線性插值與二次插值公式)

1、插值計(jì)算引例代數(shù)多項(xiàng)式插值問題線性插值與二次插值公式Lagrange插值公式第四章 數(shù)據(jù)插值方法誤差函數(shù)x 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y 0 0.5205 0.8427 0.9661 0.9953 0.9996 1.0000當(dāng) x(0.5, 1)時(shí)當(dāng) x(1, 1.5)時(shí)實(shí)際問題中遇到的函數(shù)f(x)有的表達(dá)式復(fù)雜，有的只提供了離散點(diǎn)上的函數(shù)值或?qū)?shù)值。為了進(jìn)一步分析問題的性質(zhì)和變化規(guī)律，自然希望找到一種簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)，能近似描述函數(shù)f(x)的變化規(guī)律，又便于處理。把這個(gè)函數(shù)p(x)稱作f(x)的近似函數(shù)。近似函數(shù)p(x)可以是代數(shù)多

2、項(xiàng)式或三角多項(xiàng)式，也可以是有理分式等等。 p(x)選不同類型的函數(shù)，近似的效果不同，由于代數(shù)多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，常取p(x)為代數(shù)多項(xiàng)式。如果要求近似函數(shù)p(x)取給定的離散數(shù)據(jù)，則稱p(x)為f(x)的插值函數(shù)。多項(xiàng)式插值問題的一般提法設(shè) f(x)C a , b, 已經(jīng)點(diǎn)xi a , b上的函數(shù)值 f(xi), (i=p0, p1, pn)和點(diǎn)xj上的導(dǎo)數(shù)值 f(kj)(xj), (j=q0, q1, qm)，其中kj為小于或等于n+m+1的任意正整數(shù)。要求：作一個(gè)次數(shù)不超過n+m+1的代數(shù)多項(xiàng)式p(x) P(x)=a0 + a1x + an+m+1xn+m+1使 P(xi)= f(xi), (

3、i=p0, p1, pn) P(kj)(xj)= f(kj)(xj), (j=q0, q1, qn) 成立則稱P(x)為f(x)的插值函數(shù)。xi和xj稱作插值節(jié)點(diǎn)a , b為插值區(qū)間。上述問題稱作代數(shù)多項(xiàng)式插值問題已知f(x)在點(diǎn)xi上的函數(shù)值 yi=f(xi), (i=0,1,2,n)，求一個(gè)次數(shù)不超過n的插值多項(xiàng)式。則稱 (4.1)為滿足插值條件(4.2)的拉格朗日插值。 Ln(x)=a0 + a1x + anxn (4.1)滿足: Ln(xi)= yi (k = 0,1,n) (4.2) 設(shè) f(x)C a , b, 取點(diǎn) a x0 x1xnb拉格朗日插值拉格朗日插值及其存在唯一性點(diǎn),則

4、滿足插值條件 Ln(xi)= yi (k = 0,1,n)的n次插值多項(xiàng)式 Ln(x)=a0 + a1x + anxn存在而且是唯一的。證明 由插值條件L(x0)= y0L(x1)=y1L(xn)=yn定理4.1 若插值結(jié)點(diǎn)x0,x1,xn 是(n+1)個(gè)互異方程組系數(shù)矩陣取行列式這是范德蒙行列式且不等于0。故方程組有唯一解.從而插值多項(xiàng)式P(x)存在而且是唯一的.例4.2 已知誤差函數(shù)在四個(gè)點(diǎn)處函數(shù)值 x 00.60001.20001.8000 Erf(x) 00.60390.91030.9891構(gòu)造3次多項(xiàng)式L3(x) 逼近 Erf(x)設(shè) L3(x)= a0 + a1x +a2x2 +

5、a3x3, 令 L3(xi)=Erf(xi)得求解,得a0=0,a1=1.293,a2= -0.5099,a3=0.0538所以, L3(x)=1.293 x 0.5099 x2 + 0.0538 x3MATLAB計(jì)算程序x=0:.6:1.8; y=erf(x);x=x;y=y;A=ones(4,1) x x.2 x.3;p=Ay;a0=p(1);a1=p(2);a2=p(3);a3=p(4);t=0:.2:2;u=a0+a1*t+a2*t.2+a3*t.3;plot(x,y,o,t,u)由過兩點(diǎn)直線方程,得化為等價(jià)形式求滿足: L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1的線性插值多項(xiàng)式 L1

6、(x)n=1 線性插值問題 已知函數(shù)表 x x0 x1 f(x) y0 y1拉格朗日插值的基函數(shù)構(gòu)造法記當(dāng)x0 x x1時(shí)，0l0(x)1, 0l1(x)1x x0 x1l0(x) 1 0l1(x) 0 1y0 y1 = 1 0y0 + 0 1y1把l0(x)、 l1(x)稱作線性插值基函數(shù)n=2 二次插值問題x x0 x1 x2f(x) y0 y1 y2已知函數(shù)表求二次插值(拋物插值)多項(xiàng)式 L2(x)=a0 + a1x + a2 x2 滿足:L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1, L2(x2)=y2y0 y1 y2 = 1 0 0y0 + 0 1 0y1+ 0 0 1y2仿照線性插值

7、的基函數(shù)構(gòu)造法，可令 L2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2二次插值函數(shù): L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，xx0 x1x2l0(x) 1 0 0l0(x) 100l1(x) 010l2(x) 0 0 1L2(x)y0y1y2 xx0 x1 x2把l0(x)、l1(x)、 l2(x) 稱作二次插值基函數(shù)Lagrange插值公式插值條件:Ln(xi)= yi (i= 0,1,n)其中,第i (i=0,1,，n)個(gè)插值基函數(shù)即:兩點(diǎn)線性插值定義誤差余項(xiàng): R1(x) = f(x) L1 (x) 由插值條件,令 R1(x)=C(x) (x x0)(x x

8、1)即 f(x) L1(x) = C(x) (x x0)(x x1) C(x) = ?Lagrange插值的誤差余項(xiàng) ax0 x1xnb則對(duì)任何xa , b, 滿足 Ln(xi) = f(xi) 的 n 次插值多項(xiàng)式Ln(x) 的誤差其中,且與x有關(guān)定理5.2 設(shè) f(x)Ca, b, 且 f (x) 在(a, b)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù), 取插值結(jié)點(diǎn)證 記 n+1(x) =(x x0)(x x1)(x xn)Rn(x) f(x) Ln(x)= C(x) n+1(x)取定 x(a, b), 設(shè) t( a, b ). 構(gòu)造函數(shù) 顯然, F(x) = 0, F(xj) = 0, (j = 0,1,n ) 由插值條件Ln(xi) = f(xi) (k = 0,1,n)存在C(x)，令 F(t