取一次觀測值之權(quán)為1，則n次觀測的算術(shù)平均值的權(quán)為n。故權(quán)與觀測次數(shù)成正比。 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定設(shè)一次觀測值的中誤差為m，其權(quán)為P0，并設(shè)m2，則 等于1的權(quán)稱為單位權(quán)，而權(quán)等于1的中誤差稱為單位權(quán)中誤差，一般用表示。對于中誤差為mi的觀測值（或觀測值的函數(shù)），其權(quán)Pi為 則相應(yīng)的中誤差的另一表達(dá)式可寫成為 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定2. 權(quán)在水準(zhǔn)測量中的應(yīng)用設(shè)每一測站觀測高差的精度相同，其中誤差為m站，則不同測站數(shù)的水準(zhǔn)路線觀測高差的中誤差為取c個測站的高差中誤差為單位權(quán)

17、中誤差，即 則各水準(zhǔn)路線的權(quán)為由此可見，各測站觀測高差為等精度時，各水準(zhǔn)路線的權(quán)與測站數(shù)或路線長度成反比?；騆i各水準(zhǔn)路線的長度 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定3. 在距離丈量工作中的應(yīng)用設(shè)單位長度（一公里）的丈量中誤差為m，則長度為s公里的丈量中誤差為取長度為c公里的丈量中誤差為單位權(quán)中誤差，即 ，則得距離丈量的權(quán)為由此可見,距離丈量的權(quán)與長度成反比 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.5.3 求不等精度觀測值的最或是值加權(quán)算術(shù)平均值設(shè)對某量進(jìn)行n次不等精度觀測，觀測值為l1，l2，ln，其相應(yīng)的權(quán)為P1，P2，Pn，測量上取加權(quán)平均值為該量的最或是值，即最或是誤差

18、為將等式兩邊乘以相應(yīng)的權(quán)即可以用作計算中的檢核 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.5.4 不等精度觀測的精度評定1. 最或是值的中誤差不等精度觀測值的最或是值為即按中誤差傳播公式，最或是值L的中誤差 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定6.5.4 不等精度觀測的精度評定若令單位權(quán)中誤差等于第一個觀測值l1的中誤差，即m1，則各觀測值的權(quán)為則 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定2. 單位權(quán)觀測值中誤差由知相加得則 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定2. 單位權(quán)觀測值中誤差當(dāng)n時，用真誤差代替中誤差m，衡量精度的意義不變，則可將單位權(quán)觀測值中誤差公式改寫為：此式為用真誤差計算單位權(quán)觀測值中誤差的公式類似上節(jié)推倒可得用觀測值改正數(shù)來計算單位權(quán)中誤差的公式為用觀測值改正數(shù)計算不等精度觀測值最或是值中誤差的公式 6.5不等精度獨(dú)立觀測量的最可靠值與精度評定例：在水準(zhǔn)測量中，從三個已知高程點(diǎn)A、B、C出發(fā)測得E點(diǎn)的三個高程觀測值Hi及各水準(zhǔn)路線的長度Li。求E點(diǎn)高程的最或是值HE及其中誤差MH。解：取路