3-3 巖石力學(xué)與工程 巖石本構(gòu)關(guān)系與強度理論礦大巖石力學(xué)

1、3 巖石本構(gòu)關(guān)系與強度理論3.1 概念一、本構(gòu)關(guān)系 本構(gòu)關(guān)系是指材料在受力過程中的“應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。 1.彈性本構(gòu)關(guān)系 即當巖石在外載荷作用下，巖石變形處于彈性變形階段時的本構(gòu)關(guān)系。2.塑性本構(gòu)關(guān)系 即當巖石在外載荷作用下，巖石變形處于塑性變形階段時的本構(gòu)關(guān)系。7/24/202213.流變本構(gòu)關(guān)系 如果巖石在外載荷不變的條件下，巖石的應(yīng)變或應(yīng)力還隨時間而變化，那么稱該巖石具有流變性，此時的本構(gòu)關(guān)系稱為巖石的流變本構(gòu)關(guān)系。二、強度理論 指采用判斷、推理的方法，推測材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的原因，而建立理論和準那么。 巖石的力學(xué)性質(zhì)可分為變形性質(zhì)和強度性質(zhì)兩類，變形性質(zhì)主要通過本構(gòu)關(guān)系來反映，而強度

2、性質(zhì)那么主要通過強度準那么來反映。 7/24/202223.2 巖石的彈性本構(gòu)關(guān)系一、巖石彈性問題的求解步驟1.平衡微分方程7/24/202232.幾何方程 3.物理方程彈性本構(gòu)關(guān)系 7/24/202244.邊界條件 1位移邊界條件2應(yīng)力邊界條件3混合邊界條件7/24/20225在 上 在 上 3.4 巖石流變理論概念一、流變現(xiàn)象 1.流變現(xiàn)象：材料變形過程中具有時間效應(yīng)的現(xiàn)象。2. 流變性質(zhì)：是指材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與時間因素有關(guān)的性質(zhì)。3.巖石的流變包括蠕變、松弛和彈性后效。 7/24/202264.蠕變：是當應(yīng)力不變時，變形隨時間的增加而增長的現(xiàn)象。 5.松弛：是當應(yīng)變不變時，應(yīng)力隨時間

3、增加而減小的現(xiàn)象。6.彈性后效：是加載或卸載時，彈性應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象。7.粘性流動：即蠕變一段時間后卸載，局部應(yīng)變永久不恢復(fù)的現(xiàn)象。7/24/20227二、研究蠕變的意義1.中硬以下巖石及軟巖中開挖的地下工程，大都需要經(jīng)過半個月甚至半年時間變形才能穩(wěn)定，或處于無休止的變形狀態(tài)，直至破壞失穩(wěn)。2.解決地下工程的設(shè)計和維護問題。 7/24/20228三、蠕變的三個階段 如圖3-1中的abcd曲線所示，蠕變過程可分為三個階段：1.第一蠕變階段：如曲線中ab段所示，應(yīng)變速率隨時間增加而減小，故稱為減速蠕變階段或初始蠕變階段；2.第二蠕變階段：如曲線中bc段所示，應(yīng)變速率保持不變，故稱為等速蠕變階段

4、；3.第三蠕變階段：如曲線中cd段所示，應(yīng)變速率迅速增加直到巖石破壞，故稱為加速蠕變階段。 7/24/20229dcbat0圖3-1 巖石蠕變曲線 四、巖石的長期強度 當巖石的應(yīng)力超過某一臨界值時，蠕變向不穩(wěn)定蠕變開展；當巖石的應(yīng)力小于該臨界值時，蠕變按穩(wěn)定蠕變開展。通常稱此臨界應(yīng)力為巖石的長期強度。7/24/2022103.4.2 流變模型理論一、流變性 研究巖石在流變過程中的應(yīng)力、應(yīng)變和時間的關(guān)系。主要是通過應(yīng)力、應(yīng)變和時間組成的流變方程來表示。二、流變方程 主要包括本構(gòu)方程、蠕變方程和松弛方程。 1.經(jīng)驗方程法 根據(jù)巖石蠕變試驗結(jié)果，由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的回歸擬合方法建立的方程。通常形式為：2.

5、微分方程法 將巖石介質(zhì)理想化，歸納成各種模型，模型可用理想化的具有根本性能彈性、塑性和粘性的元件組合而成。通過這些元件不同形式的串聯(lián)和并聯(lián)得到一些典型的流變模型體。 7/24/2022123.4.3 根本元件一、彈性元件虎克體H 1.定義 如果材料在載荷作用下，其變形性質(zhì)完全符合虎克定律，即是一種理想的彈性體，那么稱此種材料為虎克體，用符號H代表。 2.力學(xué)模型7/24/202213圖3-2 虎克體力學(xué)模型及其動態(tài)3.本構(gòu)方程 4.虎克體的性能 1具有瞬時彈性變形性質(zhì)，無論載荷大小，只要不為零，就有相應(yīng)的應(yīng)變，當為零時，也為零，說明虎克體沒有彈性后效，即與時間無關(guān)；2應(yīng)變恒定時，應(yīng)力也保持恒定

6、不變，應(yīng)力不會因時間增長而減小，故無應(yīng)力松弛性質(zhì)；3應(yīng)力保持恒定時，應(yīng)變也保持不變，即無蠕變性質(zhì)。 7/24/202214二、塑性元件庫侖體C 1.定義 當物體所受的應(yīng)力到達屈服極限時，便開始產(chǎn)生塑性變形，即使應(yīng)力不再增加，變形仍然不斷增長，具有這一性質(zhì)的物體為塑性體，用符合Y來代表。 2.力學(xué)模型 7/24/202215圖3-3 塑性體力學(xué)模型及其動態(tài)3.本構(gòu)方程4. 塑性體的性能1當物體所受的應(yīng)力小于屈服極限時，模型表現(xiàn)為剛形體；2當物體所受的應(yīng)力大于或等于屈服極限時，模型表現(xiàn)為理想塑性體，即具有塑性流動的特點。7/24/202216三、粘性元件牛頓體N 1.定義 牛頓流體是一種理想粘性體

7、，即應(yīng)力與應(yīng)變速率成正比，用符號N表示 。 2.力學(xué)模型 7/24/202217圖3-4 牛頓流體力學(xué)模型及其動態(tài)3.本構(gòu)方程 將5-13式積分，得：式中：C積分常數(shù)，當時，C=0，那么：4.牛頓體的性質(zhì)1從上式可以看出，當t=0時，=0。當應(yīng)力為 時，完成其相應(yīng)的應(yīng)變需要時間 ，說明應(yīng)變與時間有關(guān)，牛頓體無瞬時變形。 7/24/202218或2當 時，即 ，積分后得 ，說明除去外力后應(yīng)變?yōu)槌?shù)，活塞的位移立即停止，不再恢復(fù)，只有再受到相應(yīng)的壓力時，活塞才回到原位。所以牛頓體無彈性后效，有永久形變。3當應(yīng)變 時， ，說明當應(yīng)變保持某一恒定值后，應(yīng)力為零，即無應(yīng)力松弛性能。7/24/202219

8、3.4.4 組合流變模型 三種根本元件進行組合時應(yīng)力、應(yīng)變的計算規(guī)那么： 1.串聯(lián)組合體中各元件的應(yīng)力相等；應(yīng)變等于各元件應(yīng)變之和。 2.并聯(lián)組合體中各元件的應(yīng)變相等；應(yīng)力等于各元件應(yīng)力之和。5.4.4.1 圣維南體St.V:H-C一、力學(xué)模型 7/24/202220圖3-5 圣維南體力學(xué)模型二、本構(gòu)方程 本構(gòu)圖形7/24/202221圖3-6 圣維南體本構(gòu)關(guān)系示意圖 三、卸載特性 如在某一時刻卸載，使 ，那么彈性變形全部恢復(fù)，塑性變形停止，但已發(fā)生的塑性變形永久保存。四、圣維南體的特性 1.代表理想彈塑性體，它無蠕變，無松弛也無彈性后效。 2.本構(gòu)關(guān)系與時間t無關(guān)，故不屬于流變模型，但它是復(fù)

9、合體模型中常見的一個組成局部。7/24/202222馬克斯威爾體M:H-N一、力學(xué)模型二、本構(gòu)方程 由串聯(lián)關(guān)系可得： 7/24/202223圖3-7 馬克斯威爾體力學(xué)模型 由于所以本構(gòu)方程為：三、蠕變方程 在恒定載荷 作用下， 那么 ，其本構(gòu)方程可化簡為：解此微分方程，代入初始條件，得蠕變方程： 7/24/202224四、松弛方程 當保持 不變時，那么有 ，因此本構(gòu)方程可變?yōu)椋航獯朔匠?，代入初始條件，可得松弛方程：五、松弛時間 令 ，那么上式可變?yōu)椋?當t=t1時 定義：規(guī)定應(yīng)力降到初始應(yīng)力的37%時，所需要的時間為松弛時間。7/24/202225六、馬克斯威爾體的特性 1.具有瞬時變形，并隨

10、著時間增長應(yīng)變逐漸增大，即具有等速蠕變的性質(zhì)； 2.當應(yīng)變恒定時，應(yīng)力隨時間的增長而逐漸減小，即馬克斯威爾體模型具有松弛效應(yīng)。 7/24/202226圖3-8 馬克斯威爾體的蠕變曲線和松弛曲線3.4.4.3 開爾文體K:H/N一、力學(xué)模型二、本構(gòu)方程 由于二元并聯(lián)關(guān)系可得：因此開爾文體的本構(gòu)方程為： 7/24/202227圖3-9 開爾文體力學(xué)模型三、蠕變方程 如果在 時，施加一個不變的應(yīng)力 后，保持恒定，根據(jù)本構(gòu)方程可得： 解上述微分方程，代入初始條件，可得蠕變方程：四、卸載方程 在 時卸載，即 ，代入本構(gòu)方程： 7/24/202228解上述微分方程可得：當 時， ，結(jié)合蠕變方程，可得卸載方

11、程 ：由上兩式 可得如下曲線 7/24/202229或 圖3-10 開爾文體蠕變曲線和彈性后效曲線 五、松弛方程 當模型的應(yīng)變恒定時，即 ，此時的本構(gòu)方程為： 由上式可以看出，當應(yīng)變保持恒定時，應(yīng)力也保持恒定，并不隨時間增加而減小，即本模型沒有應(yīng)力松弛性質(zhì)。六、開爾文體的特性 1.屬于穩(wěn)定蠕變模型； 2.具有彈性后效性質(zhì)，沒有松弛性質(zhì)。 7/24/2022303.4.4.4 廣義開爾文體廣義K:H-K一、力學(xué)模型 二、本構(gòu)方程 由于串聯(lián)有：對于彈簧有：對于開爾文體有：7/24/202231圖3-14 廣義開爾文體力學(xué)模型所以7/24/202232化簡上式可得廣義開爾文體本構(gòu)方程： 三、蠕變方程

12、 在恒定載荷 作用下，由于廣義開爾文體由彈簧和開爾文體兩局部組成，其蠕變也是由兩局部組成。對于彈簧有瞬時變形 ，對于開爾文體，其蠕變方程為 ，可應(yīng)用疊加法，所以廣義開爾文體在恒定應(yīng)力作用下的蠕變方程為： 7/24/202233四、彈性后效卸載效應(yīng) 如果在 時刻卸載，虎克體產(chǎn)生的彈性變形 立即恢復(fù)，但是開爾文體的變形那么需要經(jīng)過較長時間才能恢復(fù)到零，其卸載方程和開爾文體的卸載方程相類似，只是 用 代替即可。 其蠕變曲線和彈性后效曲線，如圖3-15所示。 7/24/202234蠕變曲線t0彈性后效圖3-15 廣義開爾文體蠕變曲線和卸載曲線3.4.4.5 飽依丁-湯姆遜體PTh：H/M一、力學(xué)模型

13、二、本構(gòu)方程 本模型是由馬克斯威爾體與虎克體并聯(lián)而成，由并聯(lián)規(guī)那么： 7/24/202235圖3-16 飽依丁-湯姆遜體力學(xué)模型 由馬克斯威爾體的本構(gòu)關(guān)系可得：由虎克體可得：即：代入化簡，即可得到本模型的本構(gòu)方程： 7/24/202236那么： 且有 三、蠕變方程 當在恒定的應(yīng)力 作用下，此時 ，那么本構(gòu)方程變?yōu)椋?解上述式微分方程，可得： 從上式分析可以得出： 1.當 時， ； 2.當 時，可得： 。 7/24/202237 由1、2可知上式所表達的蠕變曲線如圖3-17所示，且此蠕變屬于穩(wěn)定蠕變。四、卸載方程彈性后效 假設(shè)本模型在受恒載 的 時刻突然卸載，此時產(chǎn)生的蠕變應(yīng)變?yōu)椋?7/24/2

14、022380t圖3-17飽依丁-湯姆遜體蠕變曲線 為了研究模型卸載后應(yīng)變變化情況，因此令此時刻為零時刻，即 ，并且有 ，根據(jù)本構(gòu)方程可得： 解上式微分方程可得： 從上式可以看出：當 時的應(yīng)變 ；當 時， 。應(yīng)力在 時刻就已經(jīng)為零了，而應(yīng)變那么需要更長時間才能回零，因而，本模型具有彈性后效性質(zhì)。 7/24/202239五、松弛效應(yīng) 飽依丁-湯姆遜體是由一個馬克斯威爾體和一個虎克體并聯(lián)而成，馬克斯威爾體具有松弛效應(yīng)，因此，如果保持本模型的 不變，即 保持不變，此時 保持恒定，而 由于松弛效應(yīng)而減小，使得 也減小。由此看來，本模型具有松弛性質(zhì)。 7/24/2022403.4.4.6 四元件組合體伯格

15、斯體 一、力學(xué)模型 二、本構(gòu)方程 在推導(dǎo)本構(gòu)方程時，可將開爾文體 和馬克斯威爾體 看成單個元件，然后應(yīng)用串聯(lián)運算規(guī)那么，即可求出整個模型體的本構(gòu)方程如下： 7/24/202241圖3-21 伯格斯體力學(xué)模型 三、蠕變方程 在推導(dǎo)蠕變方程時，也可把開爾文體和馬克斯威爾體的蠕變方程進行疊加，就可得出本模型的蠕變方程：四、卸載效應(yīng) 如果在某一時刻 卸載，馬克斯威爾體的彈簧k2產(chǎn)生瞬時變形 ，但它的粘性元件 也產(chǎn)生了永久變形 ；對于開爾文體卸載后，由于粘性元件 的作用，使彈簧 的形變不能馬上恢復(fù)，而只能經(jīng)過相當一段時間后，才能使這兩個元件的變形得以恢復(fù)，因此，這就使本模型具有了彈性后效效應(yīng)。 7/24

16、/202242五、伯格斯體的特性1.具有瞬時彈性變形；2.具有減速蠕變、等速蠕變、彈性后效以及松弛效應(yīng)等性質(zhì)；3.比較適合描述軟巖的性質(zhì)。 7/24/202243卸載曲線蠕變曲線0圖3-22 伯格斯體蠕變和卸載曲線 3.4.4.7 五元件組合體西原體 一、力學(xué)模型 二、本構(gòu)方程 1.本模型在 時，理想粘塑性體表現(xiàn)為剛體，沒有形變。因此，它就是廣義開爾文體，它具有瞬時彈性變形、彈性后效、蠕變和松弛等性質(zhì)。 2.當 時，它與伯格斯體模型相似，只是應(yīng)力要扣除 即可。因此本模型的本構(gòu)方程為： 7/24/202244圖3-23 西原體力學(xué)模型 三、蠕變方程 本模型的蠕變方程也可以應(yīng)用疊加和變化列出： 7

17、/24/202245四、西原體的特性 1.在應(yīng)力水平較低時具有廣義開爾文體的性質(zhì)，表現(xiàn)出穩(wěn)定蠕變； 2.當應(yīng)力水平超過巖石某一臨界值后，理想塑性體的性質(zhì)以充分表現(xiàn)出來，本模型逐漸轉(zhuǎn)化為不穩(wěn)定蠕變性質(zhì)； 3.本模型比較適合模擬軟巖的流變特性。 7/24/2022463.5 巖石強度理論概述一、巖石強度理論 指采用判斷、推理的方法，推測材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞的原因，而建立理論和準那么。二、強度準那么 巖石在極限應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)和巖石強度參數(shù)之間的關(guān)系。三、應(yīng)力正負號的規(guī)定 1.以壓應(yīng)力為正，拉應(yīng)力為負。 2.剪應(yīng)力使物體產(chǎn)生逆時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。 3.角度以x軸正向沿逆時針方向轉(zhuǎn)動所形成

18、的夾角為正，反之為負。 7/24/202247四、根本應(yīng)力公式 任意角度截面的應(yīng)力計算公式最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的表達式 最大主應(yīng)力與作用面的夾角7/24/202248圖3-25 二維的應(yīng)力狀態(tài) 3.5.2 最大正應(yīng)力強度理論一、實質(zhì) 材料破壞取決于絕對值最大的正應(yīng)力。因此，對于作用于巖體的三個主應(yīng)力 ，只要有一個主應(yīng)力到達巖體或巖石的單軸抗壓強度或單軸抗拉強度，巖體或巖石就會破壞。二、強度條件 其中： 巖體或巖石單軸抗壓強度及單軸抗拉強度的泛稱。 7/24/202249或 三、應(yīng)用條件 本理論只適用于巖體單向受力狀態(tài)或者脆性巖石在二維應(yīng)力條件下的受力狀態(tài)，所以對于處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)中的巖體不宜

19、采用這種強度理論。3.5.3 最大正應(yīng)變強度理論一、實質(zhì) 材料破壞取決于最大正應(yīng)變，材料發(fā)生張性破壞的原因是由于其最大正應(yīng)變到達或超過一定的極限應(yīng)變所致。所以只要巖體中任意一方向的最大正應(yīng)變到達其單軸壓縮或單軸拉伸破壞時的應(yīng)變值時，巖體或巖石就會破壞。 7/24/202250二、強度條件 式中： 根據(jù)廣義虎克定律求出； 由巖體或巖石單軸壓縮或單軸拉伸試驗確定。 或由廣義虎克定律，可寫成如下形式： 其中： 三個主應(yīng)力； 巖體泊松比； 泛指巖體單軸抗壓強度及單軸抗拉強度。3應(yīng)用條件 本強度理論只適用于無圍壓或低圍壓條件下的脆性巖石或巖體，而不宜用于巖體的塑性變形。 7/24/2022513.5.4

20、 最大剪應(yīng)力強度理論 一、實質(zhì) 材料的破壞取決于最大剪應(yīng)力。即當巖體所承受的最大剪應(yīng)力到達其極限剪應(yīng)力時，巖體便發(fā)生剪切破壞。二、強度條件 或者可寫成如下解析形式：三、應(yīng)用條件 本理論比較適合巖體彈塑性分析，但這種強度理論沒有考慮中間主應(yīng)力的影響。 7/24/202252或 3.5.5 庫侖準那么一、實質(zhì) 巖石的破壞主要是剪切破壞。巖石的強度即抗摩擦強度，等于巖石本身粘結(jié)力和剪切面上的法向力產(chǎn)生的摩擦力。二、強度條件庫侖準那么的莫爾應(yīng)力圓直觀圖解 應(yīng)力摩爾圓方程 7/24/202253圖3-26 坐標下庫侖準那么 三、庫倫-摩爾圓的力學(xué)意義 1.如果應(yīng)力圓上的點落在強度曲線AR之下，那么說明該

21、點表示的應(yīng)力還沒有到達材料的強度值，故材料不會破壞； 2.如果應(yīng)力圓上的點超過了該區(qū)域，那么說明該點表示的應(yīng)力已超過了材料的強度并發(fā)生破壞； 3.如果應(yīng)力圓正好與強度曲線相切，那么說明材料處于極限平衡狀態(tài)，巖石所產(chǎn)生的剪切破壞將可能在該點所對應(yīng)的平面上發(fā)生。四、定義 破斷角是指最大主應(yīng)力方向與剪切面間的夾角。 由圖3-26可得： 7/24/202254五、一些重要關(guān)系 由圖3-26可知 假設(shè)用平均主應(yīng)力 和最大剪應(yīng)力 表示，那么上式變?yōu)椋?另外還可以得到： 7/24/202255 假設(shè)令 ，那么極限應(yīng)力 為巖石的單軸抗壓強度 ，即： 利用三角恒等式有： 根據(jù)上三式可得： 7/24/202256

22、3.5.6 莫爾強度理論一、實質(zhì) 材料性質(zhì)本身也是應(yīng)力的函數(shù)。且指出“到極限狀態(tài)時，滑動面上的剪應(yīng)力到達一個取決于正應(yīng)力與材料性質(zhì)相關(guān)的最大值?？捎煤瘮?shù)關(guān)系表示： 二、函數(shù)曲線的力學(xué)意義 1.表示對應(yīng)于各種應(yīng)力狀態(tài)下的破壞莫爾應(yīng)力圓的包絡(luò)線，即各破壞莫爾圓的外公切線，稱為莫爾強度包絡(luò)線。所謂莫爾強度包絡(luò)線就是指由各極限應(yīng)力圓的破壞點所組成的軌跡線。 7/24/202257 2. 這條曲線可以判斷巖石中一點是否發(fā)生剪切破壞，如果應(yīng)力圓與包絡(luò)線相切或相割，那么研究點將產(chǎn)生破壞；如果在包絡(luò)線下方，那么不會產(chǎn)生破壞。 3.包絡(luò)線形式有：直線型、二次拋物線型、雙曲線型等，其中直線型與庫侖準那么根本一致，

23、可以說，庫侖準那么是莫爾準那么的一個特例。 7/24/202258圖3-27 完整巖石的莫爾強度曲線 a單向抗拉；b-單向抗壓；c-三向受壓 三、二次拋物線型 1.包絡(luò)曲線圖7/24/202259圖3-28 二次拋物線型強度包絡(luò)線 2.函數(shù)形式式中： 巖石的單軸抗拉強度；n待定系數(shù)。利用圖3-28，有以下關(guān)系式：并且有： 7/24/202260 利用上兩式，得二次拋物線型包絡(luò)線的主應(yīng)力表達式為： 在單軸壓縮條件下，有 那么可解得待定系數(shù)n，即： 因此，利用以上各式，可判斷巖石試件是否破壞。 7/24/202261四、雙曲線型 函數(shù)表達式：式中： 包絡(luò)線漸近線的傾角， 。五、適用范圍 1.二次拋物線形的比較適合巖性為中軟以下的