隨機數(shù)和隨機變數(shù)生成課件(PPT 61頁)

1、確定性活動與隨機活動 確定性活動：是可以事先預(yù)言的，即在準(zhǔn)確地重復(fù)一定的條件下，其變化的結(jié)果總是確定的，或者根據(jù)其過去的狀態(tài)，相同的條件下可以預(yù)言將來的發(fā)展變化，我們把這一類活動稱為確定性活動。確定性活動的主要特征是活動的運動可以用一個確定的數(shù)學(xué)形式來描述：f(t)，或是數(shù)學(xué)函數(shù)，或是數(shù)學(xué)圖表等。 隨機性活動：其變化的結(jié)果是事先不可預(yù)言的，即在相同的條件下進行重復(fù)實驗，每次結(jié)果未必相同，或者是知道其過去的狀況，在相同的條件、未來的發(fā)展事先都不能確定，這一類活動我們稱為隨機性活動。隨機性活動的主要特征是這類活動的描述可以通過數(shù)學(xué)統(tǒng)計的方法描述。第1頁，共61頁。對于隨機性活動進行研究所利用的數(shù)學(xué)

2、工具是概率論及數(shù)理統(tǒng)計對于實際系統(tǒng)中隨機活動進行研究時，往往由于眾多的隨機因素使得數(shù)學(xué)描述和分析變得十分困難，這時我們往往求助于計算機仿真。仿真為這類復(fù)雜的隨機系統(tǒng)的研究提供了一個方便有效的手段。 第2頁，共61頁。隨機變量：對于隨機活動的不同結(jié)果我們可以用不同的數(shù)值與其對應(yīng)。這樣，就可以用一個變量來描述隨機活動，變量按一定的概率取某個值對應(yīng)于隨機活動按一定的概率取某個結(jié)果。離散型隨機變量：若隨機變量只取有限個數(shù)值或可列無窮多個數(shù)值，則稱此類隨機變量為離散型隨機變量。連續(xù)型隨機變量：若隨機變量可以取值于某個區(qū)間中的任一數(shù)，我們稱為連續(xù)型隨機變量。 第3頁，共61頁。離散型隨機變量 數(shù)學(xué)定義 數(shù)

3、學(xué)定義：如果一個隨機變量 x 的一切可能取值為x1，x2，xn，并且X取值xn的概率為Pn，則X為一個離散型隨機變量，p1，p2，.，pn，. 稱為X的概率函數(shù)。其中Pn必須滿足下列兩個條件：（1）（2）第4頁，共61頁。離散型隨機變量 概率分布函數(shù)離散型隨機變量X的累積分布函數(shù)定義，當(dāng)X小于或等于某個給定值x的概率函數(shù)，記為P(Xx) = F(x)。設(shè)隨機變量X可能取值x1，x2，xn，則X的累積分布函數(shù)為其中 為X 取值 的概率。由定義可見當(dāng)xy時，F(xiàn)(x)F(y)，即F(x)是個單調(diào)增加的函數(shù)。 第5頁，共61頁。連續(xù)型隨機變量 定義定義：若存在非負函數(shù) f (x)，使得隨機變量X取值于

4、任一區(qū)間(a，b)的概率為 P(axb)= ，則稱X為連續(xù)型隨機變量，f(x)稱為X的密度函數(shù)。對于密度函數(shù) f (x)有第6頁，共61頁。連續(xù)型隨機變量 概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機變量的累積分布函數(shù)定義為隨機變量小于或等于x的概率。它用F(x)表示，即由累積分布函數(shù)定義可知， 當(dāng)時 ， 。累積分布函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。第7頁，共61頁。概率密度函數(shù)/累積分布函數(shù)隨機變量X落入?yún)^(qū)間(a，b)內(nèi)的概率是 。圖中給出了一個連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)曲線和累積分布函數(shù)曲線。密度函數(shù)f(x)的值不能為負，要注意的是f(x)的值可以大于1，但是在任意區(qū)間(a，b)上由 f (x)曲線圍出的面積(圖中陰影部分)必然

5、 0,則又稱為混合線性同余生成器，若c = 0，則稱為乘同余生成器。目前使用的大多數(shù)線性同余生成器都是乘同余生成器。第32頁，共61頁。乘同余生成器的基本公式素數(shù)取模乘同余生成器（prime modulus multiplicative LCG: PMMLCG）,其算法思路如下:取m是小于2b的最大素數(shù)，而a的選擇要滿足特定的要求這樣的乘同余生成器就稱為素數(shù)取模乘同余生成器。它的循環(huán)周期為m1，且每個循環(huán)中1,2,m-1這些整數(shù)嚴格地只出現(xiàn)一次。Law（2009）建議在PMMLGC中，取m=231-1,取a=630,360,016，這樣，周期長度約為21億。在Flexsim中，默認的隨機數(shù)生成

6、器也是這個PMMLGC。第33頁，共61頁。隨機數(shù)流（stream）仿真軟件中一般會將整個隨機數(shù)序列分成若干段，例如100,000個數(shù)一段，每段稱為一個隨機數(shù)流（stream），每個流會指定一個編號，如0號流、1號流等等。每個流中的數(shù)都是根據(jù)公式遞推得到（要變換到0，1區(qū)間）每個流的遞推公式初始值，即種子（每個流實際上由該流的種子唯一確定），都是事先設(shè)定好的（有時也允許用戶自己指定）。當(dāng)模型需要隨機數(shù)時，通常要指定流號，以告知系統(tǒng)從哪個流遞推計算取得下一個隨機數(shù)。例如在Flexsim中調(diào)用指數(shù)分布函數(shù)的形式為exponential (location, scale, stream)，其中第三個

7、參數(shù)就是指定從哪個流求取下一個隨機數(shù)（這個隨機數(shù)還要變換成符合指數(shù)分布的形式），如果省略流參數(shù)，則默認使用0號隨機數(shù)流。第34頁，共61頁。如果仿真模型中全部隨機因素都使用一個流，例如0號流，那么隨著模型的運行，0號流的隨機數(shù)有可能會消耗完，這時會侵入下一個流取隨機數(shù)，以保證隨機數(shù)不重復(fù)。隨機數(shù)流（stream）Flexsim中系統(tǒng)已初始化了100個隨機數(shù)流（0-99號）可供直接使用，若用戶需要更多隨機數(shù)流，就需要自己初始化更多的流，詳細信息請參考Flexsim聯(lián)機幫助。第35頁，共61頁。組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，但是在現(xiàn)代計算環(huán)境下仍然顯得不夠用，因此人們

8、仍然在不斷探索周期更長的隨機數(shù)生成器，其中一個比較著名的生成器是組合多重遞推生成器（Combined Multiple Recursive Generator：Combined MRG）這種生成器實際上是以某種方式組合了多個隨機數(shù)生成器生成最終的隨機數(shù)，其周期長度高達2191，這樣每個流的長度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim 5.0及以上的版本中，也提供了這種生成器。第36頁，共61頁。組合多重遞推生成器雖然PMMLCG生成器周期長度已經(jīng)很大了，但是在現(xiàn)代計算環(huán)境下仍然顯得不夠用，因此人們?nèi)匀辉诓粩嗵剿髦芷诟L的隨機數(shù)生成器，其中一個比較著名的生成器是組合多重遞推生成器（Combi

9、ned Multiple Recursive Generator：Combined MRG）這種生成器實際上是以某種方式組合了多個隨機數(shù)生成器生成最終的隨機數(shù)，其周期長度高達2191，這樣每個流的長度也可以非常大，非常便于使用。在Flexsim 5.0及以上的版本中，也提供了這種生成器。第37頁，共61頁。隨機變數(shù)的生成仿真模型運行過程中需要的是一個個來自不同分布的隨機變數(shù)（random variates），當(dāng)它需要一個來自某分布的隨機變數(shù)時，系統(tǒng)就會調(diào)用隨機數(shù)生成器從指定流中遞推計算取得下一個隨機數(shù)（random number），然后經(jīng)過某種變換轉(zhuǎn)換成所需的隨機變數(shù)供給模型使用。那么，系統(tǒng)是

10、如何將0，1區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù)轉(zhuǎn)換成不同分布的隨機變數(shù)的呢，研究人員開發(fā)了許多方法來執(zhí)行這種轉(zhuǎn)換，如逆變換法、卷積法、合成法、取舍法等。由于這些方法都是標(biāo)準(zhǔn)方法，各種仿真軟件實施的差別不大，建模人員無需對其做過多了解，感興趣的讀者可以參考（班克斯等 2007）和（Law 2009）第38頁，共61頁。第39頁，共61頁。常見隨機變量的分布第40頁，共61頁。第41頁，共61頁。第42頁，共61頁。第43頁，共61頁。正態(tài)分布第44頁，共61頁。補充資料：各種離散分布隨機數(shù)的產(chǎn)生 在生產(chǎn)系統(tǒng)離散仿真時，我們常常使用離散分布的隨機變量來描述實際系統(tǒng)中的某些量。例如在企業(yè)原材料管理系統(tǒng)中，在一定

11、時間內(nèi)，到達倉庫的物料數(shù)就是一個離散隨機變量。該隨機變量的到達時間是一個隨機數(shù)，此隨機數(shù)滿足一定的概率分布。我們可以利用（0，1）均勻分布隨機數(shù)來產(chǎn)生各種離散分布的隨機數(shù)。 離散分布的隨機數(shù)可以分為：均勻分布的離散隨機數(shù)、非均勻分布的離散隨機數(shù)第45頁，共61頁。均勻離散分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生給定N個連續(xù)整數(shù)x1，x2，xN，我們以相等的概率從中選出一個數(shù)，這樣重復(fù)下去，所產(chǎn)生的數(shù)列就是一個離散均勻分布的隨機數(shù)序列。每次取樣值 ，式中yk是 (0，1)均勻分布的隨機數(shù)， 。 產(chǎn)生（0，1）均勻分布的隨機數(shù)選定產(chǎn)生均勻分布隨機數(shù)的范圍： x1 、xN第46頁，共61頁。非均勻離散分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生

12、給定N個x1，x2，xN，我們以相對應(yīng)的概率P1，P2，PN，滿足 ，從中選出一個數(shù)作為輸出，這樣重復(fù)下去，所產(chǎn)生的數(shù)列就是一個離散非均勻分布的隨機數(shù)序列。第47頁，共61頁。非均勻離散分布的隨機數(shù)的產(chǎn)生方法 設(shè)所求非均勻離散分布隨機數(shù)的累積概率分布函數(shù)為F(x)，其中：F(0)=F0=0，F(xiàn)k= (k=1，2，N）。設(shè)yi是一個(0，1)均勻分布隨機數(shù)。考察yi，如果 ，則把相應(yīng)的xk選出作為此次取樣的輸出值。 生成n個(0，1)均勻分布的隨機數(shù)若隨機數(shù)yi值Fk-1，F(xiàn)k），取xk數(shù)xk服從特定分布第48頁，共61頁。非均勻的連續(xù)分布隨機數(shù)及其產(chǎn)生 對于非均勻的連續(xù)分布的隨機數(shù)，我們同樣借

13、助于(0，1)均勻分布隨機數(shù)進行變換或計算來產(chǎn)生。 一般采用的變化方法為1 反函數(shù)法(逆變法) 2 函數(shù)變換法 3 卷積法第49頁，共61頁。反函數(shù)法(逆變法) 反函數(shù)法也稱為概率積分變換法，這種方法所基于的原理是概率積分變換定理，可以簡述如下：1 給定(0，1)均勻分布隨機數(shù)yn(n=1，2，.)，如果F-1(yn)是隨機變量X的反累積分布函數(shù)，則由公式2 xn= F-1(yn)所計算的隨機數(shù)就是隨機變量X的取樣值。 第50頁，共61頁。反函數(shù)法(逆變法)的步驟求出y= F(x)的反函數(shù)：x= F-1(y)。 利用(0，1)均勻分布隨機數(shù)產(chǎn)生程序取得yn。 利用x= F-1(y)可得到需要的

14、隨機數(shù)xn。 第51頁，共61頁。指數(shù)分布 指數(shù)分布的概率密度函數(shù)是累積分布函數(shù)為生成隨機數(shù)的逆函數(shù)為 圖中取 =0.5第52頁，共61頁。隨機數(shù)的統(tǒng)計檢驗 用任何一種方法產(chǎn)生的隨機數(shù)序列在把它用到實際問題中去之前都必須進行一些統(tǒng)計檢驗，看它是否能夠令人滿意地作為隨機變量的獨立取樣值(顯著性檢驗)，是否有較好的獨立性和均勻性。從理論上說，統(tǒng)計檢驗并不能得出完全肯定的結(jié)論，但是卻可以使我們有較大的把握獲得具有較好統(tǒng)計性質(zhì)的隨機數(shù)序列。 第53頁，共61頁。數(shù)字特征檢驗 數(shù)字特征檢驗是采樣平均值、方差與理論平均值、方差差異的顯著性檢驗。 在(0，1)區(qū)間上均勻分布的隨機變量X和X2的平均值及方差分

15、別為 第54頁，共61頁。數(shù)字特征檢驗如果N個隨機數(shù)x1，x2，xN是X的N個獨立觀測值，令 則它們的平均值和方差為 第55頁，共61頁。數(shù)字特征檢驗 根據(jù)中心極限定理： 漸近地服從正態(tài)N(0，1) 當(dāng)N足夠大。故當(dāng)給定顯著性水平后，即可根據(jù)正態(tài)分布表確定臨界值，據(jù)此判斷與X的平均值E(X)和與的平均值E(X2)之差異是否顯著，從而決定能否把x1，x2，xN看作是(0，1)均勻分布隨機變量X的N個獨立取樣值。 第56頁，共61頁。分布均勻性檢驗 分布均勻性檢驗又稱頻率檢驗，是對經(jīng)驗頻率和理論頻率之間的差異進行檢驗。 把(0，1)區(qū)間劃分成k等分，以 ( i=1，2，k)表示第i個小區(qū)間。如果x

16、s是區(qū)間(0，1)上均勻分布的隨機變量X的一個取樣值，則xs值落在任一小區(qū)間的概率Pi均應(yīng)等于這些小區(qū)間的長度1/k，故xsN個值落在任何一個小區(qū)間的平均數(shù) 。設(shè)實際上x1，x2，xN中屬于第i個小區(qū)間的數(shù)目為ni，則統(tǒng)計量 漸近地服從自由度為K-1的 分布。 由 的值可以衡量實際頻率與理論頻率的差異，也就是可以度量實際隨機數(shù)分布的均勻程度，當(dāng)兩者完全符合時， =0。 第57頁，共61頁。問 題 的值處在多大范圍內(nèi)可以認為的隨機數(shù)抽樣值是符合均勻性要求呢?首先確定一個判定標(biāo)準(zhǔn)(稱為顯著度)，并且根據(jù)參數(shù)的值(稱為自由度，=k-1)，從 表中查得 的值。如果計算所得到的 值小于 ，就認為符合均勻性假設(shè)。因為它符合下式 如果=0.05，則上式表示的概率為0.95，也就是說，對給定顯著度而言，可以認為這一隨機數(shù)樣本是均勻的。通?？扇?0.050.1。 第58頁，共61頁。獨立性檢驗 一個隨機數(shù)序列可以是均勻分布，但卻不一定是獨立的，也就是說有可能是互相關(guān)聯(lián)的。兩個隨機變量得相關(guān)系數(shù)反映了它們之間的線性相關(guān)程度。如果它們相互獨立，那么它們的相關(guān)系數(shù)應(yīng)為0（反之不一定）。所以其值大小可以衡量相關(guān)程度。這里對獨立性檢驗主要