復(fù)數(shù)相乘 對(duì)應(yīng)的向量相乘

1、復(fù)數(shù)相乘黃對(duì)應(yīng)的向量相乘l=J甘志國(guó)（該文已發(fā)表 中學(xué)數(shù)學(xué)（高中）2011（7）： 10-11）高考題（2010 浙江理5）對(duì)任意復(fù)數(shù)z =尤+ yi（X, y e R），i為虛數(shù)單位，則下列 結(jié)論正確的是（）z - z = 2yB. z2 = x2 + y2C. z - z 2xD.|z| |x| + |y|筆者在教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生是這樣解答的：設(shè)點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，在復(fù)平面上點(diǎn)z的坐標(biāo)是（x, y），則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的平面向量是OZ （以下說(shuō)“復(fù)數(shù)z與平面向量OZ 一一對(duì)應(yīng)”時(shí)，對(duì)應(yīng)法則就是這樣的）.所以 z2 = OZ2 = |oZ|2 = （、（x2 + y2 ）2 = x2 + y2.而

2、正確答案是D（讀者也容易理解該答案正確無(wú)疑）.那么，以上解法錯(cuò)在哪里呢？我們知道，復(fù)數(shù)z與平面向量OZ是一一對(duì)應(yīng)的，且兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減就是把它們對(duì)應(yīng)的 平面向量相加減.能否把此法則類(lèi)比到復(fù)數(shù)的乘法中去呢？即能否有“因?yàn)閺?fù)數(shù)z與平面向 量OZ是一一對(duì)應(yīng)的，所以?xún)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相乘就是把它們對(duì)應(yīng)的平面向量相乘”？從這道高考題的解法來(lái)看，顯然不能這樣類(lèi)比！即一一對(duì)應(yīng)與互相代換還是兩回事.比 如，復(fù)數(shù)z與平面向量OZ是一一對(duì)應(yīng)的，在進(jìn)行復(fù)數(shù)加減法時(shí)，可以把復(fù)數(shù)z與平面向量OZ互相代換；在進(jìn)行復(fù)數(shù)乘法時(shí)，一般來(lái)說(shuō)，不能把復(fù)數(shù)z與平面向量OZ互相代換；在進(jìn)行復(fù)數(shù)除法時(shí)，一定不能把復(fù)數(shù)z與平面向量OZ互相代換，因?yàn)閺?fù)

3、數(shù)之間有除法而平面 向量之間沒(méi)有定義除法.根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的乘法法則，可以給出復(fù)數(shù)的乘法與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量之間的 聯(lián)系（即復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，見(jiàn)高級(jí)中學(xué)課本代數(shù)下冊(cè)（必修）（人民教育出版社，1990）（下 簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)（下冊(cè)）第204頁(yè)），但絕對(duì)不是“兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘就是把它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)相乘” 這么簡(jiǎn)單.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)（俗稱(chēng)新課標(biāo)教材）數(shù)學(xué)選修1-2 A版（人民教育出 版社，2007年第2版）（下簡(jiǎn)稱(chēng)選修1-2）第56-57頁(yè)“3.2.1復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算 及其幾何意義”一節(jié)中寫(xiě)道：我們規(guī)定，復(fù)數(shù)的加法法則如下：設(shè)z1 = a + bi, z2 = C + di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，

4、那么（a + bi） + （c + di） = （a + c） + （b + d ）i很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù).探究復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.我們討論過(guò)向量加法的幾何意義，你能 由此出發(fā)討論復(fù)數(shù)加法的幾何意義嗎？設(shè)OZ , OZ2分別與復(fù)數(shù)a + bi,c + di對(duì)應(yīng)，則OZ = (a,b),OZ2 = (c,d).由平面向量 的坐標(biāo)運(yùn)算，得OZ + OZ = (a + c, b + d)這說(shuō)明兩個(gè)向量OZ與OZ2的和就是與復(fù)數(shù)(a + c) + (b + d)i對(duì)應(yīng)的向量.因此，復(fù)數(shù) 的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行(圖1)，這是復(fù)數(shù)加法的幾何意義.y心o圖1與選修

5、1-2配套使用的教師教學(xué)用書(shū)第60頁(yè)也寫(xiě)道：“復(fù)數(shù)加法的幾何意義， 就是復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法來(lái)進(jìn)行，在學(xué)習(xí)了平面向量的知識(shí)后，這是容易被學(xué)生 接受的.教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生把復(fù)數(shù)的加法與向量的加法是怎樣聯(lián)系起來(lái)并得到統(tǒng)一的過(guò)程作出 探究.”數(shù)學(xué)選修2-2 - A版(人民教育出版社，2007年第2版)及與之配套使用的教師 教學(xué)用書(shū)也有以上敘述.筆者認(rèn)為，以上敘述想闡明的觀(guān)點(diǎn)就是：因?yàn)閺?fù)數(shù)z與平面向量是OZ是一一對(duì)應(yīng)的，所以?xún)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相加減，就是把它們對(duì)應(yīng)的平面向量相加減這也是不妥的，應(yīng)當(dāng)對(duì)“兩個(gè)復(fù)數(shù)相加減=它們對(duì)應(yīng)的平面向量相加減”予以嚴(yán)格證明.早年的教科書(shū)代數(shù)(下冊(cè))第188-189頁(yè)就是這樣證

6、明的：復(fù)數(shù)用向量來(lái)表示，如果與這些復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量不在同一直線(xiàn)上，那么這些復(fù)數(shù)的加法 就可以按照向量加法的平行四邊形法則來(lái)進(jìn)行.下面我們來(lái)證明這個(gè)事實(shí).設(shè)OZ1,.分別與復(fù)數(shù)a + bi及c + di對(duì)應(yīng)，且0Z1,OZ2不在同一直線(xiàn)上(圖2)，以O(shè)Z1及OZ2為兩條鄰邊畫(huà)平行四邊形0VZZ2，畫(huà)X軸的垂線(xiàn)PZ1 QZ2及RZ，并且畫(huà)Z 1 S 1 RZ .容易證明AZZ 1 S 蘭 Z2 OQ并且四邊形Z 1PRS是矩形，因此OR = OP + PR = OP + Z 1 S = OP + OQ = a + cRZ = RS + SZ = PZ 1 + QZ 2 = b + d于是，點(diǎn)Z的坐標(biāo)

7、是（a + c,b + d）,這說(shuō)明OZ就是與復(fù)數(shù)（a + c） + （b + d）i對(duì)應(yīng)的向量.由此可知，求兩個(gè)復(fù)數(shù)的和，可以先畫(huà)出與這兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量OZ1,OZ2，如果hhOZ1,OZ2不在同一直線(xiàn)上，再以這兩個(gè)向量為兩條鄰邊畫(huà)平行四邊形，那么與這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)OZ所表示的向量OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，就是所求兩個(gè)復(fù)數(shù)的和.如果OZ ,OZ2在同一直線(xiàn)上，我們可以畫(huà)出一個(gè)“壓扁”了的平行四邊形，并據(jù)此畫(huà)出它的對(duì)角線(xiàn)來(lái)表示OZ ,OZ2的和.總之，復(fù)數(shù)的加法可以按照向量的加法法則來(lái)進(jìn)行，這是復(fù)數(shù)加法的幾何意義雖然代數(shù)（下冊(cè)）對(duì)于“OZ1,OZ2不在同一直線(xiàn)上”的情形也只證明了a,b,c,d

8、eR + 的情形（其他情形均可類(lèi)似證出），但是這種處理方法才是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，而新課標(biāo)教材對(duì)這部分的 處理是有瑕疵的，容易產(chǎn)生“若一一對(duì)應(yīng)，則可互相代換”的誤導(dǎo)新課標(biāo)教材數(shù)學(xué)必修4A版（人民教育出版社，2007年第2版）第12頁(yè)、全日 制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）（俗稱(chēng)大綱教材）數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）（2006年人民教育出版社） 第17頁(yè)及高級(jí)中學(xué)課本代數(shù)上冊(cè)（必修）（人民教育出版社，1990）第134頁(yè)中均有這樣 的敘述：“由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量 為實(shí)數(shù)的函數(shù).”筆者認(rèn)為，這也犯了 “若一一對(duì)應(yīng)，則可互相代換”的錯(cuò)誤.筆者在中學(xué) 數(shù)學(xué)雜志2010年第3期第13-17頁(yè)發(fā)表的文章對(duì)人教版教科書(shū)數(shù)學(xué) A版必修3的 幾點(diǎn)建議的第6節(jié)中就指出了這種錯(cuò)誤：因?yàn)閟in2是2弧度的正弦值，是一個(gè)實(shí)數(shù)；而cos（sin2）要有意義的話(huà)，sin2必須是 角的大小.所以，cos（sin2）無(wú)意義！筆者認(rèn)為必修4第12頁(yè)例1上方寫(xiě)的“由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一 對(duì)應(yīng)關(guān)系，三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)”也沒(méi)道理：鄒是實(shí)數(shù)時(shí)，sin a沒(méi) 有意義；只有當(dāng)a