競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究之不等式

1、競(jìng)賽數(shù)學(xué)解題研究之不等式證明專(zhuān)題一、利用公式法證明不等式一、公式法1、柯西不等式：設(shè)與為任意兩數(shù)組，則 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。例1、設(shè)，求的最大值。（第7屆美國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）例2、設(shè)P是銳角內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊BC、CA、AB的垂足分別是D、E、F求出（并加以證明）使達(dá)到最小值的點(diǎn)P。（1990年，浙江省高中數(shù)學(xué)夏令營(yíng)）例3、設(shè)P是內(nèi)一點(diǎn)，P到三邊BC、CA、AB的垂足分別是D、E、F求出（并加以證明）使達(dá)到最小值的點(diǎn)P。（IMO22，1981）例4、設(shè)為兩兩互不相等的正整數(shù)，求證： （IMO20）例5、求出所有的實(shí)數(shù)a，使得存在非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足下列關(guān)系：， ， 例6、設(shè)都是實(shí)數(shù)，并且試證：（1963年成

2、都市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）2、均值不等式設(shè)為n個(gè)正數(shù)，則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。例1、已知的面積S及角A均為定值，記A的兩夾邊為b,c則當(dāng)取最小值時(shí)，的值為多少。（1985年長(zhǎng)沙市數(shù)學(xué)競(jìng)賽）例2、設(shè)都是正數(shù)，證明：（1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）3、排序不等式：設(shè)與為兩數(shù)組，則，其中是的一個(gè)排列，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)成立。（同序最大，倒序最小，亂序居中）例1、設(shè)是正數(shù)的一個(gè)排列，證明：（匈牙利數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）例2設(shè)為兩兩各不相同的正整數(shù)，求證：對(duì)任何正整數(shù)n，下列不等式成立。（IMO20）例3、設(shè)，又設(shè)是的一個(gè)排列，求證：。(IMO17)二、代換法（代數(shù)代換法、三角代換法）1、代數(shù)代換法在幾何問(wèn)題中，尋求含有不等

3、式所涉及的元素的關(guān)系式，可用代數(shù)法證之。設(shè)的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c，通過(guò)代換。，易得a=y+z,b=z+x,c=x+y則：半周長(zhǎng)；面積；外接圓半徑；內(nèi)切圓半徑例1、已知，它的內(nèi)心為I，的內(nèi)角平分線分別交對(duì)邊于，求證：。（IMO32-1）例2、已知三角形的三邊長(zhǎng)為，其面積為S，求證：，并說(shuō)明取等號(hào)的條件是什么。（IMO3） 例3、已知三角形的三邊長(zhǎng)為，證明：并說(shuō)明取等號(hào)的條件是什么。（IMO24，1983）例4、已知三角形的三邊長(zhǎng)為，證明：（IMO6） 例5、設(shè)為正數(shù)，試證：（83年瑞士數(shù)學(xué)競(jìng)賽）。2、三角代換法例1、已知求證：例2、設(shè)，求函數(shù)的最大值。例3、設(shè)都是實(shí)數(shù)，并且試證：（1963年成

4、都市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）3、其他類(lèi)型的代換法例1、設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：（IMO1995）例2、設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足，證明：（IMO41）三、數(shù)學(xué)歸納法例1、已知為正實(shí)數(shù)，且，試證對(duì)每個(gè),有 （1988年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽） 四、增量法例1、已知三角形的三邊長(zhǎng)為，證明：（IMO6） 例2、設(shè)都是正數(shù)且，證明： （1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）例3、設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：（IMO25）五、構(gòu)造對(duì)偶式法例1、設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證：。例2、設(shè)；都是正實(shí)數(shù)，且，證明：（1991年亞太地區(qū)數(shù)學(xué)競(jìng)賽）例3、設(shè)都是正實(shí)數(shù)，且，求證： （第24屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽）例4、設(shè)都是正實(shí)數(shù)，且，證明：（第6屆河南省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）例5、證明：對(duì)任意，有不等式 （第26屆獨(dú)聯(lián)體數(shù)學(xué)競(jìng)賽）。例6、已知，求證：（第31屆IMO預(yù)選題）。六、構(gòu)造函數(shù)法例1、設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，且，證明：（IMO25）例2、設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足，求證：（IMO36，1995）例3、設(shè)為正實(shí)數(shù)，求證： （1963