穩(wěn)定性和能控能觀性內(nèi)容

1、穩(wěn)定性和能控能觀性內(nèi)容12本章開始進(jìn)入系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容 , 一方面在前兩章有關(guān)系統(tǒng)穩(wěn)定性知識(shí)的基礎(chǔ)上把問題展開 , 介紹幾種根據(jù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù) , 并分析影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的參數(shù) ;另一方面介紹系統(tǒng)能觀性與能控性的判別 , 這些是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)控制的前提。33.1 關(guān)于系統(tǒng)穩(wěn)定性3.1.1 大范圍穩(wěn)定與小偏差穩(wěn)定如前所述 , 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 , 是由干擾消失后的自由運(yùn)動(dòng) ( 或瞬態(tài)響應(yīng) ) 是否收斂來衡量的。從數(shù)學(xué)模型上看 , 它完全取決于系統(tǒng)特征根 , 與偏離初始平衡態(tài)的偏差和輸入的形式及大小無關(guān)。只要特征根為負(fù)根 , 無論初始偏差多大系統(tǒng)都穩(wěn)定。因此 , 從純數(shù)學(xué)角度所討

2、論的穩(wěn)定性 , 被稱為大范圍穩(wěn)定或全局穩(wěn)定。43.1.2 輸出穩(wěn)定與狀態(tài)穩(wěn)定經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)的外部描述 , 它用輸入作用下系統(tǒng)輸出的變化來表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng) , 穩(wěn)定性所考察的對(duì)象是系統(tǒng)輸出的變化 ( 自由運(yùn)動(dòng)或瞬態(tài)響應(yīng)是否收斂 ) , 這種穩(wěn)定性被稱為輸出穩(wěn)定或外部穩(wěn)定。3.1.3 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件前面不止一次提到過 , 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 : 系統(tǒng)特征根 ( 閉環(huán)極點(diǎn) ) 全部具有負(fù)實(shí)部 , 下面對(duì)此加以證明。56由上可見:1) 只要特征根為負(fù)根Pi 0 或具有負(fù)實(shí)部 20 時(shí)勞斯表計(jì)算不能保證舍入誤差穩(wěn)定。我國學(xué)者謝緒愷于 1957 年在第一屆力學(xué)學(xué)術(shù)會(huì)議上報(bào)告了

3、一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn) :各項(xiàng)系數(shù)同號(hào)的多項(xiàng)式穩(wěn)定的一個(gè)必要條件為1920俄國學(xué)者李亞普諾夫 ( Lyapunov) 于 1892 年提出了研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接法 ( 第一法 ) 和直接法 ( 第二法 ) , 直接法可以用于線性系統(tǒng) , 也可以用于非線性系統(tǒng)。3.3.1 李亞普諾夫第一法第一法是針對(duì)系統(tǒng)的線性化提出的 , 按系統(tǒng)特征根進(jìn)行穩(wěn)定性的定性判斷。 該法的主要內(nèi)容是 : 若線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣 A的特征根 : 1 ) 全部為負(fù)實(shí)部根 , 則實(shí)際系統(tǒng)漸近穩(wěn)定 , 在線性化過程中忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性無影響。即線性化模型漸近穩(wěn)定 , 線性化前的非線性系統(tǒng)也漸近穩(wěn)定。3.3 李亞普諾夫判據(jù)21

4、2 ) 只要有一個(gè)為正實(shí)部根 , 則實(shí)際系統(tǒng)不穩(wěn)定 , 在線性化過程中忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性無影響。即線性化模型不穩(wěn)定 , 線性化前的非線性系統(tǒng)也不穩(wěn)定。3 ) 只要有一個(gè)實(shí)部為 0 ( 純虛根 ) , 其余為負(fù)實(shí)部 , 則在線性化過程中忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響 , 不能用線性化模型來判斷實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性 , 必須采用實(shí)際系統(tǒng)的非線性模型來判斷。223.3.2 李亞普諾夫第二法第二法不按特征根而按系統(tǒng)能量變化直接獲得其穩(wěn)定性的信息 , 故稱為直接法。( 1 ) 平衡狀態(tài)與范數(shù).設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般形式為.2324(2)狀態(tài)穩(wěn)定性的提法設(shè) S() 是一個(gè)滿足x- xe的球域,平衡

5、態(tài)xe是該域中當(dāng)t = 0時(shí)的一個(gè)點(diǎn)。設(shè)S() 是xe的一個(gè)鄰域,每對(duì)應(yīng)一個(gè)域S(),存在一個(gè)域 S(),當(dāng) t無限增加時(shí),系統(tǒng)從 S() 出發(fā)的狀態(tài)軌跡 X(t) 有三種可能:251 ) 漸近穩(wěn)定 不超出 S( ) 并最終收斂于平衡態(tài) xe, 即 t 時(shí)有2 ) 在李亞普諾夫意義下穩(wěn)定 不能達(dá)到平衡態(tài) xe, 但對(duì)一切 t 都存在3 ) 不穩(wěn)定 不能達(dá)到平衡態(tài) xe, 且無論 怎樣小 , 至少都有一個(gè) t 使得26( 3 ) 能量變化與狀態(tài)穩(wěn)定性系統(tǒng)的狀態(tài)變化總是伴隨著能量的變化。為了簡(jiǎn)單說明問題 , 設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為2728( 4 ) 李亞普諾夫穩(wěn)定性定理把上述概念拓寬 , 設(shè)連續(xù)

6、純量函數(shù) V( x) 是系統(tǒng)的廣義能量函數(shù) , 又稱為李亞普諾夫函數(shù) , 它是正定的 , 即只有在 x = xe = 0 處 V( x) = 0 , 其余 x 0 處 V( x) 0 ; 它具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù) ; 它的變化遵循系統(tǒng)的狀態(tài)方程。于是 , 可根據(jù) V( x) 的正負(fù)來判別狀態(tài)的穩(wěn)定性。29定理: 當(dāng)選定 x0(即干擾產(chǎn)生偏離平衡狀態(tài) xe的初始偏差),V(x) 0 后,1) 如果 V(x) 0,則原平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。3) 如果 V(x) 0,但 V(x) 不恒等于0,則原平衡狀態(tài) xe是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的,不過不是漸近穩(wěn)定的(可以保持一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài))。303.3.

7、3 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的直接法李亞普諾夫穩(wěn)定性定理沒有給出正確尋找李亞普諾夫函數(shù)的方法 , 成為應(yīng)用直接法的主要問題。但對(duì)于線性定常系統(tǒng) x = Ax, 當(dāng)選擇如下線性二次型李亞普諾夫函數(shù) V( X) 時(shí) , 則可以給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件 :31例 3.7 用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng).3233頻率判據(jù)是一種幾何判據(jù) , 先由 HNyquist 于 1932 年提出 , 稱為奈奎斯特判據(jù) , 在 20 世紀(jì)40 年代得到廣泛應(yīng)用。后來 Bode 將它轉(zhuǎn)換到 Bode 圖上 , 更加直觀方便 , 稱為波德判據(jù)。3.4.1 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)( 1 ) 開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間的關(guān)系要用開環(huán)頻率特性來

8、判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 , 必須要找到開環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)間的關(guān)系才行。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)如圖 3.4.1 所示 , 其前向傳遞函數(shù)為3.4 頻域判據(jù)343536( 2 ) 幅角原理把特征函數(shù) F ( j) 表示成零極點(diǎn)形式373839(3)Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)的敘述= - +時(shí),GK(j) 的Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍( - 1,j0) 點(diǎn)的圈數(shù)N等于GK(j)的正極點(diǎn)數(shù)P 時(shí),則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(此時(shí)Z = P - N = P - P = 0,即閉環(huán)無右半 s平面上的極點(diǎn))。403.4.2 Nyquist 判據(jù)的應(yīng)用應(yīng)用 Nyquist 判據(jù)時(shí) , 先要知道 GK( j) 在右半平面的極點(diǎn)數(shù) P

9、, 然后按最小相位系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)兩種情況分別按表 3.2 進(jìn)行判別。41( 1 ) 最小相位系統(tǒng) ( P = 0 ) 的穩(wěn)定性 例 3.8 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試用 Nyquist 判據(jù)判斷該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解 該系統(tǒng)為0 型, GK(j) 的 Nyquist 軌跡如圖3.4.4 所示,其中 = - 0-段用虛線表示,= 0+ 段用實(shí)線表示, 它們以實(shí)軸為對(duì)稱軸。前面第 2 章介紹的系統(tǒng)開環(huán)Nyquist 曲線是= 0+ 的那部分。42 臨界穩(wěn)定的物理解釋臨界穩(wěn)定時(shí) GK(j) 的 Nyquist 軌跡正好通過( - 1,j0) 點(diǎn),此時(shí)輸出與輸入的幅值相等,而相位正好差180。

10、這相當(dāng)于系統(tǒng)受到等幅值的“正負(fù)”反饋的交替作用,如圖345 所示,因而系統(tǒng)的輸出為xo, 即等幅振蕩,故系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。例 3.9 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。4344例 3.9 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 該系統(tǒng)為 0 型, 只是在前例前向通道中加入了一個(gè)超前環(huán)節(jié) (s+ 1), 它的 Nyquist 軌跡仍起于正實(shí)軸,但以最大相位滯后180收斂于 0 點(diǎn),其中間過程取決于超前時(shí)間常數(shù) 。如果 T1(或 T2及T3),則有4546結(jié)論當(dāng) GK(j) 的Nyquist軌跡不穿越負(fù)實(shí)軸時(shí), K的變化不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性;穿越負(fù)實(shí)軸時(shí),K的變化要影

11、響系統(tǒng)穩(wěn)定性,K越大系統(tǒng)穩(wěn)定性越差,超過臨界值后系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。 在系統(tǒng)開環(huán)中加入超前環(huán)節(jié)可以改善系統(tǒng)穩(wěn)定性(但 值要適當(dāng))。通過加入某種環(huán)節(jié)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)從而改善系統(tǒng)性能的方法稱為系統(tǒng)校正(見第5 章)。4748例 3.10 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 該 系 統(tǒng) 為 I 型 , K 較 小 時(shí) Nyquist 曲 線 如 圖2.4.7 所示。圖中細(xì)雙點(diǎn)畫線為輔助圓弧線 , 順時(shí)針跨越2 v = 2 個(gè)象限。整個(gè)曲線不包圍 ( - 1 , j0 ) 點(diǎn) , 系統(tǒng)穩(wěn)定 , 但隨著 K 增大 , 系統(tǒng)將從穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定。4950例 3.11 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函

12、數(shù) 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 該系統(tǒng)為上例加入一個(gè)積分環(huán)節(jié) , 系統(tǒng)從型變?yōu)樾? v = 2 ) , Nyqu ist 曲線如圖 2.4.8 所示 , 輔助圓弧線順時(shí)針跨越 2v = 4 個(gè)象限。因整個(gè)曲線順時(shí)針包圍 ( - 1 , j0 ) 點(diǎn) 2 圈 , Z = P - N = 0 - ( - 2 ) = 2 , 故系統(tǒng)不穩(wěn)定 , 且對(duì)任何 K 值都不穩(wěn)定。5152結(jié)論 增加系統(tǒng)型號(hào) v 對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性不利 ( 但對(duì)提高穩(wěn)態(tài)精度有利 ) 。 不包含超前環(huán)節(jié)的型系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的 , 而且是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定 ( 閉環(huán)特征方程必定有缺項(xiàng) ) 。此時(shí)調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù) K和 T 對(duì)穩(wěn)定性無濟(jì)于事 , 必須采用校

13、正的方法才能穩(wěn)定。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性 , 實(shí)際系統(tǒng)一般不超過型 ( 不采用型系統(tǒng) ) 。53( 2 ) 條件穩(wěn)定系統(tǒng)當(dāng) Nyquist 曲線不止一次穿越負(fù)實(shí)軸時(shí) , 系統(tǒng)穩(wěn)定性并不隨 K 值的增大簡(jiǎn)單地從穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定 , K 需要分段取值才能保證穩(wěn)定。例 3.12 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。54解 當(dāng)T1 T2時(shí),Nyquist曲線如圖2.4.9 所示。隨著K增大,曲線擴(kuò)展,相當(dāng)于圖中( - 1,j0) 點(diǎn)沿負(fù)實(shí)軸向0點(diǎn)移動(dòng)。當(dāng)( - 1,j0) 點(diǎn)在 a點(diǎn)時(shí)曲線不包圍a 點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)( - 1,j0) 點(diǎn)在b點(diǎn)時(shí),曲線順時(shí)針包圍b點(diǎn)2圈,系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)(

14、- 1,j0) 點(diǎn)在c點(diǎn)時(shí),曲線順時(shí)針及逆時(shí)針各包圍 c點(diǎn)1 圈,系統(tǒng)又變得穩(wěn)定。55( 3 ) Nyquist 判據(jù)的等價(jià)敘述對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng) , GK( j) 的 Nyqu ist 軌跡將反復(fù)穿越負(fù)實(shí)軸 , 此時(shí)軌跡包圍 ( - 1 , j0 ) 點(diǎn)的圈數(shù)很容易數(shù)錯(cuò)。5657例 3.13 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解 該系統(tǒng)為帶超前環(huán)節(jié)的型( v = 2),設(shè) T1、T2 1、2 T3, Nyquist 半軌跡如圖2.4.12 所示。在 K 較小時(shí) , 無正穿越 , 有 1 次負(fù)穿越 , 0 - 1 = - 1 P /2 , 故系統(tǒng)不穩(wěn)定。 若 K 增大 , 使( -

15、1, j0 ) 點(diǎn)移到圖中 b 點(diǎn)時(shí) , 有一次正穿越, 1 - 1 = 0 = P /2 , 故系統(tǒng)穩(wěn)定。 若 K 再繼續(xù)增大 , 使 ( - 1 , j0 ) 點(diǎn)移到圖中 a 點(diǎn)時(shí) , 又增加一次負(fù)穿越 , 1 - 2 = - 1 P /2 ,故系統(tǒng)不穩(wěn)定。58593.4.3 Bode 判據(jù)若將 Nyquist 圖改為 Bode 圖同樣可以判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性 , 兩圖存在如下對(duì)應(yīng)關(guān)系 : Nyquist 圖上的單位圓 ( 幅值為 1 ) Bode 圖上的 0 分貝線 ; Nyquist 圖上的負(fù)實(shí)軸 Bode圖上的 - 180線 , 如圖 2.4.13 所示。606162穿越頻率 為了今后分

16、析方便 , 定義兩種穿越頻率 : c Nyquist 軌跡與單位圓交點(diǎn)的頻率 , 即對(duì)數(shù)幅頻曲線 L( ) 在 0dB 線上的交點(diǎn)頻率 , 稱為幅值穿越頻率、幅值剪切頻率或幅值交界頻率。63643.4.4 非最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性非最小相位環(huán)節(jié)與對(duì)應(yīng)最小相位環(huán)節(jié)的比較見圖 3.4.15 和 。由圖可見 , 非最小相位環(huán)節(jié)與對(duì)應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的幅頻特性相同 , 而相頻特性不同 , 它的相位變化范圍大 , 高頻段不存在 2.6.2 節(jié)中所述的 ( v + u + 2q - r) ( - 90) 的關(guān)系。65例 3.14 設(shè)單位反饋系統(tǒng)如圖 3.4.17 所示 , 試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。666768解

17、 該系統(tǒng)有一個(gè)因被控對(duì)象含有正反饋而形成的非最小相位環(huán)節(jié) G3 ( s) = 10 / ( 10s - 1 ) ,有一個(gè) s = 01 的正極點(diǎn) , P = 1 , 是一個(gè)非最小相位系統(tǒng) , 其開環(huán)傳遞函數(shù)為Nyquist 圖和 Bode 圖如圖 3.4.18 所示。693.5.1 問題的提出狀態(tài)能控性和能觀性是卡爾曼 ( Kalman ) 在 20 世紀(jì) 60 年代提出的現(xiàn)代控制理論的兩個(gè)基本概念。能控性是指能否通過輸入使系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)從其初始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài) , 能觀性是指能否根據(jù)有限時(shí)間內(nèi)對(duì)輸出的觀測(cè)確定該時(shí)間段內(nèi)的系統(tǒng)狀態(tài) , 它們分別表征了系統(tǒng)對(duì)狀態(tài)的控制能力和識(shí)別能力。3.5 狀

18、態(tài)能控能觀性70713.5.2 能控性的定義及判別上例雖可直觀理解系統(tǒng)的狀態(tài)能控能觀概念 , 但為了進(jìn)一步揭示它是系統(tǒng)除穩(wěn)定性之外的另一基本結(jié)構(gòu)特性 , 有必要介紹這兩個(gè)概念的定義及其判別方法。(1)能控性定義線性系統(tǒng) X= A(t)X+ B(t)u,如果對(duì)于取定初始時(shí)刻t0 J 的一個(gè)非零初始狀態(tài)X(t0)= X0,存在一個(gè)時(shí)刻t1(t0 t1J) 和一個(gè)容許控制u(t)(tt0,t1),使得系統(tǒng)在 u(t) 作用下由初始狀態(tài)X0出發(fā)的軌線,經(jīng)過t1- t0時(shí)間后能轉(zhuǎn)移到目標(biāo)狀態(tài)X(t1) =0,則稱此X0是系統(tǒng)在 t0時(shí)刻的一個(gè)能控狀態(tài),見圖。72(2) 能控性判據(jù)(省略證明)1) 判據(jù)的

19、第一種形式系統(tǒng) X= AX + Bu 能控的充分必要條件是:能控性矩陣 Qc= BABAn- 1B 滿秩,即從物理概念上看 , 式 ( 3.5.1 ) 表示 : 一個(gè) n 階系統(tǒng)可以被控制的狀態(tài)數(shù)目為 n , 超過 n 的多余 狀態(tài)必然是不能控的。7374例 3.15 考察如下系統(tǒng)的能控性解 用 MATLAB 計(jì)算出再輸入矩陣Qc= bAbA2b,用k= rank(Qc) 語句可求出能控性矩陣的秩 rankQc= n = 3,故此系統(tǒng)狀態(tài)能控。752)判據(jù)的第二種形式設(shè)系統(tǒng) X= AX+Bu的特征根為相異單實(shí)根1,2,n,可通過非奇異變換將其化為對(duì)角形 則系統(tǒng)狀態(tài)能控的充分必要條件是:對(duì)角形的

20、Bd中無元素全為0的行, 否則系統(tǒng)不能控,且全為0 元素的行所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)是不能控狀態(tài)。76例 3.17 試判斷系統(tǒng)的能控性 , 并指出各狀態(tài)變量能控或不能控。解 該系統(tǒng)的對(duì)角形為77因 Bd中僅第2 行元素是0,故x1和 x3能控而x2不能控,系統(tǒng)不能控(用Qc的秩判斷結(jié)果相同)。78793.5.3 能觀性的定義及判別( 1 ) 能觀測(cè)性定義線性系統(tǒng) X= A(t)X+B(t)u、y = C(t)X,如果對(duì)于取定初始時(shí)刻t0J的一個(gè)非零初始狀態(tài) X(t0) = X0,存在一個(gè)時(shí)刻 t1(t0 t1 J), 使得由區(qū)間t0 t1 上的系統(tǒng)輸出觀測(cè)值y(t),可以惟一地決定系統(tǒng)的初始狀態(tài) X0,則

21、稱此 X0為能觀測(cè)狀態(tài)。80( 2 ) 能觀測(cè)性判據(jù)1 ) 判據(jù)的第一種形式 系統(tǒng) X = AX + Bu、y = C( t ) X 能觀的充分必要條件是 : 能觀性矩陣812)判據(jù)的第二種形式設(shè)系統(tǒng) 的特征根為相異單實(shí)根1,2,n,可通過非奇異變換將其化為對(duì)角形珘 ,則系統(tǒng)狀態(tài)能觀的充分必要條件是:對(duì)角形的Cd中列元素全為0。否則系統(tǒng)不能觀,且全為0 元素的列所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)是不能觀狀態(tài)。82例 3.19 試判斷例 3.17 系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性。解 按判據(jù)第一種形式 : 計(jì)算出因 rankQo= 3 = n, 故系統(tǒng)能觀。按判據(jù)第二種形式結(jié)果相同:對(duì)角形的 Cd中不包含有0元素,故系統(tǒng)能觀。從標(biāo)量

22、方程及仿真結(jié)構(gòu)圖3.5.3 看:能觀狀態(tài)與輸出 y有關(guān),不能觀狀態(tài)與輸出 y無關(guān)。83例 3.20 試判別如下系統(tǒng)的能觀測(cè)性 :解 用 MATLAB 語句 q0 = obsv( a , c) 可直接得能觀性矩陣為因 rankQo = 2 n = 3 , 故系統(tǒng)不能觀。84( 3 ) 能控性與能觀性間的對(duì)偶性如果兩個(gè)系統(tǒng)間存在如下轉(zhuǎn)置關(guān)系則稱系統(tǒng) 珔A、珋b、珋c 是系統(tǒng) A、b、c 的對(duì)偶系統(tǒng)?？刂破饕?guī)范形 ( 2.4.23 ) 與觀測(cè)器規(guī)范形 ( 2.4.24 ) 便是對(duì)偶系統(tǒng)。對(duì)偶系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和特征根相同 , 同時(shí)滿足對(duì)偶性原理 :853.5.4 能控能觀性結(jié)構(gòu)分解(1)卡爾曼分解定理卡爾曼指出,一個(gè)不能控系統(tǒng) X= AX+bu,y = cX在非奇異變換珘X= P- 1X下的代數(shù)等價(jià)系統(tǒng) , 可以寫成按能控能觀性分解的顯式表達(dá)式:8687( 2 )