數(shù)字信號(hào)處理習(xí)題答案：第三章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣

1、連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣 3.1 序列 ， ，用采樣模擬信號(hào) ， 。而得到，采樣率為1000樣本/每秒，問(wèn)有哪兩種可能的值以同樣的采樣率能得到該序列？解：對(duì)模擬信號(hào) 以采樣率進(jìn)行采樣產(chǎn)生離散時(shí)間序列，又對(duì)任意整數(shù)， 當(dāng)以采樣頻率為的正弦波都會(huì)產(chǎn)生相同的序列，對(duì)于 （樣本/秒），或rad/s均可。所以取或都能以同樣的采樣率得到該序列。3.2 令記作某一線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間濾波器的沖擊響應(yīng)，為某一線性時(shí)不變離散時(shí)間濾波器的沖擊響應(yīng)。 若求該連續(xù)時(shí)間濾波器的頻率響應(yīng)，并畫(huà)出它的幅度特性。 若，如所給，求該離散時(shí)間濾波器的頻率響應(yīng)，并畫(huà)出它的幅度特性。 若給定a的值，作為T(mén)的函數(shù)，求離散時(shí)間濾波器頻率響應(yīng)的最

2、小幅度值。解：（a）由連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換得： (b) = = = （c）若a為定值，當(dāng)時(shí)，幅度最小為： （它是的函數(shù)）3.3 圖P3.3-1表示一種多徑信道的簡(jiǎn)單模型。假設(shè)是帶限的，對(duì)用采樣周期T采樣得到的序列： 延遲 圖P3.3-1求的傅里葉變換和的傅里葉變換（用表示）?，F(xiàn)在要用一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)來(lái)仿真該多徑系統(tǒng)，選擇該離散時(shí)間系統(tǒng)的，使得當(dāng)輸入為時(shí)，輸出為。如圖P3.3-2所示。求利用T和表示的。 圖P3.3-2當(dāng)（i）=T和（ii）=T/2時(shí)，求上圖的沖激響應(yīng)。解：（a） （F為傅氏變換符號(hào)，以下皆同）（b）要用離散時(shí)間系統(tǒng)來(lái)模擬多徑系統(tǒng) （） （c）3.4圖P3.4所示的系統(tǒng)有下列關(guān)

3、系：，；。圖P3.4（a）如果要避免混疊，即能從中恢復(fù)，求系統(tǒng)最大允許的值。（b）求。（c）利用，求時(shí)的值。（d）是否存在任何值，對(duì)該值有。如果有這樣的值，求其最大值。若不存在，試說(shuō)明并給出值應(yīng)該怎么選，才能使上式有最好的近似。解：（a）由采樣定理可得：。帶入數(shù)據(jù)，即有，得：，即：s。（b）。（c）（d）由（c）可得：；同樣有：。又由采樣定理可得：綜合以上條件可得到如圖解3.4：圖解3.4只要保證采樣后的即可，如上圖所示的極限情況。如圖所示，符合條件的值：s 3.5 一個(gè)復(fù)雜的帶通模擬信號(hào)有如圖P3.5所示的傅立葉變換，這里。對(duì)該信號(hào)進(jìn)行采樣，得到序列。 圖P3.5當(dāng)，畫(huà)出序列的傅立葉變換。不

4、會(huì)引起混疊失真的能用的最低采樣頻率是什么（也即是可以由恢復(fù)）？如果采樣率大于或等于由（b）確定的采樣率，試畫(huà)出由恢復(fù)的系統(tǒng)方框圖，假設(shè)有（復(fù)數(shù)的）理想低通濾波器可資利用。 解：(a) ，如圖所示 ( b) 由（a）中圖可以看出，要不引起混疊失真需滿足 ，即所以最低采樣頻率要不低于。（c）由恢復(fù)的系統(tǒng)方框圖如下所示： 3.6 一個(gè)具有如圖P3.6所示的傅立葉變換的模擬信號(hào)用采樣周期采樣形成序列. 對(duì),畫(huà)出傅立葉變換. 信號(hào)經(jīng)過(guò)一個(gè)數(shù)字信道傳輸,在接收端原信號(hào)必須恢復(fù)出來(lái),試畫(huà)出該恢復(fù)系統(tǒng)的方框圖,并給出它的特性,假設(shè)可以采用理想濾波器. 問(wèn)T在什么范圍內(nèi)(用表示),可從恢復(fù)? 解: (a)采樣頻

5、率 (b) 若使,則應(yīng)使理想帶通濾波器具有如下特性: （c）若可以由恢復(fù)，則采樣后信號(hào)頻譜不混疊。由于本題的特殊性，可知有兩種情況： 3.7在許多的應(yīng)用中，離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)是經(jīng)過(guò)對(duì)連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號(hào)周期采樣得到的。本題關(guān)注的是隨機(jī)信號(hào)采樣定理的推導(dǎo)。今考慮一個(gè)隨機(jī)變量所定義的連續(xù)時(shí)間平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，這里t是一個(gè)連續(xù)變量。自相關(guān)函數(shù)定義為：功率譜密度是：用周期采樣所得到的離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程由隨機(jī)變量的集合所定義，這里,T為采樣周期。（a） 和是什么關(guān)系？利用連續(xù)時(shí)間過(guò)程的功率譜密度表示離散時(shí)間信號(hào)的功率譜密度。在什么條件下，離散時(shí)間功率譜密度才是連續(xù)時(shí)間功率譜密度的一個(gè)正確表示？解：(a)由(b)離散

6、系統(tǒng)的功率譜為：(c)只有當(dāng)離散時(shí)間系統(tǒng)的功率譜是帶限時(shí)，才能正確表示連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的功率譜，即。3.8考慮一個(gè)具有如圖P3.8-1所示的帶限功率密度譜的連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過(guò)程。假設(shè)對(duì)采樣后得到離散隨機(jī)過(guò)程。圖P3.8-1（a）該離散隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)序列是什么？（b）對(duì)于如圖P3.8-1所示的連續(xù)時(shí)間功率譜密度，應(yīng)該怎么選，才能保證離散隨機(jī)過(guò)程是白的，即功率密度譜對(duì)所有的都是常數(shù)？（c）若功率密度譜如圖P3.8-2所示，又應(yīng)該怎么選，才能保證離散隨機(jī)過(guò)程是白的？圖P3.8-2解：（a）由維納-辛欽定理可知:自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度為傅立葉變換對(duì)。自相關(guān)序列（b）由，及采樣定理可得：若，則有。故應(yīng)有：，即

7、：時(shí)，這時(shí)才能保證離散隨機(jī)過(guò)程是白的。（c），當(dāng)時(shí)，離散隨機(jī)過(guò)程是白的。3.9 在圖P3.9中，設(shè)，。對(duì)于一般情況，試用來(lái)表示，對(duì)于和，基本關(guān)系式是不同的嗎？ 圖P3.9解： ，該序列的傅立葉變換如下： 而理想重構(gòu)濾波器的增益為，截至頻率為，由書(shū)中3.27式可得： 由頻域和時(shí)域的變換關(guān)系可得：當(dāng)和時(shí)，基本關(guān)系式是相同的（）。3.10在圖P3.10的系統(tǒng)中，和如圖所示，對(duì)下列各種情況畫(huà)出并標(biāo)注的傅立葉變換： 解:如下圖 3.11 圖P3.11-1表示出利用離散時(shí)間濾波器過(guò)濾連續(xù)時(shí)間信號(hào)的整個(gè)系統(tǒng)。重構(gòu)濾波器和離散時(shí)間濾波器的頻率響應(yīng)如圖P3.11-2所示。 沖激串到 轉(zhuǎn)換到 序列的轉(zhuǎn)換 沖激串

8、理想重構(gòu)濾波器圖P3.11-1對(duì)如圖P3.11-3所示的和，畫(huà)出和。對(duì)于某個(gè)T的范圍，具有輸入為，輸出為的整個(gè)系統(tǒng)被等效于一個(gè)如圖P3.11-4所示的頻率響應(yīng)為的連續(xù)時(shí)間低通濾波器。求T的取值范圍。對(duì)于（b）所確定的范圍，畫(huà)出作為的函數(shù)。（注意：這是利用固定的連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間濾波器和可變采樣頻率來(lái)實(shí)現(xiàn)可變截止頻率連續(xù)濾波器的一種方法。） 圖P3.11-2圖P3.11-3圖P3.11-4解：系統(tǒng)如圖示，。（a）（b）考慮極限情形，由模擬角頻率和數(shù)字角頻率之間的關(guān)系，整個(gè)系統(tǒng)等效為，只要信號(hào)的頻譜在采樣后不發(fā)生混疊即可，這時(shí)T的范圍是：（c），和有線性的關(guān)系，圖像是一條反向延長(zhǎng)線過(guò)原點(diǎn)的射線。如

9、下圖:3.12 設(shè)圖3.12所示離散時(shí)間系統(tǒng)，是線性時(shí)不變的。且，。求滿足的最大可能的值及相應(yīng)的離散時(shí)間系統(tǒng)頻率響應(yīng)。圖3.12解：由頻譜圖可知，只要保證題目要求頻帶沒(méi)有混疊即可:(s)又由已知可得：即得：3.13 在圖3.9的系統(tǒng)中，設(shè)， 。求出離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的幅度和相位特性，使得輸出試輸入的連續(xù)積分，即 圖3.9 解： ， 其幅度和相位特性如下： 3.14考慮圖3.9的系統(tǒng)，其中離散時(shí)間系統(tǒng)是一個(gè)理想低通濾波器， 截止頻率為 。 若帶限到，為了避免在轉(zhuǎn)換器中發(fā)生混疊，最大的T值是多少？ 若，有效連續(xù)時(shí)間濾波器的截止頻率是多少？ 若，重復(fù)。解: (a)由題可知 若在轉(zhuǎn)換中不發(fā)生混疊,則

10、(b)若,的截止頻率為。對(duì)應(yīng)的模擬信號(hào)的截止頻率為： （c）若,的截止頻率為。對(duì)應(yīng)的模擬信號(hào)的截止頻率為：3.15已知一個(gè)帶限的連續(xù)時(shí)間信號(hào)有60Hz的分量，這個(gè)分量想用圖3.9系統(tǒng)把它處理掉，這里。 圖3.9如果要避免混疊，那么模擬信號(hào)中能包括的最高頻率分量是多少？利用具有如下頻率響應(yīng)的離散時(shí)間系統(tǒng)：畫(huà)出的幅度和相位。（c）為了消除60Hz的分量，應(yīng)該選什么值？解:帶限時(shí)間信號(hào)含有60Hz的分量，由Nyquist采樣定理，模擬信號(hào)中能包含的最高的頻率分量是5KHz。的幅度如下圖：（c）為了消除60Hz的頻率分量，當(dāng)對(duì)應(yīng)的數(shù)字角頻率：3.16 考慮圖P3.16所示的系統(tǒng)，其中，。而離散時(shí)間系統(tǒng)

11、是一個(gè)平方器，即，使得的最大時(shí)多少？圖P3.16解：處理框圖如下。各信號(hào)頻域關(guān)系如下：其中須注意得地方是。結(jié)合在連續(xù)信號(hào)處理過(guò)程中即：可得須滿足條件：。 3.17 本題研究交換兩種運(yùn)算的次序在信號(hào)上所產(chǎn)生的影響，這兩種運(yùn)算是采樣和執(zhí)行一個(gè)無(wú)記憶（Zero-Memory）的非線性運(yùn)算。考慮圖P3.17-1中兩個(gè)信號(hào)處理系統(tǒng)，這里C/D和D/C轉(zhuǎn)換器都是理想的。映射代表一個(gè)無(wú)記憶非線性器件。當(dāng)采樣率選為樣本/秒和的頻譜特性（帶限到HZ）如圖P3.17-2所示時(shí)，畫(huà)出在點(diǎn)1，2和3處的信號(hào)頻譜。嗎？若不等，為什么？嗎？請(qǐng)解釋你的答案。 圖P3.17-1 圖P3.17-2(b) 考慮系統(tǒng)1，令和采樣率

12、樣本/秒，嗎？請(qǐng)說(shuō)明為什么是或不是。(c) 考慮圖P3.17-3的信號(hào)處理系統(tǒng)，這里，而是它的（唯一的）逆，即。令和采樣率樣本/秒，用來(lái)表示。存在有頻譜混疊嗎？用來(lái)表示。從這個(gè)例子你能得到什么結(jié)論呢？（你可能要用到恒等式） 圖P3.17-3(d) 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是數(shù)字化一個(gè)大動(dòng)態(tài)范圍信號(hào)所引起的問(wèn)題，假設(shè)我們用下面方法來(lái)壓縮這個(gè)動(dòng)態(tài)范圍：在A/D轉(zhuǎn)換之后再將信號(hào)擴(kuò)展回來(lái)，那么位于A/D轉(zhuǎn)換之前的這個(gè)非線性運(yùn)算在選擇采樣率上有什么影響？3.18圖P3.18-1的LTI系統(tǒng),其是 求圖3.14系統(tǒng)中的T和，使得該系統(tǒng)等效為圖P3.18-1的系統(tǒng),后者的如上所給。圖3.14 當(dāng)輸入序列為并如圖P3.1

13、8-2所示時(shí),求出并畫(huà)出。 解: (a) ( ) (b) 當(dāng)輸入序列為,相當(dāng)于延時(shí)后產(chǎn)生的序列 3.19考慮圖3.14系統(tǒng)，其中連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)是因果的，且有下列線性常系數(shù)微分方程所表征：整個(gè)系統(tǒng)等小為一個(gè)因果的離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)。求該等效離散時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。圖3.14解:如上圖所示的系統(tǒng)，其中連續(xù)LTI因果系統(tǒng)滿足如下的微分方程：若系統(tǒng)松弛，在方程兩邊取拉氏變換得3.20 考慮序列，它的傅里葉變換如圖P3.20所示。試分別畫(huà)出，和的和，這里和。當(dāng)時(shí)，不存在混疊的最大值是多少？圖P3.20解：由題意可得：。對(duì)于的情況，即有如下圖所示的序列關(guān)系：其中為的減采樣；為的增采樣，但沒(méi)有濾波環(huán)

14、節(jié)。減采樣時(shí)，若要求減采樣不失真，應(yīng)有，即。對(duì)于，則應(yīng)有。但是不論是多少，對(duì)于的情況，恒有：所以可得如下的頻域圖。（ = 1 * roman i），時(shí)，不失真。（ = 2 * roman ii），時(shí)，失真。 3.21 圖P3.21中，和。（a） 在如圖P3.21所示系統(tǒng)中，若的傅立葉變換是，為了使 ，要求的T值是什么？（b）如何選擇，可使？ 圖P3.21 解：(a) 當(dāng)時(shí)，有 而題目要求， （b） ，即的周期為 要使，必須使D/C的為的一半 即 3.22圖3.21畫(huà)出一個(gè)用因子L內(nèi)插信號(hào)的系統(tǒng)，其中低通濾波器在的非零值間內(nèi)插產(chǎn)生一個(gè)未經(jīng)采樣或內(nèi)插的信號(hào)。當(dāng)該低通濾波器是理想時(shí)，就稱為帶限內(nèi)插。

15、如同在3.6.2節(jié)所指出的，簡(jiǎn)單的內(nèi)插過(guò)程往往就夠了。零階保持和線性內(nèi)插就是常用的兩種簡(jiǎn)單的內(nèi)插過(guò)程。對(duì)于零階保持內(nèi)插，的每一個(gè)值只是重復(fù)L次，即線性內(nèi)插已在3.6.2節(jié)中討論過(guò)。為實(shí)現(xiàn)零階保持內(nèi)插，求圖3.21中低通濾波器的沖激響應(yīng)，同時(shí)求出相應(yīng)的頻率響應(yīng)。式給出了線性內(nèi)插的沖激響應(yīng)，求相應(yīng)的頻率響應(yīng)。（是一個(gè)三角波，它就相應(yīng)于兩個(gè)矩形序列的卷積，這一點(diǎn)對(duì)求解是有幫助的）。對(duì)零階保持和線性內(nèi)插畫(huà)出該濾波器頻率響應(yīng)的幅度特性。相對(duì)于理想帶限內(nèi)插來(lái)說(shuō)哪一個(gè)是更好一些的近似？ 解：（a）為實(shí)現(xiàn)零階保持內(nèi)插，低通濾波器的沖激響應(yīng)為：（b） 令 = （c）零階保持 線性內(nèi)插 由于線性內(nèi)插濾波器在截止頻

16、率以外衰減的要快，所以線性內(nèi)插是理想帶限的更好近似。3.23假設(shè)一個(gè)序列使用截止頻率為5KHz的連續(xù)時(shí)間低通濾波器過(guò)濾的一個(gè)語(yǔ)音信號(hào),然后用10KHz的采樣頻率得到，如圖P3.23-1所示。不幸的是，一旦序列被存儲(chǔ)在磁帶上以后，該語(yǔ)音遭到破壞。稍后發(fā)現(xiàn)本應(yīng)該按照如圖P3.23-2所示的系統(tǒng)來(lái)處理。利用離散時(shí)間處理，建立一種從得到的方法。方法可以要求有大量的計(jì)算量，但不應(yīng)要求有C/D或者D/C轉(zhuǎn)換器。如果方法用了一個(gè)離散時(shí)間濾波器，請(qǐng)給出濾波器的頻率響應(yīng)。 圖P3.23-1圖P3.23-2解:該題目需要建立一種從得到的方法而且不能包含C/D或者D/C轉(zhuǎn)換器。我們從頻域來(lái)分析兩者的關(guān)系。為了不失一

17、般性，我們假設(shè)有如下的頻率特性：那么有如下的頻率特性：由兩者之間的關(guān)系可以得出如下的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)：如圖中所示，用到的數(shù)字低通濾波器頻率響應(yīng)為：3.24 考慮如圖P3.24-1所示的系統(tǒng)，這里圖P3.24-1若如圖P3.24-2所示，畫(huà)出。圖P3.24-2解：由題意可得，處理流程如下：所以，可得頻域分析如下：3.25 希望要計(jì)算某個(gè)未被采樣序列的自相關(guān)函數(shù)，如圖P3.25-1所示，有人提議，這可以等效地用圖P3.25-2的系統(tǒng)來(lái)完成?？梢赃x取以使得嗎？如果不能，為什么不能？如果可以，請(qǐng)給出。 圖P3.25-1 圖P3.25-2解：由圖可知： 而 要使，則有3.26圖P3.26的系統(tǒng)近似為將序列以因子

18、L內(nèi)插.假設(shè)該線性濾波器的沖擊響應(yīng)為和，這里L(fēng)和R都是整數(shù)，即該沖激響應(yīng)是對(duì)稱的，且長(zhǎng)度為個(gè)樣本。 在回答下面問(wèn)題中，不要關(guān)心有關(guān)該系統(tǒng)的因果性，因?yàn)榭梢杂冒承┭舆t來(lái)達(dá)到因果。明確點(diǎn)說(shuō)，必須插入多少延遲該系統(tǒng)才能成為因果的？ 為了有必須滿足什末條件？ 利用沖擊響應(yīng)的對(duì)稱性，證明的每一個(gè)樣本用不多于RL次乘法都能計(jì)算出來(lái)。 利用不需要做被零乘的相乘這一事實(shí)，證明每個(gè)輸出樣本只要2R次乘法。解：（a）若系統(tǒng)為因果的，則有當(dāng)n0；是1，若x0。證明下面的算法足以從它的幅度求得一個(gè)負(fù)數(shù)x的反碼表示：將中每個(gè)1變成0，每個(gè)0變成1，包括符號(hào)位在內(nèi)，就得到的負(fù)數(shù)。證明下面算法可以用來(lái)對(duì)一個(gè)負(fù)數(shù)x從它的

19、幅度求得一個(gè)補(bǔ)碼表示：求該數(shù)的反碼表示，并加。從右邊開(kāi)始，依次檢查的各位，對(duì)于在中的每一個(gè)0在x中放一個(gè)0，當(dāng)在中遇到第一個(gè)1時(shí)，在x中放一個(gè)1，以后就對(duì)所有的位，包括符號(hào)在內(nèi)每逢0變成1 ，每逢1變成0。 解： (a) 當(dāng)時(shí)， 三種表示法中都有符號(hào)位為 當(dāng)時(shí)對(duì)原碼， 符號(hào)位為1；對(duì)反碼，（b）設(shè) 則將中0變1，1變0，相當(dāng)于將變?yōu)?，同時(shí)符號(hào)位變?yōu)? 得到的新數(shù)為 恰好為的負(fù)數(shù)的反碼表示。i) 當(dāng)時(shí)，其反碼表示為 加上得到 即為它的補(bǔ)碼表示 ii) 設(shè)小數(shù)點(diǎn)右邊第位為第1個(gè)1，則依據(jù)該算法所得新數(shù)為即為的補(bǔ)碼表示3.34二進(jìn)制數(shù)的補(bǔ)碼表示會(huì)得出很具吸引力的算術(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)化。為了說(shuō)明這一點(diǎn)，詳細(xì)考

20、慮一下補(bǔ)碼相加。用符號(hào)意指“被表示為”。一個(gè)數(shù)x其補(bǔ)碼表示為： ，這里，且在x表示中用了（B+1）位二進(jìn)制數(shù)。補(bǔ)碼相加按如下步驟執(zhí)行：全部數(shù)按(B+1)位無(wú)符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)對(duì)待.相加是簡(jiǎn)單的二進(jìn)制相加.經(jīng)由符號(hào)位的進(jìn)位不予理睬,即若和大于2,則不管進(jìn)位.這樣相加就是按模2完成. 利用以上符號(hào)和定義,寫(xiě)出兩個(gè)數(shù)和補(bǔ)碼相加的完整表示式,這里和1.要考慮所有的可能性，即都可能是正或負(fù)；既可大于，也可小于。 注意：當(dāng)兩個(gè)相同符號(hào)數(shù)相加時(shí)，結(jié)果幅度可能大于1，這種情況稱為溢出。證明只要相加兩個(gè)同號(hào)數(shù)的結(jié)果具有相反的符號(hào)，就表示溢出。 證明和的補(bǔ)碼相加等效于，這里如圖P3.34所示。 假設(shè)求每個(gè)數(shù)的補(bǔ)碼表示

21、，并以順序?qū)⑦@些補(bǔ)碼表示加在一起。在相加時(shí)會(huì)注意到發(fā)生了溢出，但是最后結(jié)果是正確的。證明一般在三個(gè)或更多的補(bǔ)碼數(shù)累加過(guò)程中都可能發(fā)生溢出，但是如果其和在幅度上是小于1的話，結(jié)果一定是正確的。3.35在數(shù)的浮點(diǎn)表示中，數(shù)被表示成： ， 式中c一般稱為階，M稱為尾數(shù)。因?yàn)椋琈就是一個(gè)定點(diǎn)的小數(shù)，負(fù)的浮點(diǎn)數(shù)可以將作為浮點(diǎn)小數(shù)的尾數(shù)用原碼、反碼或者補(bǔ)碼來(lái)表示?？紤]一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)F，該數(shù)是要把尾數(shù)量化的到B位，不包括符號(hào)位，這樣在尾數(shù)中最低有效位的值就是。令QF代表量化值，把QF表示成,誤差就是假定F是一個(gè)正數(shù)，證明對(duì)尾數(shù)的舍入誤差為，對(duì)尾數(shù)的截尾誤差為。假定F是一個(gè)負(fù)數(shù)，分別對(duì)（I）舍入，(II)原碼截尾，（III）補(bǔ)碼截尾，求的上下界。證：在浮點(diǎn)表示法中，c是階碼，M是尾數(shù)。 假設(shè)F是個(gè)正數(shù)，由于尾數(shù)量化到B位顯然量化間隔為： 由截尾誤差的定義，顯然，而且有極限情況 暫略3.36 為了能在計(jì)算機(jī)上處理序列，必須將該序列的幅度量化到一組離散的電平上。這