高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題突破訓(xùn)練一第2講不等式與線性規(guī)劃理含2014年高考真題

1、第2講不等式與線性規(guī)劃考情解讀1.在高考中主要考查利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行兩數(shù)的大小比較、一元二次不等式的解法、基本不等式及線性規(guī)劃問題基本不等式主要考查求最值問題，線性規(guī)劃主要考查直接求最優(yōu)解和已知最優(yōu)解求參數(shù)的值或取值范圍問題.2.多與集合、函數(shù)等知識交匯命題，以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題1四類不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集(2)簡單分式不等式的解法變形eq f(fx,gx)0(0(1時(shí)，af(x)ag(x)f(x)g(x)；當(dāng)0

2、aag(x)f(x)1時(shí)，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)且f(x)0，g(x)0；當(dāng)0alogag(x)f(x)0，g(x)0.2五個(gè)重要不等式(1)|a|0，a20(aR)(2)a2b22ab(a、bR)(3)eq f(ab,2)eq r(ab)(a0，b0)(4)ab(eq f(ab,2)2(a，bR)(5) eq r(f(a2b2,2)eq f(ab,2)eq r(ab)eq f(2ab,ab)(a0，b0)3二元一次不等式(組)和簡單的線性規(guī)劃(1)線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念：線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行域、最優(yōu)解等(2)解不含實(shí)際背景的線性規(guī)劃問題的一般步驟：畫出可

3、行域；根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解；求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或者最小值4兩個(gè)常用結(jié)論(1)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)(2)ax2bxc0(a0)恒成立的條件是eq blcrc (avs4alco1(a0，,0.)熱點(diǎn)一一元二次不等式的解法例1(1)(2013安徽)已知一元二次不等式f(x)0的解集為eq blcrc(avs4alco1(x|xf(1,2)，則f(10 x)0的解集為()Ax|xlg 2Bx|1xlg 2Dx|x0的解集為()Ax|x2或x2 Bx|2x2Cx|x4 Dx|0 x0.(2)利用f(x)是偶函數(shù)求b

4、，再解f(2x)0.答案(1)D(2)C解析(1)由已知條件010 xeq f(1,2)，解得x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.故選C.思維升華二次函數(shù)、二次不等式是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，也是高考的熱點(diǎn)，“三個(gè)二次”的相互轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法(1)不等式eq f(x1,2x1)0的解集為()A(eq f(1,2)，1Beq f(1,2)，1C(，eq f(1,2)1，)D(，eq f(1,2)1，)(2)已知p：x0R，mxeq oal(2,0)10，q：xR，x2mx10.若pq為真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(，2) B2,0)C(2,0) D0,2答案(1)A

5、(2)C解析(1)原不等式等價(jià)于(x1)(2x1)0或x10，即eq f(1,2)x1或x1，所以不等式的解集為(eq f(1,2)，1，選A.(2)pq為真命題，等價(jià)于p，q均為真命題命題p為真時(shí)，m0；命題q為真時(shí)，m240，解得2m2.故pq為真時(shí)，2m0，且eq f(m,3)eq f(n,4)1.所以eq f(m,3)eq f(n,4)(eq f(f(m,3)f(n,4),2)2(當(dāng)且僅當(dāng)eq f(m,3)eq f(n,4)eq f(1,2)，即meq f(3,2)，n2時(shí)，取等號)所以eq f(m,3)eq f(n,4)eq f(1,4)，即mn3，所以mn的最大值為3.(2)2xe

6、q f(2,xa)2(xa)eq f(2,xa)2a2eq r(2xaf(2,xa)2a42a，由題意可知42a7，得aeq f(3,2)，即實(shí)數(shù)a的最小值為eq f(3,2)，故選B.熱點(diǎn)三簡單的線性規(guī)劃問題例3(2013湖北)某旅行社租用A、B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為()A31 200元 B36 000元C36 800元 D38 400元思維啟迪通過設(shè)變量將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題答案C解析設(shè)租A型車x輛，B型車y輛時(shí)租

7、金為z元，則z1 600 x2 400y,x、y滿足eq blcrc (avs4alco1(xy21,yx7,36x60y900，,x，y0，x、yN)畫出可行域如圖直線yeq f(2,3)xeq f(z,2 400)過點(diǎn)A(5,12)時(shí)縱截距最小，所以zmin51 6002 4001236 800，故租金最少為36 800元思維升華(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍(2)解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解(3)對于應(yīng)用問題，要準(zhǔn)確地設(shè)出變量，確定可行域和目標(biāo)函數(shù)(

8、1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(x0,4x3y4,y0)，則weq f(y1,x)的最小值是()A2 B2C1 D1(2)設(shè)zkxy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足eq blcrc (avs4alco1(xy20，,x2y40，,2xy40，)若z的最大值為12，則k_.答案(1)D(2)2解析(1)畫出可行域，如圖所示weq f(y1,x)表示可行域內(nèi)的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)P(0，1)連線的斜率，觀察圖形可知PA的斜率最小為eq f(10,01)1，故選D.(2)首先畫出可行域如下圖所示，可知當(dāng)xy4時(shí)，z取最大值12，124k4，k2.1幾類不等式的解法一元二次不等

9、式解集的端點(diǎn)值是相應(yīng)一元二次方程的根，也是相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)的零點(diǎn)；分式不等式可轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)來解；以函數(shù)為背景的不等式可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化2基本不等式的作用二元基本不等式具有將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”或?qū)ⅰ昂褪健鞭D(zhuǎn)化為“積式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式或求函數(shù)的最值或解決不等式恒成立問題解決問題的關(guān)鍵是弄清分式代數(shù)式、函數(shù)解析式、不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)，并創(chuàng)造基本不等式的應(yīng)用背景，如通過“代換”、“拆項(xiàng)”、“湊項(xiàng)”等技巧，改變原式的結(jié)構(gòu)使其具備基本不等式的應(yīng)用條件利用基本不等式求最值時(shí)要注意“一正、二定

10、、三相等”的條件，三個(gè)條件缺一不可3線性規(guī)劃問題的基本步驟(1)定域畫出不等式(組)所表示的平面區(qū)域，注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號的對應(yīng)；(2)平移畫出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線l，平行移動(dòng)直線，讓其與平面區(qū)域有公共點(diǎn)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解，注意要熟練把握最常見的幾類目標(biāo)函數(shù)的幾何意義；(3)求值利用直線方程構(gòu)成的方程組求解最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值.真題感悟1(2014山東)已知實(shí)數(shù)x，y滿足axay(0aeq f(1,y21) Bln(x21)ln(y21)Csin xsin y Dx3y3答案D解析因?yàn)?a1，axy.采用賦值法判斷，A中，當(dāng)x1，y0時(shí)，

11、eq f(1,2)1，A不成立B中，當(dāng)x0，y1時(shí)，ln 10)，所以y17(eq f(4,x1)x1)172eq r(f(4,x1)x1)13(當(dāng)且僅當(dāng)eq f(4,x1)x1，即x1時(shí)取等號)，所以促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤最大，故選A.2若點(diǎn)P(x，y)滿足線性約束條件eq blcrc (avs4alco1(r(3)xy0，,xr(3)y20，,y0，)點(diǎn)A(3，eq r(3)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()的最大值為_答案6解析由題意，知eq o(OA,sup6()(3，eq r(3)，設(shè)eq o(OP,sup6()(x，y)，則eq o

12、(OA,sup6()eq o(OP,sup6()3xeq r(3)y.令z3xeq r(3)y，如圖畫出不等式組所表示的可行域，可知當(dāng)直線yeq r(3)xeq f(r(3),3)z經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，z取得最大值由eq blcrc (avs4alco1(r(3)xy0，,xr(3)y20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,yr(3)，)即B(1，eq r(3)，故z的最大值為31eq r(3)eq r(3)6.即eq o(OA,sup6()eq o(OP,sup6()的最大值為6.(推薦時(shí)間：50分鐘)一、選擇題1(2014四川)若ab0，cdeq f(b,d) B.eq f(a

13、,c)eq f(b,c) D.eq f(a,d)eq f(b,c)答案D解析令a3，b2，c3，d2，則eq f(a,c)1，eq f(b,d)1，所以A，B錯(cuò)誤；eq f(a,d)eq f(3,2)，eq f(b,c)eq f(2,3)，所以eq f(a,d)x2xB2xlg xxCx2xlg xD2xxlg x答案D解析分別畫出函數(shù)y2x，yx，ylg x的圖象，如下圖，由圖象可知，在x(0,1)時(shí)，有2xxlg x，故選D.3(2013重慶)關(guān)于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于()A.eq f(5,2) B.eq f(7,2)C.eq f(1

14、5,4) D.eq f(15,2)答案A解析由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，所以不等式的解集為(2a,4a)，即x24a，x12a，由x2x115，得4a(2a)15，解得aeq f(5,2).4(2014重慶)若log4(3a4b)log2eq r(ab)，則ab的最小值是()A62eq r(3) B72eq r(3)C64eq r(3) D74eq r(3)答案D解析由題意得eq blcrc (avs4alco1(r(ab)0，,ab0，,3a4b0，)所以eq blcrc (avs4alco1(a0，,b0.)又log4(3a4b)log2eq r(ab)，所以log4(

15、3a4b)log4ab，所以3a4bab，故eq f(4,a)eq f(3,b)1.所以ab(ab)(eq f(4,a)eq f(3,b)7eq f(3a,b)eq f(4b,a)72eq r(f(3a,b)f(4b,a)74eq r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(3a,b)eq f(4b,a)時(shí)取等號故選D.5已知變量x，y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(xy50,x2y10,x10)，則zx2y1的最大值為()A9 B8C7 D6答案B解析約束條件eq blcrc (avs4alco1(xy50,x2y10,x10)所表示的區(qū)域如圖，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過A(1,4)時(shí)取得最

16、大值，故zx2y1的最大值為12418.二、填空題6已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，1)，B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1ln x)|1的解集是_答案(eq f(1,e)，e2)解析|f(1ln x)|1，1f(1ln x)1，f(3)f(1ln x)f(0)，又f(x)在R上為減函數(shù)，01ln x3，1ln x2，eq f(1,e)x0，則eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為_答案eq f(3,2)eq r(2)解析點(diǎn)A(1,1)在直線2mxny20上，2mn2，eq f(1,m)eq f(1,n)(eq f(1,m)eq f(1,n)eq f(2mn,2)eq f

17、(1,2)(2eq f(2m,n)eq f(n,m)1)eq f(1,2)(32eq r(f(2m,n)f(n,m)eq f(3,2)eq r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(2m,n)eq f(n,m)，即neq r(2)m時(shí)取等號，eq f(1,m)eq f(1,n)的最小值為eq f(3,2)eq r(2).三、解答題9設(shè)集合A為函數(shù)yln(x22x8)的定義域，集合B為函數(shù)yxeq f(1,x1)的值域，集合C為不等式(axeq f(1,a)(x4)0的解集(1)求AB；(2)若CRA，求a的取值范圍解(1)由x22x80得4x0，即x1時(shí)y211，此時(shí)x0，符合要求；當(dāng)x10，即x0時(shí)，Cx

18、|4xeq f(1,a2)，不可能CRA；當(dāng)a0時(shí)，Cx|x4或xeq f(1,a2)，若CRA，則eq f(1,a2)2，a2eq f(1,2)，eq f(r(2),2)a0.故a的取值范圍為eq f(r(2),2)，0)10投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米，可獲利潤300萬元；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時(shí)，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米，可獲利潤200萬元現(xiàn)某單位可使用資金1 400萬元，場地900平方米，問：應(yīng)作怎樣的組合投資，可使獲利最大？解設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x百噸，生產(chǎn)B產(chǎn)品y百噸，利潤為S百萬元，則約束條件為eq blcrc (avs4alco1(2x3y14，,2xy9，,x0，,y0，)目標(biāo)函數(shù)