電路分析基礎第4章-直流激勵下的一階動態(tài)電路-課件

1、第4章 直流激勵下的一階動態(tài)電路4.1 電容元件 4.2 電感元件 4.3 換路定律 4.4 一階電路的響應 本章小結 閱讀材料：電容器與電容元件 實驗7 一階RC電路的暫態(tài)響應分析 4.1 電容元件4.1.1 電容元件的定義電容元件是電路模型中的一個基本元件，是一種表征電路元件儲存電荷特性的理想元件。電容元件的定義是：如果一個二端元件在任一時刻，其所儲存的電荷q與端電壓u之間的關系由uq平面上的一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件，如圖4-1所示。圖4-1 電容元件的qu特性曲線 電量與電壓大小成正比關系的電容元件，如果它的qu曲線是一條通過坐標原點的直線，如圖4-1(a)所示，則稱為線

2、性電容元件;否則，稱為非線性電容元件，如圖4-1(b)所示。今后所說的電容元件，如無特別說明，都是指線性電容元件,電路符號如圖4-2所示。圖4-2 電容元件的符號 電容元件的原始模型為由兩塊金屬極板中間用絕緣介質隔開的平板電容器。當在兩極板上加上電壓后，兩極板就分別積累了等量的正、負電荷，即對電容器進行了充電，每個極板所帶電量的絕對值，叫做電容器所帶的電荷量。同時，在兩個極板間建立了電場，儲存電場能量。聚積的電荷愈多，所形成的電場就愈強，電容元件所儲存的電場能也就愈大。當電容器兩極板聚積的電荷量改變時，就形成電流。電容元件每個極板所帶電荷量的多少與兩極板間電壓的大小有關，其關系式為(4-1)

3、式(4-1)反映了電容元件容納電荷的本領。我們把電荷量q與電壓u的比值稱為電容元件的電容量，簡稱電容，用C表示，在數(shù)值上等于單位電壓加在電容元件兩端時，儲存的電荷量。在國際單位制中，電容的單位是法拉，簡稱法(F)。在實際應用中，法拉這個單位太大，常用較小的單位微法(F)和皮法(pF)，它們和F(法拉)的換算關系是1F10-6F；1pF10-12F如果電容元件的電容為常量，不隨它所帶電荷量的變化而變化，這樣的電容元件即為線性電容元件，它的電容量只與其本身的幾何尺寸以及內部的介質情況有關。習慣上常把電容元件和電容器簡稱為電容，所以“電容”一詞有雙重含義，一是指電容元件(電容器)本身，同時也指電容元

4、件的參數(shù)(電容量)。電容具有隔直流、通交流、通高頻、阻低頻的特性。主要用于隔斷直流的電容叫做隔直電容，把高頻信號與低頻信號分開的電容叫旁路電容，作為級間耦合的電容叫耦合電容。當加在一個實際電容器兩端的電壓超過某一個限度時，兩極板間的絕緣介質將被擊穿而導電，形成短路，故電容器均有一定的耐壓值，又稱為電容器的額定直流工作電壓。它是電容器在電路中長期(不少于1萬小時)可靠工作所能承受的最高直流電壓。4.1.2 電容元件的伏安關系電容元件兩端的電壓發(fā)生變化時，兩極板積累的電荷量也要發(fā)生變化，電路中出現(xiàn)了電荷的移動，便形成電流。如圖4-3所示，當電容上的電壓u和電流i為關聯(lián)參考方向時，根據(jù)電流的定義，得

5、 由得q=Cu，代入上式，得 (4-2) (4-3) 圖4-3 電容元件電壓、電流方向 這就是關聯(lián)參考方向下電容元件的伏安關系。式(4-3)表明，流過電容的電流與電容兩端電壓的變化率成正比。也就是說，電容元件任一瞬間電流的大小并不取決于這一瞬間電壓的大小，而是取決于這一瞬間電壓變化率的大小。電壓變化越快，電流越大；電壓變化越慢，電流越小。如果電容兩端電壓保持不變，則通過它的電流為零，因此直流電路中電容元件相當于開路。由于電容電流只取決于它兩端電壓的變化率，所以電容元件又叫動態(tài)元件。4.1.3 電容元件的儲能電容器兩極板有電壓，介質中就有電場，并儲存電場能量。因此，電容元件是一種儲能元件。當電容

6、元件電壓與電流為關聯(lián)參考方向時，電容元件的瞬時功率為 若p0，說明電容吸收能量(功率)，處于充電狀態(tài)；若p0，則電容處于放電狀態(tài)，向外釋放能量(功率)。這說明電容能在一段時間內吸收外部供給的能量并儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，它本身并不消耗能量。(4-4) 設t0瞬間電容元件的電壓為零，經(jīng)過時間t后電壓升高至u，則電容C從0到t時間內儲存的電場能量為若C、u的單位分別為法拉(F)、伏特(V)，則WC的單位為焦耳(J)。式(4-5)表明，電容元件在某一時刻的儲能，只與這一時刻的電壓有關，與達到u的過程、電流的大小及有無電流無關。也就是說，只要電容兩端有電壓，就存在儲能。 (4-5)

7、 4.1.4 電容元件的串、并聯(lián)等效在實際工作中，選用電容器時必須考慮它的電容量和耐壓能力。當遇到電容的大小不合適或耐壓不夠的問題時，就可以把幾個電容器串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)使用。1.電容器的串聯(lián)把幾個電容器各極板首尾相接，順序連成一個無分支電路的連接方式叫做電容器的串聯(lián)。如圖4-4所示為三個電容器串聯(lián)的電路。當一個電容器的耐壓不能滿足電路要求，而它的容量又足夠大時，通常可將幾個電容器串聯(lián)起來使用。 圖4-4 電容器的串聯(lián) 電容器串聯(lián)時，與電源相連的兩個極板充有等量異號的電荷量q，中間各極板因靜電感應而出現(xiàn)等量異號的感應電荷。顯然，各個電容器的電荷量均為q，總的電荷量也為q。因此，串聯(lián)電容器組中的每

8、一個電容器都帶有相等的電荷量，即q=q1=q2=q3根據(jù)電容的定義式，則每個電容器兩端的電壓分別為(4-6) 由KVL列出回路電壓方程u=u1+u2+u3，代入式(4-6)得 對等效電容C而言，它兩端電壓是u，所帶電荷量是q，應有關系式比較式(4-7)、式(4-8)得 (4-7) (4-8) (4-9) 式(4-9)說明，串聯(lián)電容的等效電容的倒數(shù)，等于各個電容的倒數(shù)之和。如果只有兩個電容器串聯(lián)，其等效電容為如果有n個電容器串聯(lián)，可推廣為 當n個電容器的電容相等，均為C0時，等效電容C為 等效電容C比每個電容器的電容都小，這相當于加大了電容器兩極板間的距離d，因而電容減??；每個電容的電壓都小于端

9、口電壓，故當電容器的耐壓不夠時，可將電容器串聯(lián)使用，需注意的是電容小的分得的電壓反而大。2.電容器的并聯(lián)把幾只電容器接到兩個節(jié)點之間的連接方式叫做電容器的并聯(lián)。如圖4-5所示為三個電容器并聯(lián)的電路。 電容并聯(lián)時，各電容電壓相等，都等于端口電壓u，它們所帶的電荷量分別為q1=C1u，q2=C2u，q3=C3u所以，三個電容的總電荷量為q=q1+q2+q3=C1u+C2u+C3u=(C1+C2+C3)u并聯(lián)電容的等效電容為(4-10) 圖4-5 電容器的并聯(lián) 式(4-10)說明，當幾個電容元件并聯(lián)時，其等效電容等于各并聯(lián)電容之和。如果有n個電容器并聯(lián)，可推廣為C=C1+C2+Cn當n個電容器的電容

10、相等，均為C0時，則等效電容為C=nC0電容器并聯(lián)時，工作電壓不得超過它們中的最低耐壓。否則，一只電容器被擊穿，整個并聯(lián)電路就會被短接，這樣會對電路造成危害。當電容器的耐壓足夠但電容量不夠時，可將幾個電容器并聯(lián)使用，以得到所需的電容量。當電容量和耐壓都不夠時，可將一些電容器混聯(lián)使用，即有些并聯(lián)，有些串聯(lián)。【例4-1】 兩個電容器C1和C2，其中C1=200F，耐壓U1=100V；C2=50F，耐壓U2=500V。(1)計算兩電容器并聯(lián)使用時的等效電容和耐壓；(2)計算兩電容器串聯(lián)使用時的等效電容和耐壓。解 (1)將兩電容器并聯(lián)使用時，等效電容為C=C1+C2=200+50=250F耐壓為UU1

11、=100V(2)兩電容器串聯(lián)時，等效電容為 因為q1=C1U1=200106100=20103Cq2=C2U2=50106500=25103C顯然，q1q2，故串聯(lián)后的電荷量q=C1U1=20103C耐壓為【例4-2】 電容同為50F，耐壓同為50V的三只電容器連接如圖4-6所示，求電路的等效電容和耐壓。解 C2和C3并聯(lián)后的等效電容為C23=C2+C3=50+50=100F電路的等效電容，即C1與C23串聯(lián)的等效電容為由于C1小于C23，故U1必大于U23，因此需保證U1不超過其耐壓50V。 圖4-6 例4-2圖 當U1=50V時，耐壓UU1+U2350+25=75V，即端口電壓不能超過75

12、V。 【例4-3】 在圖4-7(a)所示電路中，C1=C2=C3=0.2F，C4=C5=0.1F，求等效電容C。解 為便于觀察連接方式，將圖4-7(a)整理得圖4-7(b)，C4與C2、C3并聯(lián)，其等效電容C234為C1與C234串聯(lián)，其等效電容C1234為圖4-7 例4-3圖 C5與C1234并聯(lián)，電路等效電容C為 C=C5+C1234=0.1+0.1=0.2 F 4.2 電感元件4.2.1 自感現(xiàn)象任何通有電流的導體，和磁體一樣，都可以在其周圍產(chǎn)生磁場，這一現(xiàn)象稱為電流的磁效應，是丹麥科學家奧斯特在1820年發(fā)現(xiàn)的。當導體中的電流發(fā)生變化時，它周圍的磁場也會隨著變化。通常將導線繞制成螺旋狀

13、線圈，稱為電感線圈，當電流通過線圈時，線圈周圍激發(fā)的磁場與其電流i成正比。若穿過單匝線圈的磁感應線的多少用磁通表示，對于一個有N匝且均勻緊密繞制的線圈，其總磁通N稱為自感磁鏈，簡稱磁鏈，用表示，即=N當線圈中間和周圍沒有鐵磁物質時，線圈的磁鏈也與產(chǎn)生它的電流i成正比，即Li=N上式中的比例系數(shù)L稱為電感線圈的自感系數(shù)，簡稱自感或電感。電感L的定義為 電感的大小與電流無關，僅取決于線圈的大小、形狀、匝數(shù)以及周圍(特別是線圈內部)磁介質的磁導率(鐵芯電感還與通過的電流i有關)。線圈匝數(shù)越多，橫截面積越大，其電感也越大。有鐵芯的線圈比無鐵芯的線圈電感L大得多。對于相同的電流變化率，L越大，自感電動勢

14、越大，即自感作用越強。(4-11) 在國際單位制中，電感的單位為亨利，簡稱亨(H)，還有較小的單位毫亨(mH)和微亨(H)，它們之間的換算關系為1mH10-3H，1H10-6H繞制線圈的導線總存在一定的電阻，所以當有電流i通過電感線圈時，除了在其周圍產(chǎn)生磁場，儲存一定的磁場能量外，電感線圈也要消耗能量。實際電感線圈消耗的能量很小，一般忽略不計，可用一個只代表儲存磁場能量的理想化的二端元件電感元件表示，其電路符號如圖4-8所示。圖4-8 電感元件 若電感元件的電感量為常數(shù)，不隨產(chǎn)生磁鏈的電流i的變化而變化，稱為線性電感元件；否則，為非線性電感元件。今后如無特殊說明，均指線性電感元件?！半姼小币辉~

15、有雙重含義，既表示一個電感元件，又表示電感線圈的參數(shù)(電感值)L。實際的電感線圈均標明電感值和額定工作電流兩個參數(shù)，使用時要防止通過電感線圈的電流超過它的額定工作電流，否則會使線圈過熱而損壞。當電感中通過直流電流時，其周圍只呈現(xiàn)固定的磁感應線，不隨時間而變化；但當線圈中通過交流電流時，即電感元件的電流發(fā)生變化時，磁鏈就隨之變化，變化的磁鏈使線圈中產(chǎn)生感應電動勢。這種由于線圈本身電流發(fā)生變化而產(chǎn)生的感應電動勢，稱為自感電動勢。這個電動勢總是阻礙導體中原來電流的變化，這種現(xiàn)象就叫做自感現(xiàn)象。4.2.2 電感元件的伏安關系由法拉第電磁感應定律可知：電路中感應電動勢的大小與穿過這一電路磁通量的變化率成

16、正比。若磁鏈的參考方向與產(chǎn)生它的電流i的參考方向滿足右手螺旋定則，并且自感電動勢的參考方向與電流的參考方向一致時，如圖4-9(a)所示，電磁感應定律可表示為圖4-9 電感元件的電壓電流關系 當選取線圈的電流i、電壓u的參考方向為關聯(lián)方向時，如圖4-9(b)所示，則有此即為電感元件的伏安關系。式(4-12)表明，某一時刻電感元件兩端的電壓的大小取決于該時刻電流對時間的變化率，與該時刻電流的大小無關。只有當電流變化時，其兩端才會有電壓。電感電流變化越快，電壓越高；電感電流變化越慢，電壓越低。因此，電感元件也叫動態(tài)元件。如果電感元件的電流不隨時間變化(如直流電)，即磁通沒有變化，電感元件兩端就不產(chǎn)生

17、感應電壓，故在直流電路中，電感元件相當于短路。(4-12) 4.2.3 電感元件的儲能電感元件是一種儲能元件。前面分析已知電感兩端的電壓為 當選取電感電壓與電流的參考方向一致時，電感元件吸收的瞬時功率為 若p0，表明電感從電路中吸收能量，儲存在磁場中；若p0，表示電感釋放能量。 電感電流從零增加到i時，電感元件儲存的磁場能量為若L的單位為享利(H)，電流的單位為安培(A)，則WL的單位為焦耳(J)。式(4-13)表明：電感元件某一時刻所儲存的磁場能量，只與該時刻電流的瞬時值有關，與電感的電壓無關。只要電感中有電流，就儲存有能量。(4-13) 4.3 換路定律4.3.1 電路的動態(tài)過程及換路定律

18、自然界中的各種事物，其運動過程都存在著穩(wěn)定狀態(tài)和過渡狀態(tài)。例如火車在啟動前速度為零，這是一種穩(wěn)定狀態(tài)，啟動后速度由零逐漸上升，直至達到某一速度后勻速行駛，又進入另一種穩(wěn)定狀態(tài)。此外，熱水器燒水從加熱到保溫時溫度的變化，行駛中的汽車從剎車減速到完全停止，都經(jīng)歷了從一種穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的過程。電路也是如此，在含有儲能元件電容、電感的電路中，當電路的結構或元件的參數(shù)發(fā)生改變時，電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，需要有一個動態(tài)變化的中間過程，稱為電路的過渡過程(也稱動態(tài)過程)。在這個狀態(tài)變化的過程中，無論直流電路還是交流電路，在電路連接方式和元件參數(shù)不變的條件下，只要電源輸出信號的幅

19、值、波形和頻率恒定，各支路電流和各部分電壓也必將穩(wěn)定在一定數(shù)值上，這種狀態(tài)稱為電路的穩(wěn)定狀態(tài)，簡稱穩(wěn)態(tài)。圖4-10所示電路中，R、L、C分別串聯(lián)一只同樣的燈泡，并連接在直流電源上。當開關S接通時，發(fā)現(xiàn)R支路的燈泡立即點亮，而且亮度始終不變；L支路的燈泡由不亮逐漸變亮，最后亮度達到穩(wěn)定；C支路的燈泡由亮變暗，最后熄滅。這說明電阻支路在開關閉合后沒有經(jīng)歷過渡過程，立即進入穩(wěn)定狀態(tài)，而電感支路和電容支路在開關閉合后需要經(jīng)歷一段過渡過程。由以上現(xiàn)象可知，電路產(chǎn)生過渡過程(動態(tài)過程)有內、外兩種原因，內因是電路中存在儲能元件L或C；外因是電路的結構或參數(shù)發(fā)生改變，如電路的接通或斷開、電路參數(shù)或電源的突然

20、變化等，一般稱為換路。通常規(guī)定換路是瞬間完成的。 圖4-10 過渡過程演示電路 電感、電容是儲能元件，任意時刻電容元件所儲存的電場能量為，電感元件所儲存的磁場能量為，但能量變化是個漸變的過程，不能突變(躍變)，否則與其相應的功率將趨于無限大，這實際上是不可能的。也就是說，儲能元件在換路瞬間的能量應保持不變，其中，電容所儲存的電場能量不能躍變反映在電容器上的電壓uC不能躍變；電感元件所儲存的磁場能量不能躍變反映在通過電感線圈中的電流iL不能躍變。設t0為換路瞬間，用t0-表示換路前的一瞬間，t0+表示換路后的一瞬間，換路的時間間隔為零。從t0-到t0+瞬間，電容元件上的電壓和電感元件中的電流不能

21、躍變，用公式可表示為 式(4-14)即稱為換路定律。應當指出，除了電容電壓uC和電感電流iL不能躍變，其他的量，如電容電流iC、電感電壓uL、電阻的電壓uR和電流iR均可以躍變，不受此限制。 (4-14) 4.3.2 電路初始值與穩(wěn)態(tài)值的計算換路后最初瞬間的電流i(0+)和電壓u(0+)的數(shù)值稱為初始值。過渡過程中，電路中電壓和電流的變化開始于換路后瞬間的初始值，終止于達到新穩(wěn)態(tài)時的穩(wěn)態(tài)值。穩(wěn)態(tài)值可用前面學過的知識求解，初始值的確定是根據(jù)換路定律進行的，其步驟如下：(1)先求出換路前一瞬間的uC(0-)或iL(0-)。(2)根據(jù)換路定律確定uC(0+)和iL(0+)。(3)畫出t0+時的等效電

22、路圖，若uC(0+)0，電容器相當于短路，用短路線替代；若iL(0+)=0，電感相當于斷路，則用開路替代。而若uC(0+)U0，電容元件等效為電壓源；iL(0+)I0，則電感元件等效為電流源。(4)利用歐姆定律和基爾霍夫定律，確定電路中其他電壓、電流在t0+時的初始值。 【例4-4】 圖4-11所示電路中，已知US10V，R12k，R25k，開關S閉合前，電容兩端電壓為零，求開關S閉合后各元件電壓和各支路電流的初始值。解 選定有關電流和電壓的參考方向，如圖4-11所示，S閉合前uC(0-)0開關閉合后，根據(jù)換路定律,有uC(0+)=uC(0-)0在t0+時刻，根據(jù)基爾霍夫定律，有uR1(0+)

23、=US=10VuR2(0+)+uC(0+)=US 圖4-11 例4-4圖 由于uC(0+)0，故uR2(0+)=10V根據(jù)以上電壓值求得電流如下【例4-5】 如圖4-12(a)所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t0時開關S閉合，US=10V，R1=10，R2=5。求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)和iC(0+)。圖4-12 例4-5圖 解 (1)開關S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容電壓uC不再變化，故，電容C可視為開路，由此可畫出t0-時的等效電路，如圖4-12(b)所示，按圖可求得t0-時電容兩端的電壓為uC(0)=US=10V在開關S閉合瞬間，根據(jù)換路定律,有uC(0+)=uC(0)=10V(

24、2)在t0+瞬間，電容元件可視做電壓為uC(0+)=10V的恒壓源，由此可畫出t0+時的等效電路，如圖4-12(c)所示。根據(jù)該等效電路，運用直流電路的分析方法可求出各電流的初始值為 由圖4-12(b)可知，換路前i1(0)=i2(0)=iC(0)=0。電路換路后，電流i2和iC發(fā)生了突變。 【例4-6】 如圖4-13(a)所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t0時開關S閉合，US12V，R14，R22，R36。求初始值uC(0+)、iL(0+)、i(0+)和u(0+)。 解 (1)首先求出開關S閉合前的電容電壓uC(0)和電感電流iL(0)。由于t0-時電路處于穩(wěn)態(tài)，電路中各處電流及電壓都是常數(shù)，因此電感兩

25、端的電壓，電感L可看做短路，電容中的電流，電容C可看做開路。 圖4-13 例4-6圖 由此可畫出t0-時的等效電路，如圖4-13(b)所示。由圖4-13(b)可求得t0-時的電感電流和電容電壓分別為(2)開關S閉合后瞬間，根據(jù)換路定律，有iL(0+)=iL(0)=1.2AuC(0+)=uC(0)=7.2V在t=0+瞬間，電容元件可視做電壓為uC(0+)=7.2V的恒壓源，電感元件可視做電流為iL(0+)=1.2A的恒流源，由此可畫出t=0+時的等效電路，如圖4-13(c)所示。由圖可知 u(0+)可用節(jié)點電位法由t=0+時的等效電路求出，即 通過以上例題，可歸納出求初始值的簡單步驟如下：(1)

26、畫出t0-時的等效電路，求出uC(0)和iL(0)；(2)根據(jù)換路定律，畫出t0+時的等效電路；(3)根據(jù)t0+時的等效電路，運用直流電路的分析方法求出各電流、電壓的初始值。 4.4 一階電路的響應在電路分析中，“激勵”與“響應”這兩個詞經(jīng)常被提到。通常，電源(包括信號源)提供給電路的輸入信號統(tǒng)稱為激勵，簡單地說，施加于電路的信號就是激勵。對激勵作出的反應稱為響應，即電路在激勵作用下所產(chǎn)生的電壓和電流。在動態(tài)電路中，只含有一個獨立動態(tài)元件(儲能元件)的電路稱為一階電路。通常有RC一階電路和RL一階電路兩大類。所謂一階電路響應，就是只含有一種儲能元件的電路在激勵后所產(chǎn)生的反應。一階電路的響應可歸

27、納為零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應三種情況。4.4.1 一階電路的零輸入響應一階電路通常有RC電路和RL電路兩大類。若輸入激勵信號為零，僅由儲能元件的初始儲能所激發(fā)的響應，稱為零輸入響應。1.RC電路的零輸入響應RC電路的零輸入響應，實質上就是指具有一定原始能量的電容元件在放電過程中，電路中電壓和電流的變化規(guī)律。根據(jù)換路定律，當電容元件原來已經(jīng)充有一定能量，電路發(fā)生換路時，電容元件的極間電壓是不會發(fā)生躍變的，必須由原來的電壓值開始連續(xù)地增加或減少，而電容元件中的充、放電電流是可以躍變的。 如圖4-15(a)所示的RC放電電路，開關S處于位置1時電容C被充電，充電完畢后電路處于穩(wěn)態(tài)。t0時換路，

28、開關S由位置1迅速扳向位置2，放電過程開始。放電開始一瞬間，根據(jù)換路定律可得uC(0+)=uC(0)=US。此時電路中的電容元件與R串聯(lián)后經(jīng)位置2構成放電回路，由KVL可得uCiCR=0(4-15) 由于，代入式(4-15)中得 圖4-15 RC零輸入電路及波形圖 這是一個一階線性常系數(shù)齊次微分方程，對其求解可得式中US是過渡過程開始時電容電壓的初始值uC(0+),RC稱為電路的時間常數(shù)。它是影響一階電路電壓、電流衰減或增加速度的參數(shù)。不論R、C及US的值如何，RC一階電路中的響應都是按指數(shù)規(guī)律變化的，如圖4-15(b)所示。由此可推論：RC一階電路的零輸入響應規(guī)律是指數(shù)規(guī)律。電容元件的放電電

29、流曲線在橫軸下方，說明電流是負值，因為它與電壓為非關聯(lián)方向。(4-16) RC一階電路放電速度的快慢取決于時間常數(shù)。實驗證明：越大，放電過程進行得越慢；越小，放電過程進行得越快，如圖4-16所示。顯然，時間常數(shù)=RC是反映過渡過程進行快慢程度的物理量。令式(4-16)中的t值分別等于1、2、3、4、5，可得出uC隨時間的衰減表。時間常數(shù)的物理意義可由表4-1進一步說明。 圖4-16 不同值情況下的uC變化曲線 表4-1 電容電壓隨時間衰減表 由表4-1中數(shù)據(jù)可知，當放電過程經(jīng)歷了一個的時間，電容電壓就衰減為初始值的36.8%，經(jīng)歷了2后衰減為初始值的13.5%，經(jīng)歷了5后則衰減為初始值的0.7

30、%。理論上，根據(jù)指數(shù)規(guī)律，必須經(jīng)過無限長時間，電壓uC才衰減到零，過渡過程才能結束。但實際上，過渡過程經(jīng)歷了(35)的時間后，剩下的電容電壓已經(jīng)很小了，因此，在工程上一般可認為此時電路已經(jīng)進入穩(wěn)態(tài)。由此也可得出：時間常數(shù)是過渡過程經(jīng)歷了總變化量的63.2%所需要的時間，其單位為秒(s)。2.RL電路的零輸入響應RL串聯(lián)電路的零輸入響應也和RC電路一樣，是指輸入信號或激勵為零時電路中電壓和電流的變化規(guī)律。電路如圖4-17(a)所示，t0時，通過電感L的電流為I0。設在t0時開關S閉合，根據(jù)換路定律，電感中仍有初始電流I0，即i(0+)=I0，此電流將在RL回路中逐漸衰減，最后變?yōu)榱恪Ｔ谶@一過程中

31、，電感元件在初始時刻的原始能量逐漸被電阻消耗，轉化為熱能。 圖4-17 RL零輸入電路及波形圖 根據(jù)圖4-17(a)電路中電壓和電流的參考方向及元件的伏安關系，應用KVL可得RiL+uL=0(4-17)由于，代入式(4-17)中得若以儲能元件L上的電流iL作為待求響應，則可解得 (t0) (4-18) 式中，是RL一階電路的時間常數(shù)，其單位也是秒(s)。顯然，在RL一階電路中，L值越小、R值越大時，過渡過程進行得越快，反之越慢。 t0時，電阻元件兩端的電壓為 由式(4-17)可得電感元件兩端的電壓為 電路中響應的波形如圖4-17(b)所示，顯然它們也是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減的曲線。由以上分析可知

32、：(1)一階電路的零輸入響應都是隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，這實際上反映了在沒有電源作用的條件下，儲能元件的原始能量逐漸被電阻消耗掉的物理過程。(2)零輸入響應取決于電路的原始能量和電路的特性，RC電路中電容放電時的電容電壓uC和RL電路中電感與電源斷開后的電感電流iL的響應可用式 統(tǒng)一表達。(3)原始能量增大A倍，則零輸入響應將相應增大A倍，這種原始能量與零輸入響應的線性關系稱為零輸入線性。4.4.2 一階電路的零狀態(tài)響應所謂零狀態(tài)響應，是指儲能元件的初始能量等于零，僅在外激勵作用下引起的電路響應(電壓和電流)。1.RC電路的零狀態(tài)響應電容的初始能量為零時稱為零狀態(tài)。實際上，零狀態(tài)響應研究的

33、是RC電路充電過程中響應的變化規(guī)律，其電路如圖4-18(a)所示。圖4-18 RC零狀態(tài)電路及波形圖 開關S未閉合時，電容的初始儲能為零，即uC(0-)=0。開關S閉合后，電源通過電阻對電容器進行充電。根據(jù)KVL，可列出方程 這是一個一階線性非齊次方程，對此方程求解可得到式(4-19)中的uC()是充電過程結束時電容電壓的穩(wěn)態(tài)值，數(shù)值上等于電源電壓值。 (4-19) 顯然，一階電路的零狀態(tài)響應也符合指數(shù)規(guī)律，如圖4-18(b)所示。充電開始前，uC(0)=0，由于電容電壓不能躍變，故充電開始時，uC(0+)=uC(0)=0；隨著充電過程的進行，電容電壓按指數(shù)規(guī)律增長，經(jīng)過(35)時間后，過渡過

34、程基本結束，電容電壓uC()=US，電路達到穩(wěn)態(tài)。從理論上講，當開關S閉合后，經(jīng)過足夠長的一段時間，電容的充電電壓才能等于電源電壓US，充電過程才結束，充電電流iC也才能衰減到零。由于電容的基本工作方式是充、放電，因此電容支路的電流不是放電電流就是充電電流，即電容電流只存在于過渡過程中，只要電路達到穩(wěn)態(tài)，iC必定等于零，故在電容充電過程中，iC仍按指數(shù)規(guī)律衰減。由于充電過程中電壓、電流為關聯(lián)方向，故iC曲線在橫軸上方。2.RL電路的零狀態(tài)響應電路如圖4-19(a)所示，在t0時開關閉合。換路前電感中的電流為零，根據(jù)換路定律，換路后t0+瞬間iL(0+)=iL(0)=0。由于此時電流為零，因此電

35、阻上的電壓uR=0，由KVL可知，此時電感元件兩端的電壓uL(0+)=US。當達到穩(wěn)態(tài)后，自感電壓uL一定為零，電路中電流將由零增至US/R后保持恒定。圖4-19 RL零狀態(tài)電路及波形圖 圖4-19(a)電路中，根據(jù)KVL及歐姆定律，可列出方程uR+uL=USiLR+uL=US(4-20)將代入式(4-20)中，并將等式兩邊同除以R得式(4-21)是一個包含有變量iL的一階線性常系數(shù)非齊次微分方程，方程的形式和求解與RC串聯(lián)電路完全相似，即對此方程求解可得到(4-21) (4-22) 根據(jù)式(4-22)可得電阻電壓為電感電壓為 顯然，在過渡過程中，自感電壓uL是按指數(shù)規(guī)律衰減的，而電流iL則是

36、按指數(shù)規(guī)律上升的，電阻兩端電壓uR始終與電流成正比，從零增至US。圖4-19(b)即為iL、uL、uR隨時間變化的曲線?；?由以上分析可知：RC電路中電容充電時的電容電壓uC,以及RL電路中電感接通電源后電感電流iL的響應規(guī)律為式(4-23)是零狀態(tài)響應規(guī)律表達式，即零狀態(tài)響應的uC和iL是按指數(shù)規(guī)律增加的。(4-23) 4.4.3 一階電路的全響應以上討論了零輸入響應和零狀態(tài)響應。若電路中動態(tài)元件為非零初始狀態(tài)，且又有外輸入激勵，在二者的共同作用下所引起的電路響應稱為一階電路的全響應。對于線性電路，從電路換路后的能量來源推知：電路的全響應必然是其零輸入響應與零狀態(tài)響應的疊加。下面以RC電路為

37、例加以分析。 在圖4-20(a)所示電路中，設電容的初始值電壓為uC(0)=U0，開關S在t0時閉合而接通直流電壓US。不難看出，換路后該電路可看成零輸入條件下的電容放電過程和零初始條件下的電容充電過程的疊加，如圖4-20(b)、(c)所示。圖4-20 RC全響應電路 在圖4-20(b)中，零輸入響應為在圖4-20(c)中，零狀態(tài)響應為將上述二者疊加即得全響應為(4-24) 由以上分析可推知：無論對于RC電路還是RL電路，一階電路的全響應f(t)均為零輸入響應加零狀態(tài)響應，即 其中，f(0+)為所求響應的初始值，f()為響應的穩(wěn)態(tài)值，它表示在直流電源作用下，t時的響應值。 整理式(4-25)后

38、得 (4-25) (t0)(4-26) 【例4-7】 如圖4-21所示電路，在t0時S閉合。已知US=9V，uC(0)12V，C1mF，R11k。R22k。試求t0時的uC和iC。解 由于全響應是由零輸入響應和零狀態(tài)響應兩部分構成的，故分別進行求解。(1)首先求零輸入響應uC1。當輸入為零時，uC將從其初始值12V開始按指數(shù)規(guī)律衰減，根據(jù)式(4-16)可求得零輸入響應為其中， 圖4-21 例4-7圖 (2)再求零狀態(tài)響應uC2。電容初始狀態(tài)為零時，在9V電源的作用下引起的電路響應可由式(4-19)求得 因此全響應為 (其中的時間常數(shù)與零輸入響應相同) 其中，第一項是常數(shù)9，它等于電容電壓的穩(wěn)態(tài)

39、值uC()，因此也稱為全響應的穩(wěn)態(tài)分量，而第二項是按指數(shù)規(guī)律衰減的，只存在于暫態(tài)過程中，因此稱為全響應的暫態(tài)分量，由此也可把全響應寫為全響應穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量電容支路的電流為4.4.4 一階動態(tài)電路的三要素法一階電路的全響應可表述為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和，也可表述為穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量之和。其中響應的初始值、換路后的穩(wěn)態(tài)值和時間常數(shù)稱為一階電路的三要素，也就是式(4-25)中的f(0+)、f()和。下面我們介紹用三要素法求一階電路的全響應。在式(4-25)中，f(t)表示全響應，只要知道f(0+)、f()和這三個要素，就可以簡單地求出一階電路在外加電源作用下的全響應了。一階電路響應的初始值u

40、C(0+)和iL(0+)，必須在換路前t0-的等效電路中進行求解，然后根據(jù)換路定律(兩者不能躍變)得出；如果是其他各量的初始值，則應根據(jù)t0+的等效電路進行求解。一階電路響應的穩(wěn)態(tài)值均應根據(jù)換路后重新達到穩(wěn)態(tài)時的等效電路進行求解。一階電路的時間常數(shù)應在換路后t0時的等效電路中求解。求解時首先將t0時的等效電路除源(所有的電壓源短路，所有的電流源開路處理)，然后將動態(tài)元件斷開，并把斷開處看做是無源二端網(wǎng)絡的兩個對外引出端，對此無源二端網(wǎng)絡求出其入端電阻R0。若為RC一階電路，則時間常數(shù)=R0C；若為RL一階電路，則=L/R0。將上述求得的三要素代入式(4-26)，即可求得一階電路的任意響應。故式

41、(4-26)稱為一階電路任意響應的三要素法一般表達式。應用此式可方便地求出一階電路中的任意響應?！纠?-8】 一階電路如圖4-22所示，求開關S打開時電路的時間常數(shù)。解 (1)圖4-22(a)中，在開關動作后的電路中C1與C2串聯(lián)，則等效電容；而將電容斷開，從端口看進去的等效電阻為R1與R2串聯(lián)，其值為R=R1+R2。所以，該RC電路的時間常數(shù)為(2)圖4-22(b)中，開關動作后，將電感L斷開，從端口看進去的端電阻為R2與R3串聯(lián)，即等效電阻RR2+R3，所以，該RC電路的時間常數(shù)為 圖4-22 例4-8圖 【例4-9】 電路如圖4-23所示，開關閉合前電路已達穩(wěn)定，t0時開關閉合，求換路后

42、的電壓uC(t)。解 開關S閉合前電路已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)，其uC(0)=25V，根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0)=25V在開關閉合后，即t時，有斷開電容C，利用戴維南等效定理，從端口看進去的等效電阻為R1與R2并聯(lián)，即 時間常數(shù)為=RC=1.20.2510-6=0.310-6s將以上求得的三要素代入式(4-26)得開關閉合后的電壓為圖4-23 例4-9圖 本章小結電壓、電流取關聯(lián)參考方向時，電容元件的伏安關系為 ，電感元件的伏安關系為，由于電容、電感上的電壓和電流是微分關系，因此將它們稱為動態(tài)元件，又叫儲能元件。電容元件儲存的電場能量為，電感元件儲存的磁場能量為。 電路從一種穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一種

43、穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)歷的中間過程稱為過渡過程。產(chǎn)生過渡過程的根本原因是電路能量不能突變。過渡過程進行的快慢取決于電路的時間常數(shù)，與初始狀態(tài)無關。對于RC一階電路，=RC；對于RL一階電路，同一電路中只有一個時間常數(shù)。式中的R等于從動態(tài)元件兩端看進去的戴維南等效電路中的等效電阻。時間常數(shù)的取值決定于電路的結構和參數(shù)。引起過渡過程的電路變化稱為換路。含有動態(tài)元件的一階電路發(fā)生換路時，電容元件兩端的電壓不能突變，電感中的電流也不能突變，這一規(guī)律叫做換路定律，即uC(0+)=uC(0)，iL(0+)=iL(0)。一階電路的響應規(guī)律可以歸納為零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應三種情況。所謂零輸入響應是輸入激勵信號為

44、零，僅由儲能元件的初始儲能所激發(fā)的響應；零狀態(tài)響應是電路的初始儲能為零，電路僅由外加電源作用產(chǎn)生的響應；而初始狀態(tài)和輸入都不為零的一階電路的響應就稱為一階電路的全響應。一階電路的全響應可以用三要素法來求解，一般表達式為。式中f(t)為待求全響應，只要知道了初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)值f()和電路的時間常數(shù)，便可根據(jù)上式直接寫出待求變量在換路后的全響應，不必列寫微分方程求解。三要素法使直流激勵下的一階電路的求解過程大大簡化，應該熟練掌握。 閱讀材料：電容器與電容元件 1.電容器概述電容器習慣上簡稱電容，是組成電子電路的基本元件之一，在各種電路中必不可少。它的基本結構是用一層絕緣材料(介質)間隔的兩片

45、導體。當在兩片導體電極間加上電壓以后，電極上就能儲存電荷，所以電容器是一種儲能元件，可以儲存電場能。電容器在電子電路中起到耦合、濾波、隔直流和調諧等作用。1)電容器的種類電容器按結構可分為固定電容器、可變電容器和微調電容器；按絕緣介質可分為空氣介質電容器、云母電容器、瓷介電容器、滌綸電容器、聚苯烯電容器、金屬化紙介質電容器、電解電容器、玻璃釉電容器、獨石電容器等；按極性可分為有極性電容和無極性電容。 2)電容器的電路符號各類電容器的常用電路符號如圖4-25所示。圖4-25 電容器的常用電路符號 3)電容器的型號命名根據(jù)國家標準GB247081，電容器的型號由四部分組成：(1)用字母“C”表示主

46、稱為電容器。(2)用字母表示電容器的介質材料。如D表示鋁電解，J表示金屬化紙介，O表示玻璃膜，Y表示云母等。(3)用數(shù)字(個別用字母)表示電容器的類別。如1表示圓形，2表示管型，4表示獨石，5表示穿心，G表示高功率型，W表示微調型等。(4)用數(shù)字表示產(chǎn)品序號，以區(qū)別電容器的外形尺寸和性能指標。4)常用電容器的特點及外形常用電容器的特點及外形見表4-2。 表4-2 常用電容器的特點及外形 2.主要技術參數(shù)(1)標稱容量和允許偏差。電容器的標稱容量是指在電容器的外殼表面上標出的電容量值。標稱容量越大，電容器儲存電荷的能力越強。電容量與電容器的介質薄厚、介質介電常數(shù)、極板面積、極板間距等因素有關。介

47、質越薄、極板面積越大、介電常數(shù)越大，電容量就越大；反之，電容量越小。電容器允許偏差的基本含義同電阻一樣。標稱容量和允許偏差也分許多系列，常用的是E6、E12、E24系列。電容器的允許偏差系列為：5%，10%，20%，-20%+50%，-10%+100%。常用固定電容器的標稱容量及允許偏差如表4-3所示。表4-3 常用固定電容器的標稱容量及允許偏差 (2)額定電壓。額定電壓通常也稱耐壓，是指在允許的環(huán)境溫度范圍內，電容器在電路中長期(不少于1萬小時)可靠工作所能承受的最高直流電壓，又稱為電容器的額定直流工作電壓。工作時交流電壓的峰值不得超過電容器的額定電壓，否則電容器介質會被擊穿造成電容器的損壞

48、。通常外加電壓取額定工作電壓的三分之二以下。常用固定電容器的額定直流工作電壓有：1.6V，4V，6.3V，10V，16V，25V，32V*，40V，50V，63V，100V，125V*，160V，250V，300V*，400V，450V*，500V，630V，1000V等(*者只限于電解電容器使用)。(3)絕緣電阻。電容器的絕緣電阻表征電容器的漏電性能，在數(shù)值上等于加在電容器兩端的電壓除以漏電流。絕緣電阻越大，漏電流越小，電容器質量越好。一般電容器的絕緣電阻在1081010之間。但電解電容器的絕緣電阻一般較低，漏電流較大，所以不能單憑所測絕緣電阻值的大小來衡量電容器的絕緣性能。此外，電容器的技

49、術參數(shù)還有電容器的損耗、頻率特性、溫度系數(shù)、穩(wěn)定性和可靠性等。3.電容器主要參數(shù)的標注方法電容器參數(shù)的標注方法有直標法、文字符號法、數(shù)碼表示法和色標法四種，詳見附錄A。 4.電容器的檢測與選用1)電容器質量的判斷與檢測用普通的指針式萬用表能初步判斷電容器的質量及電解電容器的極性，并能定性比較電容器容量的大小。(1)質量判定。萬用表置于R1k擋，將兩只表筆分別接觸電容器(1F以上的容量)的兩引腳，接通瞬間，表頭指針應向順時針方向偏轉，然后逐漸逆時針返回，如果不能返回，則穩(wěn)定后的讀數(shù)就是電容器的漏電電阻，阻值越大表示電容器的絕緣性能越好；若在上述檢測過程中表頭指針不擺動，說明電容器開路；若表頭指針

50、向右擺動的角度大且不能返回，說明電容器已擊穿或嚴重漏電；若表頭指針保持在0附近，說明該電容器內部短路。對于電容量小于1F的電容器，由于電容充、放電現(xiàn)象不明顯，檢測時表頭指針偏轉幅度很小或根本無法看清，但并不說明電容器質量有問題。(2)容量判定。檢測過程同上，表頭指針向右擺動的角度越大，說明電容器的容量愈大，反之則說明容量愈小。(3)極性判定。根據(jù)電解電容器正接時漏電流小、漏電阻大，反接時漏電流大、漏電阻小的特點可判斷其極性。將萬用表置于擋的R10k擋，先測一下電解電容器的漏電阻值，而后將兩表筆對調，再次測量漏電阻值。兩次測試中，漏電阻值大的一次，黑表筆接的是電解電容器的正極，紅表筆接的是電解電

51、容器的負極。(4)可變電容器碰片檢測。萬用表置于R1k擋，將兩表筆固定接在可變電容器的定、動片端子上，慢慢轉動可變電容器的轉軸，如表頭指針發(fā)生擺動說明有碰片，否則說明是正常的。使用時動片應接地，防止調整時人體靜電通過轉軸引入噪聲。2)電容器的選用電容器的種類很多，性能指標各異，合理選用電容器對于產(chǎn)品設計十分重要。一般應從以下幾方面進行考慮：(1)額定電壓。所選電容器的額定電壓一般是電容器實際工作電壓的1.52倍。不論選用何種電容器，都不得使其額定電壓低于電路的實際工作電壓，否則電容器將會被擊穿；也不要選用額定電壓太高的電容器，否則不僅提高了成本，而且電容器的體積必然增大。但選用電解電容器(特別

52、是液體電介質電容器)時應特別注意以下兩點：一是由于電解電容器自身結構的特點，應使電路的實際工作電壓相當于所選額定電壓的50%70%，以便充分發(fā)揮電解電容器的作用，如果實際工作電壓相當于所選額定電壓的一半，反而容易使電解電容器的損耗增大；二是在選用電解電容器時，還應注意電容器的存放時間(存放時間一般不超過一年)。長期存放的電容器可能會因電解液干涸而老化。(2)標稱容量和精度。大多數(shù)情況下，對電容器的容量要求并不嚴格，容量相差少許是無關緊要的。但在振蕩回路、濾波、延時電路及音調電路中，對容量的要求則非常精確，電容器的容量及其誤差應滿足電路要求。要準確測出電容器的容量，可以用電容表。(3)使用場合。

53、根據(jù)電路的要求合理選用電容器。云母電容器或瓷介電容器一般用在高頻或高壓電路中。在特殊場合，還要考慮電容器的工作溫度范圍、溫度系數(shù)等參數(shù)。(4)體積。設計時一般希望使用體積小的電容器，以便減小電子產(chǎn)品的體積和重量，更換時也要考慮電容器的體積大小能否正常安裝。實驗7 一階RC電路的暫態(tài)響應分析 1.實驗目的(1)觀察RC一階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應及全響應。(2)觀察電路時間常數(shù)對過度過程進行快慢的影響。(3)理解有關微分電路、積分電路的概念。2.實驗器材函數(shù)信號發(fā)生器、雙蹤示波器、動態(tài)電路實驗板。仿真實驗使用Multisim仿真軟件。3.實驗原理微分電路和積分電路是RC一階電路中較典型的電路，它對電路元件參數(shù)和輸入信號的周期有著特定的要求。一個簡單的RC串聯(lián)電路，在方波序列脈沖的重復激勵下，當滿足 (T為方波序列脈沖的重復周期)時，且由R兩端的電壓作為響應輸出，則該電路就是一個微分電路，因為此時電路的輸出電壓與輸入信號電壓的微分成正比。如圖4-26(a)所示，利用微分電路可以將方波轉變?yōu)榧饷}沖。若將圖4-26(a)中的R與C的位置調換，如圖4-26(b)所示