ch7.參數(shù)估計(jì)教學(xué)資料

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。ch7.參數(shù)估計(jì)-第七章參數(shù)估計(jì)ChapterSevenParameterEstimation內(nèi)容提要本章主要講述點(diǎn)估計(jì)（矩法估計(jì)，極大似然估計(jì)）；估計(jì)量的評價(jià)準(zhǔn)則（無偏性，最小方差性和有效性，其它幾個(gè)準(zhǔn)則）；區(qū)間估計(jì)（區(qū)間估計(jì)的一般步驟，單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，雙正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)，非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)）等內(nèi)容重點(diǎn)分析理解點(diǎn)估計(jì)的概念，掌握矩估計(jì)法（一階、二階）。了解極大似然估計(jì)法。了解估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)（無偏性、有效性、一致性）。理解區(qū)間估計(jì)的概念，會(huì)求單個(gè)正態(tài)總體的均值與方差的置信區(qū)間，

2、會(huì)求兩個(gè)正態(tài)總體的均值差與方差比的置信區(qū)間。難點(diǎn)分析矩法估計(jì)，極大似然估計(jì)。估計(jì)量的評價(jià)準(zhǔn)則。正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。7.1點(diǎn)估計(jì)(PointEstimation)一、矩估計(jì)法(SquareEstimation)如上所述，例7.4中我們所做的對該地區(qū)農(nóng)戶的平均收入水平和貧富懸殊程度做出推斷這一工作，用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的話說，實(shí)質(zhì)上是對總體SKIPIF10的未知參數(shù)期望值SKIPIF10與方差值SKIPIF10進(jìn)行估計(jì)。我們當(dāng)時(shí)是分別用樣本均值SKIPIF10和樣本方差SKIPIF10來反映這兩個(gè)量的，那么這樣做是否合理？直觀來看這樣做是合理的，從概率論的觀點(diǎn)看也是合理的。事實(shí)上，若總體SKIPIF10

3、的期望存在，SKIPIF10,SKIPIF10是出自SKIPIF10的樣本，則由柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律,以概率為地成立而上式左邊極限號(hào)內(nèi)正是樣本均值SKIPIF10，因此,我們常用SKIPIF10作為SKIPIF10的估計(jì)值。不僅如此，若SKIPIF10的SKIPIF10階矩存在，SKIPIF10，則同樣由柯爾莫哥洛夫強(qiáng)大數(shù)定律得出以概率為成立。于是，同樣可用樣本SKIPIF10階原點(diǎn)矩SKIPIF10來近似SKIPIF10，這種用樣本原點(diǎn)矩去估計(jì)總體相應(yīng)原點(diǎn)矩的方法，即是所謂的矩估計(jì)法。一般地，若總體的分布有SKIPIF10個(gè)參數(shù)SKIPIF10，則顯然，總體的SKIPIF10SKIPIF1

4、0階矩SKIPIF10如果存在的話，必依賴這些參數(shù)，即按照用樣本矩近似真實(shí)矩的原則，可得方程（7.1）若上述關(guān)于SKIPIF10的方程組有唯一的解則稱SKIPIF10是SKIPIF10的矩估計(jì)量(SquareEstimator)或矩估計(jì)。Example7.1按矩估計(jì)的定義，無論總體是什么分布，SKIPIF10階樣本原點(diǎn)矩SKIPIF10均是它們相應(yīng)真實(shí)原點(diǎn)矩SKIPIF10的矩估計(jì)量，只要真實(shí)矩存在。因當(dāng)我們將SKIPIF10視為未知參數(shù)時(shí)，SKIPIF10顯然是方程組（7.1）的唯一解。Example7.2無論總體為什么分布，只要二階矩存在，則樣本方差SKIPIF10為方差SKIPIF10的

5、矩估計(jì)量。Solution設(shè)SKIPIF10為一樣本，我們有故記為SKIPIF10第三步等號(hào)再一次用到習(xí)題5.4需要估計(jì)的參數(shù)也可以不是總體的數(shù)字特征。Example7.3設(shè)SKIPIF10為SKIPIF10上的均勻分布，SKIPIF10為樣本，求SKIPIF10SKIPIF10的矩估計(jì)。Solution令解上述關(guān)于SKIPIF10的方程得Example7.4貝努利試驗(yàn)中，事件SKIPIF10發(fā)生的頻率是該事件發(fā)生概率的矩法估計(jì)。Solution此處，實(shí)際上我們視總體SKIPIF10為“唱票隨機(jī)變量”，即SKIPIF10服從兩點(diǎn)分布：求參數(shù)SKIPIF10的矩法估計(jì)。設(shè)SKIPIF10為SKI

6、PIF10的一個(gè)樣本，若其中有SKIPIF10個(gè)SKIPIF10等于1，則SKIPIF10即為事件SKIPIF10發(fā)生的頻率，另一方面，顯然故有SKIPIF10應(yīng)用中許多問題可歸結(jié)為例7.4，如廢品率的估計(jì)問題等。特別對固定的SKIPIF10，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)SKIPIF10也可在某種意義下看成是SKIPIF10的矩估計(jì)。因?yàn)槲覀冊?.3.2節(jié)中講過，SKIPIF10是SKIPIF10次試驗(yàn)中事件SKIPIF10發(fā)生的頻率，而SKIPIF10已知是SKIPIF10的概率。當(dāng)然這一矩估計(jì)所涉及的總體已不是原來的總體SKIPIF10，而是相應(yīng)的“唱票隨機(jī)變量”。并非所有建立了方程組（7.1）的矩估計(jì)問

7、題都能得到SKIPIF10的解析表達(dá)式。Example7.5設(shè)總體的密度函數(shù)為SKIPIF10SKIPIF10為此總體的樣本。則可以算出其中SKIPIF10為伽(Gamma)函數(shù)，按矩估計(jì)原理分別用SKIPIF10取代SKIPIF10，得到形如（7.1）的方程組，但SKIPIF10無法得到簡單的解析表達(dá)式，只能求SKIPIF10的數(shù)值解。（見習(xí)題7.20）使用矩估計(jì)法的一個(gè)前提是總體存在適當(dāng)階的矩，階數(shù)應(yīng)不小于待估參數(shù)的個(gè)數(shù)（或者說參數(shù)空間的維數(shù)），但這不總是可以做到的。Example7.6柯西（Cauchy）分布設(shè)總體具有密度函數(shù)顯然,它的各階矩皆不存在，因此,不能用矩估計(jì)法來估計(jì)參數(shù)SKI

8、PIF10另外,盡管矩估計(jì)法簡便易行，且只要SKIPIF10充分大，估計(jì)的精確度也很高，但它只用到總體的數(shù)字特征的形式，而未用到總體的具體分布形式，損失了一部分很有用的信息，因此,在很多場合下顯得粗糙和過于一般。二、極大似然估計(jì)(MaximumLikelihoodEstimation)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)方法中另一個(gè)常用方法就是極大似然估計(jì)，簡記為（MaximumLikelihoodEstimation）。從字面上來理解,就是通過對樣本的考察，認(rèn)為待估參數(shù)最象是取什么值即作為對參數(shù)的估計(jì)，事實(shí)上,極大似然估計(jì)原理也大致如此。我們通過一個(gè)具體例子來說明這一估計(jì)的思想。Example7.7已知甲、乙兩射手

9、命中靶心的概率分別為0.9及0.4，今有一張靶紙上面的彈著點(diǎn)表明為10槍6中，已知這張靶紙肯定是甲、乙之一射手所射，問究竟是誰所射？從直觀上看，甲的槍法屬上乘，命中靶心率為0.9，看來這次射擊成績不至于這么差；而乙的槍法又似乎尚不足以打出這么好的成績，但二者取一，還是更象乙所射。我們來計(jì)算一下可能性。為此，我們建立一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型：設(shè)甲、乙射中與否分別服從參數(shù)為SKIPIF10的兩點(diǎn)分布，今有樣本SKIPIF10，其中有6個(gè)觀察值為1，4個(gè)為0，由此估計(jì)總體的參數(shù)SKIPIF10是0.9，還是0.4這里因?yàn)閰?shù)空間只有兩個(gè)點(diǎn)：SKIPIF10=0.9，0.4，我們不妨分別計(jì)算一下參數(shù)為什么的可能性

10、大。若是甲所射，即參數(shù)SKIPIF10，則此事發(fā)生的概率為SKIPIF10;若是乙所射，即參數(shù)SKIPIF10，則此事發(fā)生的概率為SKIPIF10，盡管是乙所射的可能也不大，但畢竟比是甲所射的概率大了10倍，因此，在參數(shù)空間只有兩點(diǎn)的情況下，概率SKIPIF10的最大值在SKIPIF10處發(fā)生，故我們更情愿認(rèn)為是乙所射，即用0.4作為SKIPIF10的估計(jì)：SKIPIF10.總之，極大似然估計(jì)的出發(fā)點(diǎn)是基于這樣一個(gè)統(tǒng)計(jì)原理，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件已經(jīng)發(fā)生，比如已經(jīng)得到某個(gè)具體的樣本SKIPIF10，則必然認(rèn)為發(fā)生該事件的概率最大。從例7.7我們可以看出，極大似然估計(jì)的做法，關(guān)鍵有兩步：第一

11、步寫出某樣本SKIPIF10出現(xiàn)概率的表達(dá)式SKIPIF10，對于離散型總體SKIPIF10，設(shè)它的分布列為SKIPIF10則上述樣本出現(xiàn)的概率為對于固定的樣本，SKIPIF10是參數(shù)SKIPIF10的函數(shù)，我們稱之為似然函數(shù)(LikelihoodFunction)。第二步則是求SKIPIF10（SKIPIF10是參空間）,使得SKIPIF10達(dá)到最大，此SKIPIF10即為所求的參數(shù)SKIPIF10的極大似然估計(jì)。這里還需要著重強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：）當(dāng)總體SKIPIF10是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，談所謂樣本SKIPIF10出現(xiàn)的概率是沒有什么意義的，因?yàn)槿魏我粋€(gè)具體樣本的出現(xiàn)都是零概率事件。這時(shí)我們就考慮樣

12、本在它任意小的鄰域中出現(xiàn)的概率，這個(gè)概率越大，就等價(jià)于此樣本處的概率密度越大。因此在連續(xù)型總體的情況下，我們用樣本的密度函數(shù)作為似然函數(shù)。）為了計(jì)算方便，我們常對似然函數(shù)SKIPIF10取對數(shù)，并稱SKIPIF10為對數(shù)似然函數(shù)(Logarithmlikelihoodfunction)。易知，SKIPIF10與SKIPIF10在同一SKIPIF10處達(dá)到極大，因此，這樣做不會(huì)改變極大點(diǎn)。c）在例7.7中參數(shù)空間只有兩點(diǎn)，我們可以用窮舉法求出在哪一點(diǎn)上達(dá)到最大，但在大多數(shù)情形中，SKIPIF10包含維歐氏空間的一個(gè)區(qū)域,因此,必須采用求極值的辦法，即對對數(shù)似然函數(shù)關(guān)于SKIPIF10求導(dǎo)，再令之

13、為0，即得SKIPIF10，SKIPIF10(7.2)我們稱(7.2)為似然方程（組）(Likelihoodequation(group)。解上述方程，即得到SKIPIF10的，SKIPIF10Example7.8設(shè)SKIPIF10是SKIPIF10的樣本，求SKIPIF10與SKIPIF10的Solution我們有解似然方程組，即得看來，對于正態(tài)分布總體來說，SKIPIF10,SKIPIF10的矩估計(jì)與是相同的。矩估計(jì)與相同的情形還有很多，如例7.4的問題中，容易驗(yàn)證，事件發(fā)生的頻率也是其概率SKIPIF10的我們有更進(jìn)一步的例子。Example7.9設(shè)有SKIPIF10個(gè)事件SKIPIF1

14、0兩兩互斥，其概率SKIPIF10之和為1.做次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，則各事件發(fā)生的頻率為各相應(yīng)概率的事實(shí)上，設(shè)樣本SKIPIF10記錄了每次試驗(yàn)中所發(fā)生的事件，以SKIPIF10表示SKIPIF10次試驗(yàn)中事件SKIPIF10發(fā)生的次數(shù)，則此樣本出現(xiàn)的概率（似然函數(shù)）為于是得似然方程即將上述SKIPIF10個(gè)等式相加，注意到SKIPIF10及得到右邊即為事件SKIPIF10發(fā)生的頻率，顯然事件SKIPIF10與其它事件SKIPIF10地位是相同的，故類似可得到需注意到，并非每個(gè)問題都可通過解似然方程得到，如Example7.10同例7.3，求均勻分布SKIPIF10中參數(shù)SKIPIF10的先寫出似然

15、函數(shù)（7.3）本例似然函數(shù)不連續(xù)，不能用似然方程求解的方法，只有回到極大似然估計(jì)的原始定義，由式（7.3），注意到最大值只能發(fā)生在（7.4）時(shí)；而欲SKIPIF10最大，只有使SKIPIF10最小，即使SKIPIF10盡可能小，SKIPIF10盡可能大，但在式（7.4）的約束下，只能取SKIPIF10,SKIPIF10和矩估計(jì)的情形一樣，有時(shí)雖能給出似然方程，也可以證明它有解，但得不到解的解析表達(dá)式。Example7.11同例7.7，求柯西分布中SKIPIF10的我們可得似然方程為這個(gè)方程只能求數(shù)值解。7.2估計(jì)量的評價(jià)準(zhǔn)則(EvaluationRuleofEstimator)對于同一參數(shù)，用

16、不同方法來估計(jì)，結(jié)果是不一樣的。如例7.3與例7.10就表明了對于均勻分布SKIPIF10，參數(shù)SKIPIF10的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)是不一樣的，甚至用同一方法也可能得到不同的統(tǒng)計(jì)量。Example7.12設(shè)總體SKIPIF10服從參數(shù)為SKIPIF10的泊松分布，即則易知SKIPIF10，分別用樣本均值和樣本方差取代SKIPIF10和SKIPIF10，于是得到SKIPIF10的兩個(gè)矩估計(jì)量SKIPIF10既然估計(jì)的結(jié)果往往不是唯一的，那么究竟孰優(yōu)孰劣？這里首先就有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的問題。一、無偏性(Unbiased)Definition7.1設(shè)SKIPIF10是SKIPIF10的一個(gè)估計(jì)量，若對任意

17、的SKIPIF10，都有SKIPIF10，則稱SKIPIF10是SKIPIF10的無偏估計(jì)量(Unbiasedestimator)，如果則稱SKIPIF10是SKIPIF10的漸近無偏估計(jì)量(Approximationunbiasedestimator)，其中SKIPIF10稱為是SKIPIF10的偏差(affect)。無偏性反映了估計(jì)量的取值在真值SKIPIF10周圍擺動(dòng)，顯然，我們希望一個(gè)量具有無偏性。Example7.13SKIPIF10是總體期望值SKIPIF10的無偏估計(jì)，因?yàn)镋xample7.14SKIPIF10不是總體方差SKIPIF10的無偏估計(jì)，因?yàn)樽⒁獾焦实虼薙KIPIF

18、10是漸近無偏估計(jì)。在SKIPIF10的基礎(chǔ)上，我們適當(dāng)加以修正可以得到一個(gè)SKIPIF10的無偏估計(jì)，這個(gè)估計(jì)量也和樣本方差一樣是經(jīng)常被采用的：由此例也可以看出，例7.12中關(guān)于SKIPIF10的兩個(gè)矩估計(jì)量中，SKIPIF10是無偏的，SKIPIF10；而SKIPIF10是有偏的，SKIPIF10.我們在第五章曾經(jīng)說過，對估計(jì)量的優(yōu)劣的評價(jià)，一般是站在概率論的基點(diǎn)上，在實(shí)際應(yīng)用問題中，含有多次反復(fù)使用此方法效果如何的意思。對于無偏性，也同樣是這樣，即是在實(shí)際應(yīng)用問題中若使用這一估計(jì)量算出多個(gè)估計(jì)值，則它們的平均值可以接近于被估參數(shù)的真值。這一點(diǎn)有時(shí)是有實(shí)際意義的，如某一廠商長期向某一銷售商

19、提供一種產(chǎn)品，在對產(chǎn)品的檢驗(yàn)方法上，雙方同意采用抽樣以后對次品進(jìn)行估計(jì)的辦法。如果這種估計(jì)是無偏的，那么雙方都理應(yīng)能夠接受。比如這一次估計(jì)次品率偏高，廠商吃虧了，但下一次估計(jì)可能偏低，廠商的損失可以補(bǔ)回來，由于雙方的交往是長期多次的，采用無偏估計(jì)，總的來說是互不吃虧。然而不幸的是，無偏性有時(shí)并無多大的實(shí)際意義。這里有兩種情況，一種情況是在一類實(shí)際問題中沒有多次抽樣，比如前面的例子中，廠商和銷售商沒有長期合作關(guān)系，純屬一次性的商業(yè)行為，雙方誰也吃虧不起，這就沒有什么“平均”可言。另一種情況是被估計(jì)的量實(shí)際上是不能相互補(bǔ)償?shù)?，因此“平均”沒有實(shí)際意義，例如通過試驗(yàn)對某型號(hào)幾批導(dǎo)彈的系統(tǒng)誤差分別做出

20、估計(jì)，既使這一估計(jì)是無偏的，但如果這一批導(dǎo)彈的系統(tǒng)誤差實(shí)際估計(jì)偏左，下一批導(dǎo)彈則估計(jì)偏右，結(jié)果兩批導(dǎo)彈在使用時(shí)都不能命中預(yù)定目標(biāo)，這里不存在“偏左”與“偏右”相互抵消或“平均命中”的問題。我們還可以舉出數(shù)理統(tǒng)計(jì)本身的例子來說明無偏性的局限。Example7.15設(shè)SKIPIF10服從參數(shù)為SKIPIF10的泊松分布，SKIPIF10為SKIPIF10的樣本，用SKIPIF10作為SKIPIF10的估計(jì)，則此估計(jì)是無偏的。因?yàn)榈?dāng)SKIPIF10取奇數(shù)時(shí)，SKIPIF10，顯然用它作為SKIPIF10的估計(jì)是不能令人接受的。為此我們還需要有別的標(biāo)準(zhǔn)。二、最小方差性和有效性(MinimumVari

21、anceandefficiency)前面已經(jīng)說過，無偏估計(jì)量只說明估計(jì)量的取值在真值周圍擺動(dòng)，但這個(gè)“周圍”究竟有多大？我們自然希望擺動(dòng)范圍越小越好，即估計(jì)量的取值的集中程度要盡可能的高，這在統(tǒng)計(jì)上就引出最小方差無偏估計(jì)的概念。Definition7.2對于固定的樣本容量SKIPIF10，設(shè)SKIPIF10是參數(shù)函數(shù)SKIPIF10的無偏估計(jì)量，若對SKIPIF10的任一個(gè)無偏估計(jì)量SKIPIF10有則稱SKIPIF10為SKIPIF10的（一致）最小方差無偏估計(jì)量，簡記為(UniformlyMinimumVarianceUnbiasedEstimation)或者稱為最優(yōu)無偏估計(jì)量。從定義上看

22、，要直接驗(yàn)證某個(gè)估計(jì)量是參數(shù)函數(shù)SKIPIF10的最優(yōu)無偏估計(jì)是有困難的。但對于很大一類分布和估計(jì)來說，我們從另一個(gè)角度來研究這一問題?？紤]SKIPIF10的一切無偏估計(jì)SKIPIF10，如果能求出這一類里無偏估計(jì)中方差的一個(gè)下界（下界顯然存在的，至少可以取，而又能證明某個(gè)估計(jì)SKIPIF10能達(dá)到這一下界，則SKIPIF10當(dāng)然就是一我們來求一下這個(gè)下界。下面不妨考慮總體為連續(xù)型的。（對于離散型的，只須做一點(diǎn)相應(yīng)的改動(dòng)即可），簡記統(tǒng)計(jì)量SKIPIF10為SKIPIF10，樣本SKIPIF10的分布密度SKIPIF10為SKIPIF10；積分SKIPIF10為SKIPIF10又假設(shè)在以下計(jì)算中

23、，所有需要求導(dǎo)和在積分號(hào)下求導(dǎo)的場合都具有相應(yīng)的可行性。今考慮SKIPIF10的一個(gè)無偏估計(jì)SKIPIF10，即有兩邊對SKIPIF10求導(dǎo)(7.5)又上式兩邊對SKIPIF10求導(dǎo)（7.6）式（7.5）加上式（7.6）乘以-SKIPIF10上式改寫成用柯西一許瓦爾茲（Cauchy-Schwarz）不等式，即得(7.7)其中（7.8）（7.9）由式（7.7）-式（7.9）即得著名的克拉美-勞（Cramer-Rao）不等式（簡稱-不等式）:(7.10)注意到SKIPIF10獨(dú)立同分布，則由以及當(dāng)SKIPIF10時(shí)，利用式（7.6）可得其中SKIPIF10稱為費(fèi)歇(Fisher)信息量(infor

24、mationquantity)，于是式（7.10）可簡寫成（7.11）式（7.11）的右邊稱為參數(shù)函數(shù)SKIPIF10估計(jì)量方差的-下界(lowerlimit)。還可以證明SKIPIF10的另一表達(dá)式，它有時(shí)用起來更方便：Definition7.3稱SKIPIF10為SKIPIF10的無偏估計(jì)量SKIPIF10的效率(efficiency)（顯然由SKIPIF10不等式，SKIPIF10）又當(dāng)SKIPIF10的效率等于時(shí)，稱SKIPIF10是有效(efficient)的；若SKIPIF10，則稱SKIPIF10是漸近有效(asymptoticallyefficient)的。顯然，有效估計(jì)量必是

25、最小方差無偏估計(jì)量，反過來則不一定正確，因?yàn)榭赡茉谀硡?shù)函數(shù)的一切無偏估計(jì)中，找不到達(dá)到SKIPIF10下界的估計(jì)量。我們常用到的幾種分布的參數(shù)估計(jì)量多是有效或漸近有效的。從下面的例子，我們可以體會(huì)出驗(yàn)證有效性的一般步驟。Example7.15設(shè)總體SKIPIF10，SKIPIF10為SKIPIF10的樣本，則SKIPIF10的無偏估計(jì)SKIPIF10是有效的，SKIPIF10的無偏估計(jì)SKIPIF10是漸近有效的。證()由例7.13,7.14知,SKIPIF10,SKIPIF10分別是SKIPIF10和SKIPIF10的無偏估計(jì)。()計(jì)算SKIPIF10易知SKIPIF10又由定理5.3，S

26、KIPIF10從而(iii)計(jì)算SKIPIF10故又故（iv）計(jì)算效率SKIPIF10（）故SKIPIF10是SKIPIF10的有效估計(jì)，SKIPIF10是SKIPIF10的漸近有效估計(jì)。Example7.16仍考慮例7.12中泊松分布參數(shù)SKIPIF10的矩估計(jì)量SKIPIF10的有效性（由于SKIPIF10不是無偏估計(jì)，不考慮其有效性）。注意，對離散型總體，在考慮費(fèi)歇信息量時(shí)用概率分布來取代概率密度，故有故從而效率它是有效的，從而也是最小方差無偏估計(jì)量。7.3區(qū)間估計(jì)(IntervalEstimation)一、區(qū)間估計(jì)的一般步驟(Generalstepofintervalestimatio

27、n)我們在討論抽樣分布時(shí)曾提到過區(qū)間估計(jì)。與點(diǎn)估計(jì)不同的是，它給出的不是參數(shù)空間的某一個(gè)點(diǎn)，而是一個(gè)區(qū)間（域）。按照一般的觀念，似乎我們總是希望能得到參數(shù)的一個(gè)具體值，也就是說用點(diǎn)估計(jì)就夠了，為什么還要引入?yún)^(qū)間估計(jì)呢？這是因?yàn)樵谑褂命c(diǎn)估計(jì)時(shí)，我們對估計(jì)量SKIPIF10是否能“接近”真正的參數(shù)SKIPIF10的考察是通過建立種種評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，然后依照這些標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行評價(jià)，這些標(biāo)準(zhǔn)一般都是由數(shù)學(xué)特征來描繪大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的平均效果，而對于估值的可靠度與精度卻沒有回答。即是說，對于類似這樣的問題：“估計(jì)量SKIPIF10在參數(shù)SKIPIF10的SKIPIF10鄰域的概率是多大？”點(diǎn)估計(jì)并沒有給出明確結(jié)論，但

28、在某些應(yīng)用問題中，這恰恰是人們所感興趣的，如Example7.13某工廠欲對出廠的一批電子器件的平均壽命進(jìn)行估計(jì)，隨機(jī)地抽取SKIPIF10件產(chǎn)品進(jìn)行試驗(yàn)，通過對試驗(yàn)的數(shù)據(jù)的加工得出該批產(chǎn)品是否合格的結(jié)論？并要求此結(jié)論的可信程度為95%，應(yīng)該如何來加工這些數(shù)據(jù)？對于“可信程度”如何定義，我們下面再說，但從常識(shí)可以知道，通常對于電子元器件的壽命指標(biāo)往往是一個(gè)范圍，而不必是一個(gè)很準(zhǔn)確的數(shù)。因此，在對這批電子元器件的平均壽命估計(jì)時(shí)，壽命的準(zhǔn)確值并不是最重要的，重要的是所估計(jì)的壽命是否能以很高的可信程度處在合格產(chǎn)品的指標(biāo)范圍內(nèi)，這里可信程度是很重要的，它涉及到使用這些電子元器件的可靠性。因此，若采用點(diǎn)

29、估計(jì)，不一定能達(dá)到應(yīng)用的目的，這就需要引人區(qū)間估計(jì)。區(qū)間估計(jì)粗略地說是用兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量SKIPIF10，SKIPIF10SKIPIF10所決定的區(qū)間SKIPIF10作為參數(shù)SKIPIF10取值范圍的估計(jì)。顯然，一般地這樣說是沒有多大的意義的，首先，這個(gè)估計(jì)必須有一定的精度，即是說SKIPIF10不能太大，太大不能說明任何問題；第二，這個(gè)估計(jì)必須有一定的可信程度，因此SKIPIF10又不能太小，太小難以保證這一要求。比如從區(qū)間1，100去估計(jì)某人的歲數(shù)，雖然絕對可信，卻不能帶來任何有用的信息；反之，若用區(qū)間30，31去估計(jì)某人的歲數(shù)，雖然提供了關(guān)于此人年齡的信息，卻很難使人相信這一結(jié)果的正確性。我們

30、希望既能得到較高的精度，又能得到較高的可信程度，但在獲得的信息一定（如樣本容量固定）的情況下，這兩者顯然是不可能同時(shí)達(dá)到最理想的狀態(tài)。通常是采取將可信程度固定在某一需要的水平上，求得精度盡可能高的估計(jì)區(qū)間。下面給出區(qū)間估計(jì)的正式的定義。Definition7.4對于參數(shù)SKIPIF10，如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量SKIPIF10,SKIPIF10，滿足對給定的SKIPIF10，有則稱區(qū)間SKIPIF10是SKIPIF10的一個(gè)區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間(ConfidenceInterval)，SKIPIF10，SKIPIF10分別稱作置信下限(Confidencelowerlimit)、置信上限(Confide

31、nceupperlimit)，SKIPIF10稱為置信水平(Confidencelevel)。這里的置信水平，就是對可信程度的度量。置信水平為SKIPIF10，在實(shí)際上可以這樣來理解:如取SKIPIF10，就是說若對某一參數(shù)SKIPIF10取100個(gè)容量為SKIPIF10的樣本，用相同方法做100個(gè)置信區(qū)間。SKIPIF10，SKIPIF10，那么其中有95個(gè)區(qū)間包含了真參數(shù)SKIPIF10因此,當(dāng)我們實(shí)際上只做一次區(qū)間估計(jì)時(shí)，我們有理由認(rèn)為它包含了真參數(shù)。這樣判斷當(dāng)然也可能犯錯(cuò)誤，但犯錯(cuò)誤的概率只有5%.下面我們來討論一下區(qū)間估計(jì)的一般步驟。10設(shè)欲估參數(shù)為SKIPIF10，先取SKIPIF

32、10的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)SKIPIF10，它滿足兩點(diǎn)：一是它較前面提出的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是一個(gè)“好的”估計(jì)量，二是它的分布形式應(yīng)該已知，只依賴未知參數(shù)SKIPIF1020所求的區(qū)間考慮為SKIPIF10的一個(gè)鄰域SKIPIF10，SKIPIF10,(或者SKIPIF10等等)，使得對于SKIPIF10SKIPIF10(7.22)且一般要求SKIPIF10盡可能小。為確定SKIPIF10，須用解不等式的方法將(7.22)式中的隨機(jī)事件變成類似于下述等價(jià)形式：（7.23）其中，SKIPIF10為可逆的SKIPIF10的已知函數(shù),SKIPIF10的分布與SKIPIF10無關(guān)且已知，一般其分位點(diǎn)應(yīng)有表可查，這是關(guān)鍵的

33、一步。于是就可得出SKIPIF10，SKIPIF10為某個(gè)分位點(diǎn),如SKIPIF10，SKIPIF10.0從SKIPIF10，SKIPIF10的表達(dá)式中解出SKIPIF10即可。區(qū)間估計(jì)涉及到抽樣分布，如節(jié)5.4.5中所述,對于一般分布的總體,其抽樣分布的計(jì)算通常有些困難，因此，我們將主要研究正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)問題。二、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)SKIPIF10為SKIPIF10的樣本，對給定的置信水平SKIPIF10，SKIPIF10，我們來分別研究參數(shù)SKIPIF10與SKIPIF10的區(qū)間估計(jì)。Example7.14在上述前提下，求SKIPIF10的置信水平為SKIPIF10的區(qū)間

34、估計(jì)。Solution考慮SKIPIF10的點(diǎn)估計(jì)為SKIPIF10,SKIPIF10，確定SKIPIF10使且使區(qū)間長SKIPIF10盡可能小。下面分兩種情況）SKIPIF10已知，變換事件SKIPIF10，使SKIPIF10表成式（7.23）的形式：這里SKIPIF10，為使SKIPIF10，又要盡量使SKIPIF10最小，亦即使SKIPIF10最小，如圖7-1，從SKIPIF10密度函數(shù)的特點(diǎn)來看（對稱、原點(diǎn)附近密度最大，往兩邊密度減?。挥腥KIPIF10，即SKIPIF10，從而所求的區(qū)間是（7.24）圖7-1）SKIPIF10未知，將事件SKIPIF10變換成式（7.23）的形

35、式：其中由例7.14知，SKIPIF10，為使SKIPIF10，且區(qū)間盡量短，與SKIPIF10情形一樣,只有取SKIPIF10。因此所求區(qū)間為（7.25）Example7.15在上述前提下求SKIPIF10的置信水平為SKIPIF10的區(qū)間估計(jì)。SolutionSKIPIF10的點(diǎn)估計(jì)量為SKIPIF10，注意到SKIPIF10，考慮SKIPIF10，及SKIPIF10的鄰域SKIPIF10，使變換事件SKIPIF10由定理5.3（）知，SKIPIF10，故為使SKIPIF10，通常取于是，所求區(qū)間為這里要使區(qū)間最短，計(jì)算太麻煩，因此，在取分位點(diǎn)時(shí)采用類似主對稱型分布的取法，使密度函數(shù)圖形兩

36、端的尾部面積均為SKIPIF10（如圖7-2）。圖7-2Example7.16一批零件尺寸服從SKIPIF10，對SKIPIF10進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（SKIPIF10未知）,要求估計(jì)精度不低于SKIPIF10，置信水平保持為SKIPIF10，問至少要抽取多少件產(chǎn)品作為樣本？Solution顯然，此處要求由例7.24，SKIPIF10，故（7.26）式（7.26）不是SKIPIF10的顯式，但對于具體數(shù)值，可采取“試算法”來確定SKIPIF10一般是先對SKIPIF10作個(gè)大致估計(jì)(可以由以往的經(jīng)驗(yàn)確定),然后用試算的方式確定適合方程（7.26）的SKIPIF10例如若估計(jì)出SKIPIF10，又已知SKIPIF10,來試算SKIPIF10：顯然，如果任正整數(shù)不可能嚴(yán)格滿足方程（7.26）的話，則應(yīng)取使式（7.26）左邊大于右邊的最小的SKIPIF10，因此應(yīng)該取SKIPIF10三