控制工程基礎課件湯柄新習題解xtj

1、第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法5-1 設閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)為(s) ，試根據(jù)頻率特性的定義證明：系統(tǒng)輸入信號為余弦函 ) 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為css (t) A | ( j) | cost ( j ) 。數(shù) r( 90o ) ，證明：根據(jù)三角定理，輸入信號可表示為r(css (t) A | ( j ) | sin t ( j ) 90o ，css (t) A | ( j) | cost ( j ) 。根據(jù)頻率特性的定義，有根據(jù)三角定理，得證：5-2 若系統(tǒng)的階躍響應c(t) 11.8e4t 0.8e9t ，試確定系統(tǒng)的頻率特性。361， G(s) 3636， G( j) 解： C(s) ；

2、(4 j )(9 j)s2 13s 36 ss 2 13s 36， G( j ) arctan arctan 。36| G( j ) |(16 2 )1/ 2 (81 2 )1/ 24936或： g(t) c&(t) 7.2(e4t e9t ) ； G(s) Lg(t) 5-3 設系統(tǒng)如下圖所示，試確定輸入信號r(t) sin(t 30o ) cos(2t 45o )作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess (t) 。；s2 13s 36R(s)1E(s)C(s)s 1_s 1；解： (s) r(t) sin(t 30o ) sin(2t 45o )es 2| e ( j) | 0.6325 ， ( j)

3、 45o 26.6o 18.4o ；| e ( j2) | 0.7906 ， ( j2) 63.4o 45o 18.4o ；： ess (t) 0.6325sin(t 48.4o ) 0.7906sin(2t 63.4o ) 。5-4 典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 2G(s) n ，s(s 2n )當取 r(t) 2sin t 時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為css (t) 2sin(t 45o ) ，試確定系統(tǒng)參數(shù)n 和 。 2解： (s) n ；s 2 2ns 2n 222n n 1，2n 1，arctan n 45 ；o( 2 1)2 4 2 2 2 1nn2 1.414 ， 2 / 4 0.3536

4、 。n： n 5015-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s) K ( s 1) ， K , ,T 0 ，s2 (Ts 1)試分析并繪制 T 和T 情況下的概略幅相曲線。解：A1 K 2 3 (T 2 2 )1/ 2 ； A2 K T ； A3 KT (T 2 2 )1/ 2 ；其中m arctan0.5( T )( T )1/ 2 ；1 45o arctan(T / ) ；ImIm0+ Re00 Re0+ TT 0K (1 j)K (1T 2 )K (T )K (T )KjT ) 2 (1 T 2 2 ) j 2 (1 T 2 2 ) 2參考： G( j ) 2 (1j。5-6 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函

5、數(shù)1G(s) ，sv (s 1)(s 2)試分別繪制v 1,2,3,4 時的概略開環(huán)幅相曲線。解： | G( j0) | ， G( j0) v 90o ； | G( j) | 0 ， G( j) (v 2) 90o ；| G( j ) | v (1 2 )1/ 2 (4 2 )1/ 2 和G( j ) v 90o arctan arctan 0.5 都是遞減函數(shù)。所有幅相曲線的終止相角均小于起始相角 180o，以 (v 2) 90o 趨于原點。v = 1v = 2v = 3v = 4當v 1 時，有 2 2 ， | G( j) | 0.204 ，與負實軸有交點(0.204, j0) 。x5-7

6、 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)xK (1)T s G(s) ， K ,T ,T 0 ，212s(T s 1)1當取 1 時， G( j) 180o ， | G( j) | 0.5 。當輸入為0.1。試寫出G( j ) 的表達式。解：據(jù)題義有下列結(jié)果，速度信號時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為502 TT |G(j)|G(j)01/(T)-1/21/TA1A2A30-180o -180o+1 -180o+m -180o+1 -180o01/T(T)-1/21/A3A2A10-180o -180o+1 -180o+m -180o+1 -180oK 10 ； arctanT2 90o arctanT1 180o ；10(

7、1 T 2 )1/ 2 0.5(1 T 2 )1/ 2 ；21arctan(T1 T2 ) /(1 T1T2 ) 90o ， T1T2 1； T1 20 ， T2 0.05 。10(1 j0.05 )j(1 j20 )G( j ) 所求的表達式為。5-8 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)10G(s) ，s(2s 1)(s2 0.5s 1)試分別計算 0.5 和 2 時，開環(huán)頻率特性的幅值| G( j) | 和相位G( j ) 。解： 0.5 ，10| G( j ) | 17.89 ， G( j) 90o 45o 18.4o 153.4o ；0.51.414 0.791 2 ，| G( j ) |10 0.

8、383 ， G( j ) 90o 76.0o 180o 18.4o 327.6o 。2 4.123 3.1625-9 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)10G(s) ，s(s 1)(0.25s2 1)試繪制系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線。Im 2 222.5解：參考： G( j ) 2 j 2 Re 0 25-10 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)s 1G(s) ， 1 11ss 1s s 12 293選擇頻率點，列表計算對應的幅值與相位，繪制對數(shù)幅頻特性曲線和相頻特性曲線。解：(過于煩瑣，繪制漸近幅頻特性)-20310.37-90-180-27050312-60000.250.51|G(j)|4.1052.1991.403G

9、(j)-90o-88.0o-87.2o-92.1o2310.37|G(j)|0.9110.5850.0120G(j)-121.8o-164.7o-180o-270o0124|G(j)|8.1650.3500G(j)-90o-135o-141.3o-321.3o-346.0o-360o5-11 繪制下列開環(huán)傳遞函數(shù)的對數(shù)漸近幅頻特性曲線：2200(1) G(s) (2) G(s) ；(2s 1)(8s 1)s2 (s 1)(10s 1)10(s 2 / 400 s /10 1)8(s / 0.11)(3) G(s) ；s(s 2 s 1)(s / 2 1)(4) G(s) 。s(s 1)(s /

10、 0.11)解：(1) 1 0.125 ， 2 0.5 ；1 0.1 ， 2 1；(2)(4)(3) 1 0.1 ， 2 1， 3 2 ；1 0.1 ， 2 1， 3 20 ；-2038db0-4006db-20c0.5-600.112c0.125-40(1)(3) 40db -20 66db -40-40-60c200.11-60-800.11c-20(2)(4)5-12 已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)漸近幅頻特性如下試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。dbdbdb20-404020040-20100-400-200-20-2010110(c)-2040(a)(b)K 100T2；， 0.1；K (T2s 1

11、)G(s) 解：(a)(T1s 1)(T3s 1)100(0.1s 1)T3 0.01T1 100G(s) 。(100s 1)(0.01s 1)K 100；10 ， T1 0.316K (T1s 1), 100G(s) (b)； 102T 0.00316s 2 (T s 1)122100(0.316s 1)G(s) 。s2 (0.00316s 1)Ks 2K 10T1 1G(s) (c)；，； T s 1)(T s 1) 0.05T2 0.1s 2(T2 211210s2G(s) 。(s2 0.1s 1)(0.1s 1)504-201005-13 試用 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判斷題 5-5、

12、5-6 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：題 5-5 中， P 0 ； T 時，T 時，題 5-6 中， P 0 ； v 1 時，v 2,3,4 時，Nyquist 曲線G 不包圍臨界點，系統(tǒng)穩(wěn)定； Nyquist 曲線G 包圍臨界點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 Nyquist 曲線G 不包圍臨界點，系統(tǒng)穩(wěn)定；Nyquist 曲線G 包圍臨界點，系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-14 已知下列系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(所有參數(shù)均大于 0)KK(1) G(s) G(s) ；(2)；(T1s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)s(T1s 1)(T2s 1)K (T1s 1)K(3) G(s) G(s) ；(4)；s2 (Ts 1)s 2 (T2 s

13、 1)K (T5s 1)(T6s 1)K(5) G(s) ；G(s)7()；s(T1s 1)(T2 s 1)(T3s 1)(T4 s 1)s3G(s) K (T1s 1)(T2 s 1)KG(s) (6)(8)；s3Ts 1KK(9) G(s) G0(s) 1()；。 Ts 1s(Ts 1)及其對應的幅相曲線分別如下圖所示，應用 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判斷各系統(tǒng)的穩(wěn)定性，若閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)在 S 平面右半部的閉環(huán)極點數(shù)。jjjjj-1|-1|-1|-1(2)|-1(1)(3)(4)(5)j-1|jjjj-1|-1|-1|-1|(6)(7)(8)不穩(wěn)定；不穩(wěn)定；不穩(wěn)定；穩(wěn)定； 不穩(wěn)定；(9)

14、(2) P 0 ， R 0 ；(4) P 0 ， R 0 ；(6) P 0 ， R 0 ；(8) P 1， R 1；(10) P 1， R 1， Z 2 ；(10)解：(1) P 0 ， R 2 ， Z 2 ；(3) P 0 ， R 2 ， Z 2 ；(5) P 0 ， R 2 ， Z 2 ；(7) P 0 ， R 0 ；(9) P 1， R 0 ， Z 1 ；穩(wěn)定；穩(wěn)定；穩(wěn)定；穩(wěn)定；不穩(wěn)定。注：第(6)小題的幅相曲線未包圍臨界點。應用穩(wěn)定判據(jù)能夠說明閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的：圖中G( j ) 曲線與負實軸交點處 (TT )1/ 2 ，且| G( j ) | 1，得到 KT T (T T ) 1 。1

15、1 211 212試用 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判斷題 5-9 系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解： P 0 ， R 2 ，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)Ks(Ts 1)(s 1)G(s) 0 ， K ,T 505試用 Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定條件：T 2 時， K 值的范圍；K 10 時， T 值的范圍；K 、T 值的范圍。解：(計算G( j ) 與虛軸的交點是解該題的要點，即計算臨界穩(wěn)定條件)G( j 180o ， | G( j x ) | 1 ； x T 1/ 2 ， KT /(1 T ) 1；o(1) T 2 時， 0 K 1.5 ；(2) K 10 時， 0 T 1/ 9 ；(3

16、) 0 K (1 T ) / T 。5-17 試用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判定題 5-10 系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：采用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判， P 0 ，且在20log | G( j) | 0 區(qū)，相頻曲線未穿越180o 線，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。采用穩(wěn)定判斷，1 2| G( j ) | c 1 ；c1 0.25(1 / 9) / 92222ccccc 1.7 ， 180o G( jc ) 69.3o ；G( j ) | arctan 90o arctan 0.5 arctan27 /(81 2 ) 180o ；ggggg 107.50688(162 29 2 )(134 2 ) 2ggg 90o ，解得，garct

17、an，162 106 2 4 10.36855ggg10.421| G( j ) | 0.0118 ； 20log K 20log 38.56 ；gg10.37 7.40 11.480.0118最小相位系統(tǒng)， 0o 且20log Kg 0 ，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。5-18 已知兩個最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)相頻特性曲線。試分別確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。鑒于改變系統(tǒng)開環(huán)增益可使系統(tǒng)剪切頻率變化，試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時，剪切頻率c 的范圍。 ( )360 ( )180180900c12c01-90-180-360-180-540-270-630-360解：右圖：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； 0 c 1 ， 2 c ；左圖：閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)

18、定； 0 c 1 。5-19 若反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為Ke0.8sG(s) ，s 1試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時的 K 值范圍。506解：計算臨界點， G( jc ) 0.8 arctan ， | G( jc ) | Kc /(1 2 )1/ 2 1 ；cccc 2.44822 ， Kc 2.64458 ；使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值范圍： 0 K 2.64 。5-20 設反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5s 2e sG(s) ，(s 1)4試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的 值范圍。解：計算臨界點， | G( jc ) | 5 2 /(1 2 )2 1， G( j ) 4arctan ；cccc ccc 0.618 ， (c 1.6

19、18) ， c 1.5 。使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時的 值范圍： 0 1.5 。5-21 設反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s) as 1 ，s 2試確定相角為 45o 時參數(shù) a 的值。解： 180o arctan ac 180o 45o ， ac 1 ；(1 a2 2 )1/ 2 / 2 1， 2 21/ 2 ；ca 0.8409 。cc5-22 對于典型二階系統(tǒng)，已知參數(shù)n 3 ， 0.7 ，試確定剪切頻率c 和相角 2。解：典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s) n ；s(s 2n )據(jù)| G( j ) | 1， (c )4 4 2 (c )2 1 0 ；cnnc n ( 4 4 1 2 2 )1/ 2 ； arctan2 ( 4 4 1 2 2 )1/ 2 ；： c 1.94455 ， 65.16o 。5-23 對于典型二階系統(tǒng)，已知 15% ， ts 3s ，試計算剪切頻率c 和相角。解： exp /(1 2 )1/ 2 0.15 ， 0.517 ； ts 3/(n ) 3， n 1.934 ；應用 5-22 題的結(jié)果：c n ( 4 4 1 2 2 )1/ 2 ； arctan2 ( 4 4 1 2 2 )1/ 2 ；： c 1.497 ， 53.18o 。5-24 根據(jù)題 5-11 所繪漸近幅頻特性曲線，近似確定剪切頻率c ，并由此確定相角解：(1)