Z變換及其收斂域和應(yīng)用

1、Z變換及其收斂域和應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握Z變換及其收斂域，因果序列的概念和判斷方法運用任意方法（三種）求Z反變換理解Z變換的主要性質(zhì)理解Z變換與Laplace/Fourier變換（連續(xù)時間信號）的關(guān)系掌握序列的Fourier變換并理解其對稱性質(zhì)掌握離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)，系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的互求，因果/穩(wěn)定系統(tǒng)的收斂域2-1 引言 信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運算，經(jīng)典時域分析法，卷積積分等。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運算，卷積和，差分方程 的求解。 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復(fù)頻域 分析（ L

2、aplace/Fourier變換）。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： Z變換， Fourier變換（DFT(FFT)）。 Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。2-2 Z變換的定義及收斂域一.Z變換定義： 序列的Z變換定義如下： *實際上，將x(n)展為z-1的冪級數(shù)。Z是復(fù)變量，所在復(fù)平面稱為Z平面 1.定義: 使序列x(n)的z變換X(z)收斂的所有z值的 集合稱作X(z)的收斂域.2.收斂條件： X(z)收斂的充要條件是絕對可和。3.一些序列的收斂域(1).預(yù)備知識 阿貝爾定理: 對于級數(shù) ，存在收斂半徑|z+|，級數(shù)以原點為中心，以|z+|為半徑的園內(nèi)任何點都絕對收斂。即0|z|z+|的z,級數(shù)

3、必絕對收斂。|z+|為最大收斂半徑。 同樣,對于級數(shù) ，存在 的z， 級數(shù)必絕對收斂。 |z_|為最小收斂半徑。0n2n1n (n).(2).有限長序列x(n)n0n1.1.3. 右邊序列*第一項為有限長序列，第二項為z的負(fù)冪級數(shù),收斂域第一項為有限長序列,其收斂域為0|z|;第二項為z的負(fù)冪次級數(shù)，由阿貝爾定理可知, 其收斂域為 Rx-|z|;兩者都收斂的域亦為Rx-|z|; Rx-為最小收斂半徑。但是第一項可能不存在，所以可能收斂域為： Rx-|z|;(4)因果序列 它是一種最重要的右邊序列,由阿貝爾 定理可知收斂域為：在處收斂的序列必定是因果序列，反之也一樣(5)左邊序列x(n)0n n

4、2第二項為有限長序列,其收斂域 ; 第一項為z的正冪次級數(shù)，根據(jù)阿貝爾定理, 其收斂域為 ; 為最大收斂半徑 .雙邊序列指n為任意值時,x(n)皆有值的序列，即左邊序列和右邊序列之和。(6)雙邊序列0nx第二項為左邊序列，其收斂域為：第一項為右邊序列(因果)其收斂域為：當(dāng)Rx-|z|時，這是無窮遞縮等比級數(shù)，收斂。收斂域：*收斂域在模最小的極（左邊序列極點）點所在的圓內(nèi)。大家看一下書48頁的例題2-4由上面兩個例子來看，Z變換表達(dá)式一樣，不代表序列相同，還得看他們的收斂域是否一致。這一點類似于差分方程不能唯一確定序列，必須給出邊界條件。一個結(jié)論2-3 Z反變換一.定義： 已知X(z)及其收斂域

5、,反過來求序列x(n)的變換稱作Z反變換。z變換公式：根據(jù)復(fù)變函數(shù)理論：上式為圍線積分法，也叫留數(shù)法；C為環(huán)形解析域內(nèi)（收斂域）環(huán)繞原點的一條逆時針閉合單圍線.0c 由留數(shù)定理可知： 為c內(nèi)的第k個極點， 為c外的第m個極點（分母多項式Z的階次比分子高二階或二階以上）， Res 表示極點處的留數(shù)。Z反變換的方法 函數(shù)X(z)zn-1沿圍線c反時針方向的積分等于X(z)zn-1在圍線c內(nèi)部各極點的留數(shù)只和，函數(shù)X(z)zn-1沿圍線c順時針方向的積分等于X(z)zn-1在圍線c外部各極點的留數(shù)只和，而且兩者互為相反數(shù)。所以公式2-18a和2-18b都可以，但求解簡化要避免多重極點，因為多重極點的

6、留數(shù)相對要難求 2、當(dāng)Zr為l階(多重)極點時的留數(shù)（不做要求）留數(shù)的求法： 1、當(dāng)Zr為一階極點時的留數(shù)：例2-4 已知解:1）當(dāng)n-1時,不會構(gòu)成極點（圍線內(nèi)），所以這時C內(nèi)只有一個一階極點因此，求z反變換。2）當(dāng)n-2時，X(z)zn-1中的zn+1構(gòu)成n+1階極點。 因此C內(nèi)有極點：z=1/4(一階), z=0為(n+1) 階極點；而在C外僅有 z=4(一階)這個極點:有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算 所得的式子。 有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項 式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。 部分分式：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式 的和，使各分式具有

7、 或 的形式 ，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約 多項式，而且k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分 式的“部分分式”。通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式其中，MN時，才存在Bn； Zk為X(z)的各單極點，Zi為X(z)的一個r階極點。而系數(shù)Ak，Ck(不要求)分別為：分別求出各部分分式的z反變換（可查 P54表2-1），然后相加即得X(z)的z反變換。方法：把X（z）轉(zhuǎn)換成z的正冪次表示，隨后按書（225）和（226）式的要求，把X（z）表示成X（z）/z（單極點）或 形式，再按部分分式展開，求出各個系數(shù)。的z反變換。例2-5利用部分分式法，求解： 3

8、.冪級數(shù)展開法(長除法) 因為 x(n) 的Z變換為Z-1 的冪級數(shù)，即 所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。 如收斂域為|z|Rx+， x(n)為因果序列，則X(z)展成Z的負(fù)冪級數(shù)。 若 收斂域|Z|Rx-, x(n)必為左邊序列，主要展成 Z的正冪級數(shù)。 *雙邊序列可分解為因果序列和左邊序列。*應(yīng)先展成部分分式再做除法。例2-6 試用長除法求的z反變換。解:收斂域為環(huán)狀，極點z=1/4對應(yīng)因果序 列，極點z=4對應(yīng)左邊序列(雙邊序列) 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z -

9、 Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.2-4 Z變換的基本性質(zhì)和定理如果則有：*即滿足均勻性與疊加性；*收斂域為兩者重疊部分。例2-7已知 ,求其z變換。解：2. 序列的移位如果則有：例2-8 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z變換。3. Z域尺度變換(乘以指數(shù)序列)如果，則證明：4. 序列的線性加權(quán)(Z域求導(dǎo)數(shù))如果，則證

10、明：5. 共軛序列如果，則證明：6. 翻褶序列如果，則證明：7. 初值（因果序列）定理證明：8. 終值（因果序列）定理證明：即： 又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子（z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z 1的極限9. 有限項累加特性證明：10.序列的卷積和(時域卷積定理) 證明：兩個Z變換相乘可能出現(xiàn)零極點相消的現(xiàn)象，擴大收斂域例2-9解：11.序列相乘(Z域卷積定理)其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條逆時針單封閉圍線。 例2-10解：12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*”表示復(fù)共軛，閉合積分圍線C

11、在公共收斂域內(nèi)。 如果則有:*幾點說明：2-5 Z變換與連續(xù)時間信號拉氏變換、傅氏變換的關(guān)系 一.Z變換與拉氏變換的關(guān)系設(shè) 為連續(xù)信號， 為其理想抽樣信號，則 序列x(n)的z變換為 ，考慮到 ,顯然，當(dāng) 時，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。變換與理想抽樣信號拉氏變換的關(guān)系( S、Z平面映射關(guān)系） S平面用直角坐標(biāo)表示為： Z平面用極坐標(biāo)表示為： 又由于 所以有：因此， ;這就是說， Z的模只與S的實部相對應(yīng), Z的相角只與S虛部相對應(yīng)。 =0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外 。j00(1).r

12、與的關(guān)系= 0，S平面的實軸， = 0，Z平面正實軸；=0(常數(shù))，S:平行實軸的直線， = 0T,Z:始于 原點的射線； S:寬 的水平條帶， 整個z平面.0jImZReZ(2).與的關(guān)系（=T）可見s到z的映射是多值映射3.Z變換與連續(xù)信號拉氏變換的關(guān)系二.Z變換和傅氏變換的關(guān)系 連續(xù)信號經(jīng)理想抽樣后,其頻譜產(chǎn)生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=j 的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等 于理想抽樣信號傅氏變換。 用數(shù)字頻率作為Z平面的單位圓的參數(shù)， 表示Z平面的輻角，且這就是Z變換和連續(xù)時間信號的傅立葉變換之間的關(guān)系

13、事實上取單位圓上序列的Z變換就是序列的傅立葉變換2.6 離散時間信號的付氏變換DTFT一、DTFT的定義變換對：稱為離散時間傅里葉變換（DTFT）。FT存在的充分條件是：如果引入沖激函數(shù)，一些絕對不可和的序列，如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來。二、比較ZT和DTFT的定義： 利用ZT和DTFT的關(guān)系可以有ZT計算DTFT。 序列的傅里葉變換是序列的z變換在單位圓上的值例1、計算門序列的DTFT (類似Sa(.)函數(shù) )(線性相位) 解：DTFT幅頻特性：相頻特性：圖示說明：)(wX0p2p2-pp-N=8Nw例2、已知 ( ),計算其DTFT。由此可以得到FT的幅頻特性和相頻

14、特性三、FT與DTFT的關(guān)系歸一化 利用FT與DTFT關(guān)系計算下列序列的 DTFT 例：解：1） 2）3）2.7 DTFT的一些性質(zhì)1、線性性：2、實序列：實偶性：實奇性：3、時移特性：4、乘以指數(shù)序列 （調(diào)制性）5、序列線性加權(quán)6、序列翻褶7、序列共軛8、卷積定理： (時域) (頻域)DTFT的主要性質(zhì)參見書頁的表2-39、帕塞瓦爾定理：(Parseval Theory)頻域卷積在一周期內(nèi)積分,稱周期卷積。下面舉例說明DTFT性質(zhì)的使用。計算下列積分I的值。解：根據(jù) 利用時域卷積定理有：上式卷積n=0時就是積分I的值。2.8 周期性序列的DTFT因為周期序列在 不趨于零，故它既不是絕對可和，

15、也不是平方可和，因而它的傅立葉變換既不是一致收斂，也不是均方收斂。但是當(dāng)引入沖激函數(shù)就可以有它的傅立葉變換存在，這樣就能很好的描述周期性序列的頻譜函數(shù)。下面分四種情況進行討論：1、復(fù)指數(shù)序列的傅里葉變換復(fù)指數(shù)序列ejw0n的傅里葉變換，是以w0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p思考，DTFTcos(w0n+f)、 DTFTsin(w0n+f)書上80頁2、常數(shù)序列的傅里葉變換常數(shù)序列的傅里葉變換，是以w=0為中心，以2p的整數(shù)倍為間距的一系列沖激函數(shù)，其積分面積為2p3、周期為N的抽樣序列串的傅里葉變換周期為N的周期性抽樣序列，其傅里葉變換是頻率在w=2p/N的整數(shù)

16、倍上的一系列沖激函數(shù)之和，這些沖激函數(shù)的積分面積為2p/N4、一般性的周期為N的周期性序列的傅里葉變換周期性序列 （周期為N）的傅里葉變換是一系列沖激函數(shù)串，其沖激函數(shù)的積分面積等于 乘以 ，而 是x(n) 的一個周期的傅里葉變換X(ejw)在頻域中w= 2p/N的整數(shù)倍的各抽樣點上的抽樣值。即：e滿足0e 2p/N從w=0之前開始抽樣；在w=2p之前結(jié)束抽樣；此區(qū)間共有N個抽樣值：0kN-1周期序列的DFS正變換和反變換周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）其中：2-9 傅氏變換的一些對稱性質(zhì)一、共軛對稱序列與共軛反對稱序列 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足 xe(n)=xe*(-n)則稱序列為共軛對稱序列。下

17、面分析它們的對稱關(guān)系。 設(shè)序列 其中 分別表示的實部和虛部。對其兩邊取共軛，則再將-n代入，則根據(jù)定義，則 這說明共軛對稱序列的實部是偶對稱序列（偶函數(shù)），而虛部是奇對稱序列（奇函數(shù)）。*特殊地，如是實序列，共軛對稱序列就是偶對稱序列。 設(shè)一復(fù)序列，如果滿足xo(n)=-xo*(-n) 則稱序列為共軛反對稱序列。同樣有：根據(jù)定義，則 這說明共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列（奇函數(shù)），而虛部是偶對稱序列（偶函數(shù)）。 *特殊地，如是實序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。 二、任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和三、序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和,又稱偶部和奇部之和其中，四、兩個基本性質(zhì)(類似于Z變換的性質(zhì)如下)證明：證明：五、 實、虛部與偶、奇部的關(guān)系: 實對偶, j倍虛對奇證明：j倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部證明：證明： 再乘以j。證明：六、序列為實序列的情況（要掌握）這4個只有4才是實序列特有的,因為沒有了虛部,其變換就沒有了奇部,也就是沒有了共軛反對稱分量7.實序列也有如下性質(zhì)(序列的普遍性質(zhì))線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣響應(yīng)h(n)x(n) y(n) H(z)稱作線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，而且在單位圓 上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。2-10 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng) 我們知道,一線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是h(