全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題解析

1、全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江 蘇賽區(qū)初賽試題解析高一數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練試題（5）一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）.方程9x 1 3x| 5的實數(shù)解為 .函數(shù) y sin x cosx （x R）的單調(diào)減區(qū)間是. 在 ABC 中， 已知 AB AC 4 , AB BC 12 , 則 XB,函數(shù)f x x 2 x 12在區(qū)間0,2上的最大值 是 ,最小值是 .在直角坐標系xOy中，已知圓心在原點O、半徑 為R的圓與 ABC的邊有公共點，其中1A 4,0、B 6,8、C 2,4 ,貝U R的取值范圍為 .設(shè)函數(shù)f x的定義域為R,若f x 1與f x 1都是 關(guān)于x的奇函數(shù)，則函數(shù)y f x在區(qū)間0,100

2、上至少有 個零點.四個不同的小球放入編號1、2、3、4的四個盒中，則恰有一個空盒的放 法有種。.圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著4顆相同的小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的 一種.其中鍍2金2銀的概率是 .方程xjy 1 yJx 1 xy的實數(shù)解為：.設(shè)復(fù)數(shù)列xn滿足xn a 1, 0,且xn1 a工.若對任意n N*都有 xn 1xn 3 xn ,則a的值是.二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）.求使方程、a+ a+ sinx =sinx有實數(shù)解的實數(shù)a的取值范圍.已知整數(shù)列an滿足a31, a7 4,前6項依次成等差數(shù)列，從第5項起依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求出所有的正

3、整數(shù) m ,使得am am 1 am 2 amam iam 2 .如圖，圓內(nèi)接五邊形 ABCDE中，AD是外接圓的直徑，BE AD ,垂足H .過點H作平彳T于CE的直線，與直線AC、DC分別交于點F、G .證明：（1）點A、B、F、H共圓；（2）四邊形BFCG是矩形.EHBCDG.求所有正整數(shù)x, y ,使得x2 3y與y2 3x都是完全平方數(shù).2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽參考答案與評分細則一、填空題(本題滿分70分，每小題7分).方程9x 1 3x 5的實數(shù)解為 .提示與答案：x1, y1,可設(shè)x=seC2 %從而 x-1= seC2 o-1=tan2 & y-1= sec2 -

4、 1=tan2 p,原,方程可化為: sec2 a tan + sec2 0 tan a=seC2 a seC2sinsin1即 2222cos cos cos cos cos cos因此有 sin p cosf+sina coso=1,即 sin2 f+sin2 o=2,從而 sin2 田1, sin2o=1,一，因此x=y=2,經(jīng)檢驗，x=2, y=2是原方程的解. 4說明 施行適當?shù)娜谴鷵Q，將代數(shù)式或方程轉(zhuǎn)化為三角式或方程求解，這是三角代換應(yīng)用的一個重要方面,充分體現(xiàn)了三角與代數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.10.設(shè)復(fù)數(shù)列xn滿足xn a 1 ,0,且xn 1亙生.若對任意n N*都有 xn 1xn

5、 3 xn ?則a的值是提示與答案：由1月如xn 13a xn2xna a 1 xn 12a xn 2 a xn 1xn 3dd dxn 21 a 1 xn 11 TOC o 1-5 h z 22包成立，即a a 1 Xn Xn 1 a 0.因為 al或0,故a a 1 0,所13 .a i . 22二、解答題(本題滿分80分，每小題20分)11.求使方程7a+a+ sinx =sinx有實數(shù)解的實數(shù)a的取值范圍.解：sinx0,平方得 Ma+sinx= sin2x a,故 a& sin2x,平方整理得，a2(2sin2x+ 1)a+sin4x sinx=0,這是一個關(guān)于a的二次方程.= (2

6、sin2x+ 1)2 4(sin4x sinx) = 4sin2x+ 4sinx+ 1 = (2sinx+ 1)2.a = 22sin2x+ 1 (2sinx+ 1).其中，a = sin2x+sinx+ 1sin2x,故舍去；a = sin2xsinx,當 00sinx0 1 時，有 a 4，0。1，、一當a = 0時，得sinx= 0或1,有頭解；當a= 4時，sinx=,有頭解.一，1即a的取值氾圍為4, 0.已知整數(shù)列an滿足a31, a7 4,前6項依次成等差數(shù)列，從第5項起依次成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求出所有的正整數(shù)m,使得am am 1 am 2 amama

7、m2解：（1）設(shè)數(shù)列前6項的公差為d,則a5=1+2d, a6=1+3d, d為整數(shù).又 a5, a6, a7成等比數(shù)列,所以（3d1）2=4（2d1）,即 9d2 14d+5=0,得 d =1.6分當 n0 6 時，an =n 4,由此a5=1, a6=2,數(shù)列從第5項起構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為2,所以，當n5時，an =2n-5。10分n 4, n5.（2）由（1）知，數(shù)列an 為：一3, 2, 1, 0, 1, 2, 4, 8, 16,當m=1時等式成立，即-3-2-1=6=(-3)(-2)(- 1);當m=3時等式成立，即1+0+1=0;15.分當m=2、4時等式不成立;當 m5 時，a

8、mam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m5(231)=7X2m-5,72田-5金 23m-12所以 am +am+1+am+2W amam+1am+2 .故所求m= 1,或m=3.20分.如圖，圓內(nèi)接五邊形 ABCDE中，AD是外接圓的直徑，BE AD ,垂 足H .過點H作平彳T于CE的直線，與直線AC、DC分別交于點F、G .證明：（1）點A、B、F、H共圓；（2）四邊形BFCG是矩形.證明：(1)由 HG/CE,得/ BHF=/BEC,又同弧的圓周角 / BAF= / BEC,丁. /BAF=/BHF,(2)由(1)的結(jié)論，得 /BHA=/BFA,v BEX

9、AD,BFXAC,又AD是圓的直徑，CGXAC,14分由A、B、C、D共圓及A、B、H共圓, ./ BFG =/DAB =/BCG,B、G、C、F 共圓.ZBGC=Z AFB=900, BGXGC,所以四邊形BFCG是矩形.20分點 A、B、F、H 共圓;14.求所有正整數(shù)x, y ,使得x2 3y與y2 3x都是完全平方數(shù).解：若x=y,則x2+3x是完全平方數(shù).x2x2+3xy,貝U x2x2+3yx2+3xx2+4x+4= (x+2)2.: x2+3y是完全平方數(shù)，x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇數(shù)，設(shè) y = 2k+1,則x=3k+1 , k是正整數(shù).又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方數(shù)，且(2k+2)2=4k2+