2022新高考總復(fù)習(xí)《數(shù)學(xué)》(人教)第六章　數(shù)列高考大題專項(三)　數(shù)列

1、高考總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI高考大題專項(三)數(shù)列第六章2022【考情分析】 從近幾年高考試題分析來看,高考數(shù)列解答題主要題型有:等差、等比數(shù)列的綜合問題;證明一個數(shù)列為等差或等比數(shù)列;求數(shù)列的通項公式及非等差、等比數(shù)列的前n項和;證明數(shù)列型不等式.【典例剖析】 題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題【例1】 (2019全國1,文18)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求an的通項公式;(2)若a10,求使得Snan的n的取值范圍.解題心得1.對于等差、等比數(shù)列,求其通項公式及求前n項的和時,只需利用等差數(shù)列或等

2、比數(shù)列的通項公式及求和公式求解即可.2.有些數(shù)列可以通過變形、整理,把它轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.對點訓(xùn)練1(2020湖南永州高三第三次模擬)已知Sn是公差不為零的等差數(shù)列an的前n項和,S3=6,a3是a1與a9的等比中項.(1)求數(shù)列an的通項公式;解 (1)公差d不為零的等差數(shù)列an,由a3是a1與a9的等比中項,可得又因為S3=3a1+3d=6,可得a1=d=1,所以數(shù)列an是以1為首項和公差的等差數(shù)列,所以an=n,nN*.題型二可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的綜合問題 解題心得無論是求數(shù)列的通項公式還是求數(shù)列的前n項和,通過變形整理后

3、,能夠把數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列,進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項公式或求和公式解決問題.對點訓(xùn)練2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a3=2,S6=15.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若從數(shù)列an中依次取出第1項,第2項,第4項,第8項,第2n-1項,按原來的順序組成一個新的數(shù)列bn,求數(shù)列bn的前n項和Tn.題型三數(shù)列中的結(jié)構(gòu)不良問題【例3】 在Sn=2bn-1,-4bn=bn-1(n2),bn=bn-1+2(n2)這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,若問題中的k存在,求出k的值;若k不存在,說明理由.已知數(shù)列an為等比數(shù)列,a1= ,a3=a1a2,數(shù)列bn的首項b1=1

4、,其前n項和為Sn,是否存在kN*,使得對任意nN*,anbnakbk恒成立?由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知,數(shù)列anbn為遞增數(shù)列,且沒有最大值,所以選擇條件時,不存在kN*,使得對任意nN*,anbnakbk恒成立.方案三:選擇條件.bn=bn-1+2(n2),可知數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列,又因為b1=1,所以bn=2n-1.所以當(dāng)n2時,cn+1cn,當(dāng)n3時,cn+1cn,即c1c2c4c5所以選擇條件時,存在k=3,使得對任意nN*,anbnakbk恒成立.解題心得數(shù)列結(jié)構(gòu)不良題型的解題策略結(jié)構(gòu)不良主要表現(xiàn)在具體情境缺乏足夠的資源,材料不全或參數(shù)不完整等等.其一般解題流程可概括為:通讀整個題

5、目,理解題意選擇適合自己解題突破的條件把條件代入題目將結(jié)構(gòu)補充完整根據(jù)數(shù)列的有關(guān)概念性質(zhì)和公式解題對點訓(xùn)練3在a3=5,a2+a5=6b2;b2=2,a3+a4=3b3;S3=9,a4+a5=8b2,這三個條件中任選一個,補充在下面問題中,并解答.已知等差數(shù)列an的公差為d(d1),前n項和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q,且a1=b1,d=q,.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;(2)記cn= ,求數(shù)列cn的前n項和Tn.(1)解 由已知可得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=1(n2,nN*),即an+1-an=1(n2,nN*),且a2-a1=1,數(shù)列an是以2為首項,1為公差的等差數(shù)

6、列,an=n+1.(3)解 an=n+1,Cn=4n+(-1)n-12n+1,假設(shè)存在確定的值,使得對任意nN*,有Cn+1Cn恒成立,即Cn+1-Cn0,對任意nN*恒成立,即4n+1-4n+(-1)n2n+2-(-1)n-12n+10,對任意nN*恒成立,即(-1)n-12n-1,對任意nN*恒成立.當(dāng)n為奇數(shù)時,即2n-1,對任意nN*恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=1時,2n-1有最小值為1,-2n-1,對任意nN*恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)n=2時,-2n-1有最大值-2,-2.綜上,-2Cn恒成立.解題心得以數(shù)列為背景的不等式恒成立問題,多與數(shù)列求和相聯(lián)系,一般要通過求和化簡后將結(jié)果轉(zhuǎn)化或構(gòu)造為函數(shù),利

7、用函數(shù)的單調(diào)性分析,若是含參數(shù)的不等式恒成立問題,則可分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為研究最大(小)值問題.題型五與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問題 解題心得數(shù)列與不等式綜合問題的求解策略與不等式相關(guān)的數(shù)列問題,通常與由等差數(shù)列、等比數(shù)列等基本數(shù)列進(jìn)行復(fù)合、變形后得到的新數(shù)列的和相關(guān).合理應(yīng)用公式求值變形是關(guān)鍵;若是證明題,則要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等.對點訓(xùn)練5已知數(shù)列an為等比數(shù)列,數(shù)列bn為等差數(shù)列,且b1=a1=1,b2=a1+a2,a3=2b3-6.(1)求數(shù)列an,bn的通項公式;(1)解 設(shè)數(shù)列an的公比為q,數(shù)列bn的公差為d,由題意得1+d=1+q,q2=2(1+2d)-6,解得d=q=2,所以an=2n-1,bn=2n-1.題型六數(shù)列中的存在性問題【例6】 已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn2 017?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,請說明理由.(2)存在.由(1)有若存在n,使得Sn2 017,則1-(-2)n2 017,即(-2)n-2 016.當(dāng)n為偶數(shù)時,(-2)n0,上式不成立;當(dāng)n為奇數(shù)時,(-2)n=-2n-2 016,即2n2 016,則n11.綜上,存在符合條件的正整數(shù)n,且n的集合為n|n=