《電磁場數(shù)學方法》第9章二階常微分方程級數(shù)解法課件

1、第九章 二階常微分方程的級數(shù)解法概述常點鄰域上的級數(shù)解法正則奇點鄰域上的級數(shù)解法本章小結(jié)一、概述分離變量法直角坐標系、平面極坐標本征函數(shù)是三角函數(shù)實際正交曲面坐標系 （球坐標系和柱坐標系） 拉普拉斯方程的分離變量拉普拉斯方程球坐標（r， , ）球坐標系連帶勒讓德方程 m = 0l 階勒讓德方程. 柱坐標（，z）貝塞爾方程柱坐標系拉普拉斯方程 求解線性二階常微分方程 （帶初始條件） 級數(shù)解法： 在某個任選點的領(lǐng)域上，把待求的解表達為系數(shù)待定的級數(shù)，代入方程，逐個確定系數(shù)。是否收斂（1）x: 復(fù)變數(shù)； p(x), q(x) y(x):復(fù)變函數(shù) 收斂范圍 方程的常點和奇點方程（1）的系數(shù) p ( x

2、 ) , q ( x ) 均在某點 x0 的鄰域內(nèi)解析， 稱 x0 為方程的常點。x0是系數(shù) p(x) , q(x) 的孤立奇點，稱 x0 為方程的奇點。正則奇點x0是 p(x) 不超過一階的極點 , 又是 q(x) 的不超過二階的孤立奇點; 稱 x0 為方程的正則奇點。否則為非正則奇點。常點奇點二、常點鄰域上的級數(shù)解法 定理如果方程的系數(shù) p (x) , q (x) 在點 x0的鄰域 內(nèi)解析，則方程在這圓內(nèi)存在唯一的解析的解 y (x)，滿足初始條件表示成泰勒級數(shù)的形式（C0 , C1為任意復(fù)常數(shù)）a0 , a1 , ak , 待定系數(shù)以l 階勒讓德方程為例進行分析 將解的級數(shù)形式代入方程，

3、合并同冪次項； 令合并后的各系數(shù)分別找零，找出系數(shù)之間的遞推關(guān)系； 用已知的初值確定系數(shù)，從而求得級數(shù)解 系數(shù)的確定 勒讓德方程的級數(shù)解即在 x0 = 0 的鄰域上求解l 階勒讓德方程方程的系數(shù)在 x0 = 0: p( x0 ) = 0, q( x0 ) = l (l+1) , 在 x0 = 0解析 x0 = 0 是方程的常點定理于是代入l 階勒讓德方程合并同冪次的項列表得到l 階勒讓德方程解：x = cos , 0 性質(zhì)：奇偶性：y0為偶函數(shù)，y1為奇函數(shù)；收斂性：收斂半徑為 1 級數(shù)解在 x = 1 的收斂性已證明：級數(shù)解y0和y1各自在 x = 1 發(fā)散（l 不為整數(shù)時）因此：形如 而且

4、在x = 1 均有限的無窮級數(shù)解并不存在：l 階勒讓德在x = 1 均為有限的級數(shù)解并不存在！實際定解問題要求：u 在一切方向都需要保持有限勒讓德方程的解在一切方向 ,即在 x 的閉區(qū)間-1, +1上保持有限出路？無窮級數(shù)解y0和y1均不滿足該要求無窮級數(shù)退化為有限項的多項式形式！無發(fā)散性l 的選擇：l 為非負整數(shù)，則當k = l 時, 級數(shù)解退化為 l 次多項式；l 階勒讓德多項式 P l ( x )l 為偶數(shù)：l = 2n (n為整數(shù)) 從 x2n 項起，系數(shù)都含有因子(2n l )從而為0，y0(x)退化為2n次多項式，且只含偶次冪項； y1(x) 不含(2n - l )，仍為無窮級數(shù)；

5、 取任意常數(shù) a1 = 0 即得只含偶次冪的l 次多項式 a0y0(x) ，當選定a0 得到的特解，稱為l 階勒讓德多項式。 從 x2n+1 項起，系數(shù)都含有因子(2n +1 l )從而為0，y1(x)退化為2n+1次多項式，且只含奇次冪項； y0(x) 不含(2n +1- l )，仍為無窮級數(shù)； 級數(shù)解中取任意常數(shù) a0 = 0 即得只含奇次冪的l 次多項式 a1y1(x) ，當選定a1 得到的特解，稱為l 階勒讓德多項式。l 為奇數(shù)：l = 2n+1 (n為零或正整數(shù))自然邊界條件解在區(qū)間-1,1的兩端 x = 1 保持有限本征值問題本征值： l (l + 1)本征函數(shù)： l 階勒讓德多項

6、式L 為零或正整數(shù)勒讓德多項式 反用系數(shù)遞推公式改寫為可以把其它系數(shù)一一推算出來：將n記為k, 求得l 階勒讓德多項式 的具體表達式為三、正則奇點鄰域上的級數(shù)解法的奇點，則其解也以x0為奇點，在點x0領(lǐng)域上展開為羅朗級數(shù)形式設(shè) x0 是線性二階常微分方程 定理的正則奇點設(shè) x0 是方程則在 x0的鄰域 內(nèi)，方程的兩個線性獨立解為：或 s1-s2 整數(shù)s1、s2 ：判定方程 的根（ s1 s2 ）A, ak , bk, 常系數(shù)，A可能為0。 s1-s2整數(shù) 貝塞爾方程的級數(shù)解即在 x0 = 0 的鄰域上求解v 階貝塞爾方程(v為非負數(shù))點 x0 = 0：方程的系數(shù)一階極點 二階極點（1） 階 v

7、 整數(shù)或半奇數(shù)（貝塞爾方程的級數(shù)解） x0 = 0 是方程的正則奇點判定方程兩個根為： s1 v ，s2 v s1 - s2 2 v 不等于0或正整數(shù)兩根之差：判定方程的兩根之差決定了兩個線性獨立解的形式：先不分 s1，s2 代入方程，方程的解合并同冪次的項列表約定 a00s1 = +v 時第一個特解通常取級數(shù)收斂半徑只要x有限，級數(shù)解就是收斂的！v階貝塞爾函數(shù)s2 = -v 時第二個特解通常取級數(shù)收斂半徑只要x有限，級數(shù)解就是收斂的！-v階貝塞爾函數(shù)v 階貝塞爾方程的通解取v 階貝塞爾方程的通解得到v 階諾依曼函數(shù)（2） 半奇數(shù)階 vl+1/2 時貝塞爾方程的解特例: 1/2 階貝塞爾方程在

8、 x0 = 0 的領(lǐng)域內(nèi)求解 l+1/2階貝塞爾方程 x0 = 0 為方程的正則奇點判定方程的兩個根：s1 = v1 = 1/2 s2 = v2 = -1/2 s1 - s2 2 v = 1 為整數(shù)對應(yīng)于判定方程較大根的級數(shù)解： 判定方程兩根之差第二個特解： 階貝塞爾方程的通解： 階貝塞爾函數(shù)盡管判定方程兩根之差為1，但常數(shù) A =0，第二個特解中不出現(xiàn)對數(shù)函數(shù) s1 = l +1/2一般的半奇數(shù) (l+1/2) 階貝塞爾方程： 兩根之差l+階貝塞爾方程的通解： s2 = -(l+1/2)s1 s2= 2l +1 為正整數(shù)（3） 整數(shù) v = m 階貝塞爾方程在 x0 = 0 的鄰域上求解整數(shù)

9、m階貝塞爾方程m為自然數(shù)s1 = m兩根之差s2 = -ms1 s2= 2m為零或正整數(shù)對應(yīng)于判定方程大根的級數(shù)解： 其中： 對應(yīng)于判定方程小根的級數(shù)解： 線性相關(guān)，不能作為第二個獨立的特解 實際采用的第二個特解是諾依曼函數(shù)表達 整數(shù)階貝塞爾函數(shù)的通解 而不是： （4） x = 0 處的自然邊界條件因此：如果所研究的區(qū)域中包含 x = 0 在內(nèi)， 排除： 保留： 貝塞爾方程，不論階數(shù)是否為整數(shù)，在x=0具有自然邊界條件 四、虛宗量貝塞爾方程柱坐標系下對拉普拉斯方程分離變量得到虛宗量貝塞爾方程v 階虛宗量貝塞爾方程 (v不等于整數(shù)、半奇數(shù))變量代換得到v 階貝塞爾方程兩個線性獨立解：得到虛宗量貝塞爾函數(shù)(實函數(shù))：v 階虛宗量貝塞爾方程的通解：均為正項級數(shù)，除 x = 0 外恒不為零m階虛宗量貝塞爾方程