《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》考試題與參考答案

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試題及參考答案一、填空題（每小題3分，共15分）1，設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布2N(0,3)，而(X1,X2,X9)和(Y1,Y2,Y9)是分XX別來(lái)自X和Y的樣本，則19U22YY19服從的分布是_.解：t(9)2，設(shè)?與1?都是總體未知參數(shù)的估計(jì)，且2?比1?有效，則2?與1?的期望與方差滿足_.2解：?E()E(),D()D()12123，“兩個(gè)總體相等性檢驗(yàn)”的方法有_與_.解：秩和檢驗(yàn)、游程總數(shù)檢驗(yàn)4，單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型含有的三個(gè)基本假定是_.解：正態(tài)性、方差齊性、獨(dú)立性5，多元線性回歸模型YX中，的最小二乘估計(jì)是?=_.解：?XY1=(XX)二、單項(xiàng)

2、選擇題（每小題3分，共15分）1，設(shè)(X1,X2,Xn)(n2)為來(lái)自總體N(0,1)的一個(gè)樣本，X為樣本均值，2S為樣本方差，則_D_.（A）nXN(0,1)；（B）22()nSn；（C）(n1)XSt(n)；（D）2(n1)X1n2Xii2F(1,n1).2，若總體2XN(,)，其中2已知，當(dāng)置信度1保持不變時(shí)，如果樣本容量n增大，則的置信區(qū)間_B_.（A）長(zhǎng)度變大；（B）長(zhǎng)度變??；（C）長(zhǎng)度不變；（D）前述都有可能.3，在假設(shè)檢驗(yàn)中，分別用，表示犯第一類(lèi)錯(cuò)誤和第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率，則當(dāng)樣本容量n一定時(shí)，下列說(shuō)法中正確的是_C_.（A）減小時(shí)也減??；（B）增大時(shí)也增大；（C）,其中一個(gè)減小，另

3、一個(gè)會(huì)增大；（D）（A）和（B）同時(shí)成立.4，對(duì)于單因素試驗(yàn)方差分析的數(shù)學(xué)模型，設(shè)ST為總離差平方和，Se為誤差平方和，SA為效應(yīng)平方和，則總有_A_.（A）STSeSA；（B）S2A2(1)r；1（C）S/(r1)AS/(nr)eF(r1,nr)；（D）SA與Se相互獨(dú)立.5，在一元回歸分析中，判定系數(shù)定義為2RS回ST，則_B_.（A）2R接近0時(shí)回歸效果顯著；（B）2R接近1時(shí)回歸效果顯著；（C）2R接近時(shí)回歸效果顯著；（D）前述都不對(duì).三、（本題10分）設(shè)總體2XN(,)、12YN(,)，2(X,X,Xn)和121(Y,Y,Yn)分別122是來(lái)自X和Y的樣本，且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，X、Y

4、和22S、S分別是它們的樣本均值和樣本方差，證明XY(XY)()12S11nn12t(nn2)12，其中22(n1)S(n1)S21X2YSnn212.證明：易知22XYN(,)12nn12，(XY)()12UN11nn12(0,1)由定理可知2(n1)S1X22(n1)，12(n1)S2Y22(n1)22由獨(dú)立性和分布的可加性可得22(n1)S(n1)S21X2YV(nn2)1222由U與V得獨(dú)立性和t分布的定義可得(XY)()U12S11nn12V/(nn2)12t(nn2)12四、（本題10分）已知總體X的概率密度函數(shù)為x1e,x0f(x),其中未知參數(shù)0,0,其它(X,X,Xn)為取自

5、總體的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量，并證明該估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)量12解：（1）xn11vEXxf(x)dxxedx，用v1XX10ini1代替，所以2n1?XiXn1i（2）n1?E()E(X)E(X)E(X)ini1，所以該估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)五、（本題10分）設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為f(x;)(1)x,0 x1，其中未知參數(shù)1，(X,X,Xn)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本，試求參數(shù)的極大似然估計(jì)12解：L()nn(1)(x),0 x1iii10,其它當(dāng)0 x1時(shí)，inlnL()nln(1)lnx，令ii1dlnL()nd1in1lnx0i，得?1nnlnxii1六、（本題10分）設(shè)總體X的密度函數(shù)為f(x;

6、)xxe,0;0,x0,未知參數(shù)0，(X,X,Xn)為總體的一個(gè)樣本，證明X是121的一個(gè)UMVUE證明：由指數(shù)分布的總體滿足正則條件可得211I()Elnf(x;)E，2221的的無(wú)偏估計(jì)方差的C-R下界為21221()11nInn()22另一方面E(X)1，VarX()1n2，即X得方差達(dá)到C-R下界，故X是1的UMVUE七、（本題10分）合格蘋(píng)果的重量標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)小于0.005公斤在一批蘋(píng)果中隨機(jī)取9個(gè)蘋(píng)果稱(chēng)重,得其樣本標(biāo)準(zhǔn)差為S0.007公斤,試問(wèn)：（1）在顯著性水平0.05下,可否認(rèn)為該批蘋(píng)果重量標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到要求?（2）如果調(diào)整顯著性水平0.025，結(jié)果會(huì)怎樣？32222參考數(shù)據(jù):(9)1

7、9.0230,0(9)16.919,0(8)17.535,(8)15.507.025.05.025.050解：（1）2n1S222H:0.005,8，則應(yīng)有：02222P0.0580.005,0.05(8)15.507，具體計(jì)算得：2280.00720.00515.6815.507,所以拒絕假設(shè)H0，即認(rèn)為蘋(píng)果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)未達(dá)到要求（2）新設(shè)2H0:0.005,由280.0072217.535,15.6817.535,0.02520.005則接受假設(shè)，即可以認(rèn)為蘋(píng)果重量標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)達(dá)到要求八、（本題10分）已知兩個(gè)總體X與Y獨(dú)立，22X(,)，Y(,)，1122221,2,1,2未知，(X,X,Xn)和121(Y,Y,Yn)分別是來(lái)自X和Y的樣本，求1222122的置信度為1的置信區(qū)間.解：設(shè)SS分別表示總體X，Y的樣本方差，由抽樣分布定理可知2,2XY2(n1)S1X22(n1)，12(n1)S2Y22(n1)，212由F分布的定義可得2(n1)S1X(n1)2122S1X2FF(n1,n1)22212(n1)SS2YY1(n1)222對(duì)于置信度1，查F分布表找F/2(n11,n21)和Fnn使得1/2(11,21)PFnnFFnn，/2(11,21)1/2(11,21)1即P22222S/SS/SXY1XY2F(n1,n1)F(n1,n1)1/2122/2