人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第一章第3節(jié)　不等式的性質(zhì)、一元二次不等式

1、第3節(jié)不等式的性質(zhì)、一元二次不等式1.梳理不等式的性質(zhì),理解不等式的性質(zhì),掌握不等式的性質(zhì).2.會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù),了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.3.經(jīng)歷從實(shí)際背景中抽象出一元二次不等式的過程,了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義,能借助一元二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助一元二次函數(shù)的圖象,了解一元二次不等式相應(yīng)的函數(shù)、方程的聯(lián)系.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí)a-b0ab(a,bR),a-b=0a=b(a,bR),a-b0abbb,bcac性質(zhì)3(可加性)aba+cb+c性質(zhì)4(可乘性)abc0acbc注

2、意c的符號(hào)abc0acbcda+cb+d性質(zhì)6(同向同正可乘性)ab0cd0acbd0性質(zhì)7(可乘方性)ab0anbn(nN,n2)a,b同為正數(shù)不等式的性質(zhì)中,含有,的作用是什么?提示:不等式的性質(zhì)中,含有的只能用來證明不等式而不能解不等式,而含有的只能用來解不等式.3.一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如表所示判別式=b2-4ac0=00)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根有兩相異實(shí)根x1,x2(x10(a0)的解集x|xx2x|xx1x|xRax2+bx+c0)的解集x|x1x0的不等式一定是一元二次不等式嗎?提示:當(dāng)a0時(shí),ax2+bx+c0是一元二次不

3、等式,當(dāng)a=0時(shí),不是一元二次不等式.1.涉及實(shí)數(shù)的倒數(shù)有關(guān)的結(jié)論(1)ab,ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.(4)0axb或axb01b1xb0,m0,則bab,則ac2bc2B.若ab,cd,則a-cb-dC.若a|b|,則a2b2D.若ab,則1a1,3-1,而2-3|b|知a0,所以a2b2,C成立.故選C.3.一元二次不等式ax2+bx+10的解集為x|-1x13,則ab的值為(D)A.-5B.5C.-6D.6解析:由已知得-1,13是一元二次方程ax2+bx+1=0的兩根,且a-2,即a1時(shí),f(t)min=f(a-3)=a2-a-20,解得a-1(舍去)或a2.綜

4、上可得,實(shí)數(shù)a的取值范圍為2,+).故選B.5.某產(chǎn)品的總成本y(單位:萬元)與產(chǎn)量x(單位:臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是y=3 000+20 x-0.1x2(0 x240,xN),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本(銷售收入不小于總成本)時(shí)的最低產(chǎn)量是臺(tái).解析:y-25x=-0.1x2-5x+3 0000,所以x2+50 x-30 0000,得x-200(舍去)或x150,又因?yàn)? x240,xN,所以150 x0b,則下列不等式一定成立的是(D)A.a2b2B.abb2C.ln|ab|0D.2a-b1解析:對于A,由a0b知,a2b2不一定成立,故A錯(cuò)誤;對于B,由ab-b2=b(a-b

5、)0,知abba-b0,知2a-b1,故D正確.故選D.2.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,則下列關(guān)系成立的是(D)A.yxzB.zxyC.yzxD.zyx解析:由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)20,即zy;由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),則y-x=y2+2+y=(y+12) 2+740,即yx.綜上所述,zyx.故選D.3.已知-1x4,2y3,則x-2y的取值范圍是,3x+4y的取值范圍是.解析:因?yàn)?1x4,2y3,所以-6-2y-4,所以-7x-2y0.由-1x4,2y3,得-33x12,84y12,所以53x+4y

6、b,cda+cb+d不是可逆的,因此容易出現(xiàn)錯(cuò)解. 一元二次不等式的解法及其應(yīng)用不含參數(shù)的一元二次不等式 不等式-34x-4x20的解集為()A. x|-12x32B.x|-12x0或1x32C.x|1x32D.x|-12x0或1x-3,4x-4x20.解4x-4x2-3得-12x32,解4x-4x20得x0或x1.原不等式的解集即為上述兩個(gè)不等式的解集的交集,即-12x0或1x32,所以原不等式的解集為x|-12x0或1x0的解集為(-1,3),則下列說法正確的是()A.a0B.bx-c0的解集是x|x32C.cx2+ax-b0的解集是x|x1D.a+b0的解集為(-1,3),則a0,-ba

7、=-1+3,ca=-3,即a0即-2ax+3a0,所以x32,cx2+ax-b0,即-3ax2+ax+2a0,即3x2-x-20,解集是x|x1,x=-1屬于x|x1,所以c-a-b0,即a+b0.解:不等式ax2+(2-4a)x-80可化為(ax+2)(x-4)0,當(dāng)a=0時(shí),不等式的解集為x|x4,當(dāng)a0時(shí),不等式的解集為x|x4或x-2a,當(dāng)a0時(shí),即(x+2a)(x-4)0,當(dāng)0-2a4即a-12時(shí),不等式的解集為x|-2ax4即-12a0時(shí),不等式的解集為x|4x4;當(dāng)-12a0時(shí),不等式的解集為x|4x-2a;當(dāng)a=-12時(shí),不等式的解集為;當(dāng)a-12時(shí),不等式的解集為x|-2ax

8、0,ax2,x1=x2,x1x2.2.若含參數(shù)的不等式對應(yīng)的二次方程的判別式含參數(shù),主要對關(guān)于不等式對應(yīng)的方程是否有根進(jìn)行討論.針對訓(xùn)練 (1)不等式組x2-10,x2-3x0的解集是()A.x|-1x1B.x|1x3C.x|-1x0D.x|x3或x1(2)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-4x+6,x0,x+6,xf(1)的解集是()A.(-3,1)(3,+)B.(-3,1)(2,+)C.(-1,1)(3,+)D.(-,-3)(1,3)(3)(多選題)對于給定的實(shí)數(shù)a,關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次不等式a(x-a)(x+1)0的解集可能為()A.RB.(-1,a)C.(a,-1)D.(-,-1)(a,+)解析:

9、(1)不等式組x2-10,x2-3x0,中不等式的解集為x|-1x1,不等式的解集為x|x0或x3.因此原不等式的解集為x|x0或x3x|-1x1=x|-13,解得x3或0 x1;當(dāng)x3,解得-3xf(1)的解集是(-3,1)(3,+).故選A.(3)對于一元二次不等式a(x-a)(x+1)0,則a0,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=a(x-a)(x+1)的圖象開口向上,與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為a,-1,故不等式的解集為(-,-1)(a,+);當(dāng)a0時(shí),函數(shù)y=a(x-a)(x+1)的圖象開口向下,若a=-1,不等式的解集為;若-1a0,不等式的解集為(-1,a),若a-1,不等式的解集為(a,-1).故選BC

10、D. 一元二次不等式恒成立問題一元二次不等式在R上的恒成立問題 若不等式2kx2+kx-380對一切實(shí)數(shù)x都成立,則k的取值范圍為()A.(-3,0)B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0解析:當(dāng)k=0時(shí),顯然成立;當(dāng)k0時(shí),即一元二次不等式2kx2+kx-380對一切實(shí)數(shù)x都成立.則k0,=k2-42k(-38)0,解得-3k0.綜上,滿足不等式2kx2+kx-380(a0)恒成立的充要條件是a0,b2-4ac0.(2)ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要條件是a0,b2-4ac0在集合A中恒成立,則函數(shù)y=f(x)在集合A中的最小值大于0.(2)分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題,即已知函數(shù)

11、f(x)的值域?yàn)閙,n,則f(x)a恒成立f(x)mina,即ma;f(x)a恒成立f(x)maxa,即na.一元二次不等式的有解問題 若關(guān)于x的不等式x2-4x-2-a0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,-2)B.(-,-2C.(-6,+)D.(-,-6)解析:不等式成立等價(jià)于存在x(1,4),使ax2-4x-2成立,即a(x2-4x-2)max,設(shè)y=x2-4x-2=(x-2)2-6,當(dāng)x(1,4)時(shí),y-6,-2),所以af(x)在區(qū)間m,n上有解,則af(x)min,af(x)在區(qū)間m,n上有解,則af(x)max.(對于af(x),af(x)可類似處理)針對訓(xùn)

12、練 (1)若存在實(shí)數(shù)x2,4,使x2-2x+5-m0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(3)若對于任意的x0,2,不等式x2-2ax-10恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析:(1)mx2-2x+5,設(shè)f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x2,4,當(dāng)x=2時(shí),f(x)min=5,x2,4,使x2-2x+5-mf(x)min,所以m5.故選B.(2)關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2ax+10的解集為R,所以a0,0,4a2-4a0,解得0a0恒成立,則x的取值范圍為()A.(-,2)(3,+)B.(-,1)(2,+)C.(-,1)(3,+)D.(1,3)解析:由題意,因?yàn)閍-1,1時(shí),不等

13、式x2+(a-4)x+4-2a0恒成立,可轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù)f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,則f(a)0對任意a-1,1恒成立.則滿足f(-1)=x2-5x+60,f(1)=x2-3x+20,解得x3,即x的取值范圍為(-,1)(3,+).故選C. 不等式4x-2x-2的解集是()A.(-,0(2,4B.0,2)4,+)C.2,4)D.(-,04,+)解析:法一當(dāng)x-20,即x2時(shí),不等式可化為(x-2)24,所以x4;當(dāng)x-20,即x2時(shí),不等式可化為(x-2)24,所以0 x2,即0 x2或x4.故選B.法二由4x-2x-2,得(x-2)2-4x-20,即x(x-4)x-20,即x

14、(x-2)(x-4)0,x-20,解得0 x2或x4.故選B. 設(shè)abc,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根,則ca的取值范圍為()A.-2,0B. -12,0C.-2,-12D.-1,-12解析:因?yàn)?是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根,所以a+b+c=0.因?yàn)閍bc,所以ab,ac,所以3aa+b+c=0,所以a0.由題意a=0舍去.由a+b+c=0可得b=-a-c,即a-a-cc,即a-a-c,-a-cc,得2a-c,-a2c,則不等式等價(jià)為2-ca,-12ca,即ca-2,ca-12,得-2ca-12.綜上,ca的取值范圍為-2ca-12.故選C. 解關(guān)于x的不

15、等式:x2+ax+10,即a2或a-2時(shí),方程x2+ax+1=0的兩根為x1=-a+a2-42,x2=-a-a2-42,則原不等式的解集為x|-a-a2-42x2或a-2時(shí),原不等式的解集為x|-a-a2-42x-a+a2-42.知識(shí)點(diǎn)、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運(yùn)用練應(yīng)用創(chuàng)新練不等式的性質(zhì)4,5,711,12,13,1416一元二次不等式的解法1,3,6,91017一元二次不等式的恒成立問題2,8151.不等式(x+b)(x+c)a-x0的解集為-1,2)3,+),則b+c等于(B)A.-5B.-2C.1D.3解析:不等式的解集中只有-1,3為閉區(qū)間,2為開區(qū)間,結(jié)合不等式的特征,所以必有a=2,易

16、得a=2,b=1,c=-3或a=2,b=-3,c=1,故b+c=-2.故選B.2.若函數(shù)f(x)=x2-ax+9的圖象恒在x軸上方,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(B)A.a6 B.-6a6C.00在R上恒成立,所以0,由=a2-360,解得-6ax+6的解集為(b,9),則a+b的值為(D)A.4B.5C.7D.9解析:由axx+6得x-ax+6b,cd,則acbdB.若ab0,bc-ad0,則ca-db0C.若ab,cd,則a-db-cD.若ab,cd0,則adbc解析:若a0b,0cd,則ac0,bc-ad0,則bc-adab0,化簡得ca-db0,故B正確;若cd,則-d-c,又ab,則a-db

17、-c,故C正確;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,則ad=-1,bc=-1,ad=bc=-1,故D錯(cuò)誤.故選BC.5.已知a,b,c滿足abc,且ac0,則下列選項(xiàng)中一定能成立的是(C)A.abac B.c(b-a)0C.ab(a-c)0D.cb2ca2解析:取a=-1,b=-2,c=-3,則ab=2ac=3,cb2=-12ca2=-3,排除A,D;取a=3,b=2,c=1,則c(b-a)=-1bc,且ac0,所以a,b,c同號(hào),且ac,所以ab(a-c)0.故選C.6.已知x=1是不等式k2x2-6kx+80的解,則k的取值范圍是.解析:x=1是不等式k2x2-6kx+80的解,把x=1

18、代入不等式得k2-6k+80,解得k4或k2.答案:(-,24,+)7.設(shè)x,y滿足1x3,-1x-y0,則2x+y的最大值為.解析:因?yàn)?x+y=3x-(x-y),由于1x3,-1x-y0,可得0-(x-y)1,33x9,由不等式的基本性質(zhì)可得33x-(x-y)10,即32x+y10,因此2x+y的最大值為10.答案:108.設(shè)f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(mR).若不等式f(x)0的解集為,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是;若不等式f(x)0對一切實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解析:不等式f(x)0的解集為,即f(x)0對一切實(shí)數(shù)x恒成立,所以m+10的解集為R,所以m+10,且=m2

19、-4(m+1)(m-1)233.答案:(-,-233(233,+)9.(1)若關(guān)于x的不等式ax2-3x+20(aR)的解集為x|xb,求a,b的值;(2)解關(guān)于x的不等式ax2-3x+25-ax(aR).解:(1)由題意可知,方程ax2-3x+2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)根分別為x1=1,x2=b,于是有9-8a0,b+1=3a,b1=2a,解得a=1,b=2.(2)原不等式等價(jià)于ax2+(a-3)x-30,即(x+1)(ax-3)0,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為x|x0時(shí),不等式的解集為x|x3a;當(dāng)a-1,即a-3,原不等式的解集為x|-1x3a;()若3a-1,即-3a0,原不等式的解集為x

20、|3ax-1;()若3a=-1,即a=-3,原不等式的解集為.綜上所得,當(dāng)a=0時(shí),原不等式的解集為x|x0時(shí),原不等式的解集為x|x3a;當(dāng)a-3時(shí),原不等式的解集為x|-1x3a;當(dāng)-3a0時(shí),原不等式的解集為x|3ax-1;當(dāng)a=-3時(shí),原不等式的解集為.10.對于實(shí)數(shù)x,規(guī)定x表示不大于x的最大整數(shù),那么不等式4x2-63x+450成立的x的取值范圍是(A)A.1,15) B.2,8C.2,8)D.2,15)解析:不等式4x2-63x+450,即為(4x-3)(x-15)0,解得34x15,則x1,2,3,14,因此1xb0,則下列命題正確的是(BC)A.若a-b=1,則 a-b1B.

21、若a-b=1,則a3-b31C.若a-b=1,則ea-eb1D.若a-b=1,則ln a-ln b1解析:對于A,若a-b=1,取a=4,b=3,則a-b=2-3b0,所以a1,a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=a2+a(a-1)+(a-1)2=3a(a-1)+11,因此B正確;對于C,因?yàn)閎0,所以eb1,即有ea-eb=eb+1-eb=eb(e-1)1,因此C正確;對于D,若a-b=1,取a=e,b=e-1,則ln a-ln b=1-ln(e-1)1,因此D錯(cuò)誤.故選BC.12.(2021河南鄭州高三聯(lián)考)已知2x4,-3y-1,則xx-2y的取值范圍是(B)A.( 110,14

22、)B.(14,23)C.(15,1)D.(23,2)解析:原式分子和分母同時(shí)除以x,得xx-2y=11-2yx,由條件得2-2y6,所以24-2yx62,即12-2yx3,所以321-2yx4,所以1411-2yx23.故選B.13.已知函數(shù)f(x)=|x2+a|+|x|,x-1,1.記f(x)的最大值為M(a),則M(a)的最小值為.解析:由題意可知,f(x)=|x2+a|+|x|,x-1,1是偶函數(shù),當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=x2+a+x,a-x2,-x2-a+x,a-x2,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知,f(x)在-1,1上的最大值為f(1),f(-1),f(12),f(-12)中之一,所以M(a)f(12)=|14+a|+12,M(a)f(1)=|1+a|+1,所以2M(a)|14+a|+12+|a+1|+1|(14+a)-(1+a)|+32=94,所以M(a)98,即M(a)的最小值為98.答案:9814.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,函數(shù)F(x)=f(x)-x的兩個(gè)零點(diǎn)分別為m,n(m0的解集;(2)若a0,且0 xmn0,即a(x+1)(x-2)0.當(dāng)a0時(shí),不等式F(x)0的解集為x|x2;當(dāng)a0的解集為x|-1x0,且0 x