數(shù)學第九章課件

1、數(shù) 學（第3冊）第九章 平 面 向 量向量的概念第一節(jié)向量的線性運算第二節(jié)向量的坐標表示第三節(jié)向量的數(shù)量積第四節(jié)向量的應用第五節(jié)向量的概念第 一節(jié)一、 向量的概念如圖9-1所示，當人用力推一個箱子的時候，根據(jù)初中所學的物理知識我們知道，箱子在水平方向上受到的推力及地面給箱子的摩擦力，這兩個力不但有數(shù)值的大小，而且還有方向.圖 9-1一、 向量的概念在生活中，還有哪些量是數(shù)量？哪些量是向量呢？ 想一想一、 向量的概念在現(xiàn)實生活中，存在兩種類型的量.一種只有數(shù)值的大小而沒有方向，它們可以用實數(shù)表示，如質量、時間、體積、溫度等；而另外一種量不僅有數(shù)值的大小，而且還有方向，如力、速度、位移等.為了區(qū)分

2、這兩種量，我們把只有數(shù)值大小的量叫作數(shù)量（或標量），把既有大小又有方向的量叫作向量（或矢量）.一、 向量的概念平面上帶有指向的線段（有向線段）叫作平面向量，線段的指向就是平面向量的方向，線段的長度表示平面向量的大小.有向線段的起點叫作平面向量的起點，有向線段的終點叫作平面向量的終點.如圖9-2所示，以點A為起點，點B為終點的向量記作AB,也可以使用小寫黑體英文字母表示，記作a，手寫時為了區(qū)分應在字母上加箭頭，如 .向量的長度叫作向量的模，向量a，AB的模依次記作a，AB.向量的模是一個非負數(shù).圖 9-2一、 向量的概念當向量的終點和起點重合時，向量便成為一個點，我們稱它為零向量，記作0.零向量

3、的模等于0，即0=0.零向量的方向是任意的.規(guī)定：所有的零向量都相等.模為1的向量叫作單位向量.如圖9-3（a）所示，如果兩個向量的模相等，方向也相同，那么我們就說這兩個向量相等.向量a與b相等，記作a=b.如圖9-3（b）所示，如果兩個向量的模相等，方向相反，那么我們就說這兩個向量互為相反向量，a的相反向量記作-a.規(guī)定：零向量的相反向量仍為零向量.一、 向量的概念圖 9-3一、 向量的概念方向相同或相反的兩個非零向量叫作互相平行的向量,向量a與b平行記作ab.規(guī)定：零向量與任何一個向量都平行.由于任意一組互相平行的向量都可以平移到同一條直線上，因此互相平行的向量又叫作共線向量.一、 向量的

4、概念【例1】圖 9-4一、 向量的概念一、 向量的概念學習提示兩個向量是否相等與它們的起點無關，只由它們的模和方向決定.一 向量的概念【例2】圖 9-5一、 向量的概念解 根據(jù)平行四邊形的性質，得向量的線性運算第 二節(jié)在上一節(jié)中，我們學習了向量的概念.現(xiàn)在我們考慮向量之間是否能像數(shù)與式那樣進行運算呢？如果可以進行某些運算，那么這些運算又遵循什么運算法則呢？在這節(jié)內容中，我們將學習這方面的知識. 一個動點由點A位移到點B，又由點B位移到點C，那么一定存在一個從點A到點C的位移與兩次連續(xù)位移的結果相同，如圖9-8所示.這時，位移AC叫作位移AB與位移BC的和，記作AC=AB+BC.圖 9-8一、

5、平面向量的加法從位移求和，我們可以引出下述向量的加法法則：一般地，設向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A，首尾相接地作AB=a,BC=b，如圖9-9所示，則向量AC叫作向量AB與向量BC的和，記作a+b，即 a+b=AB+BC=AC. (9-1)圖 9-9一、 平面向量的加法向量a+b與向量b+a相等嗎？自己動手畫圖說明一下. 想一想一、 平面向量的加法求向量的和的運算叫作向量的加法.上述求向量和的方法叫作向量加法的三角形法則.當向量a與向量b共線時，首尾相接地作AB=a,BC=b，同樣可以得到a+b=AC.如圖9-10（a）所示，表示向量a與向量b方向相同時的情形；如圖9-10（b）所示

6、，表示向量a與向量b方向相反時的情形.圖 9-10一、 平面向量的加法在圖9-9中，如果仍以A為起點，作向量AD=b，如圖9-11所示.則由AD=BC可知，四邊形ABCD為平行四邊形.再根據(jù)三角形法則得圖 9-11一、 平面向量的加法一、 平面向量的加法【例1】圖 9-12一、 平面向量的加法圖 9-13一、 平面向量的加法一、 平面向量的加法課堂練習二、 平面向量的減法與數(shù)的運算類似，可以將向量a與向量b的負向量的和定義為向量a與向量b的差，即ab=a+(b).根據(jù)向量加法的三角形法則，向量a與向量b的差也可以這樣去求：在平面上任選一點A，作向量AB=a,AC=b，則向量CB就是所求的差ab

7、，如圖9-14所示.圖 9-14二、 平面向量的減法當向量a和向量b共線時，如何畫圖作出a-b？ 想一想二、 平面向量的減法由圖9-14可知，起點相同的兩個向量a,b，它們的差ab仍然是一個向量，叫作向量a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點，即 (9-2)二、 平面向量的減法怎樣用平行四邊形法則求向量a與b的差？ 想一想二、 平面向量的減法【例2】圖 9-15二、 平面向量的減法【例3】圖 9-15二、 平面向量的減法課堂練習三、平面向量的數(shù)乘運算實數(shù)與向量a的一個積是一個向量，叫作數(shù)乘向量，記作a，它的模為a= a.（9-3）一般地， 有（1）0a=0,0=0；（2

8、）當a0時，若0，則a的方向與a的方向相同，若0，則a的方向與a的方向相反.實數(shù)與向量的乘法運算叫作向量的數(shù)乘運算.三、平面向量的數(shù)乘運算和實數(shù)之間相乘一樣，對于任意的向量a,b及實數(shù),，向量的數(shù)乘運算滿足下列運算律：（1）()a=(a)=(a)；（2）(+)a=a+a；（3）(a+b)=a+b.向量的加法、減法以及數(shù)乘向量運算都叫作向量的線性運算.三、平面向量的數(shù)乘運算在第一節(jié)中，我們知道了向量平行的概念，因此結合向量平行與數(shù)乘向量的含義，我們可以得到如下的結論：設a,b為兩個非零向量，如果存在非零實數(shù)，使得b=a，那么ab；反之，如果ab，那么一定存在一個非零實數(shù)，使得b=a.一般地，a+

9、b（,均為實數(shù)）叫作a,b的一個線性組合.如果l=a+b，則稱l可以用a,b線性表示.三、平面向量的數(shù)乘運算【例4】三、平面向量的數(shù)乘運算【例5】三、平面向量的數(shù)乘運算【例6】三、平面向量的數(shù)乘運算對于非零向量a,b,|a+b|和|a|+|b|一定相等嗎？為什么？ 想一想三、平面向量的數(shù)乘運算【例7】圖 9-17三、平面向量的數(shù)乘運算三、平面向量的數(shù)乘運算課堂練習向量的坐標表示第 三 節(jié)第 三 節(jié) 向量的坐標表示我們知道，在平面直角坐標系中，平面內的每一點都可以用一對有序實數(shù)來表示，這對實數(shù)就是這個點的坐標.同樣，在平面直角坐標系中，每一個平面向量也可以用一對實數(shù)來表示.設在平面直角坐標系中，

10、x軸的單位向量為i，y軸的單位向量為j，則x軸上的向量表示成xi，y軸上的向量表示成yj，其中x,y分別是它們在數(shù)軸上的坐標.第 三 節(jié) 向量的坐標表示如圖9-18（a）所示，OA為從坐標軸原點出發(fā)的向量，點A的坐標為(x,y)，則OM=xi,ON=yj.由平行四邊形法則得OA=OM+ON=xi+yj.圖 9-18第 三 節(jié) 向量的坐標表示學習提示起點在原點的向量稱為位置向量.第 三 節(jié) 向量的坐標表示如圖9-18（b）所示，設點A(x1,y1),B(x2,y2)，則 AB=OBOA=(x2i+y2j)(x1i+y1j)=(x2x1)i+(y2y1)j.由此可知，對任意一個平面向量a，都存在一

11、對有序實數(shù)(x,y)，使得 a=xi+yj.有序實數(shù)對(x,y)叫作向量a的坐標，記作a=(x,y).第 三 節(jié) 向量的坐標表示【例1】第 三 節(jié) 向量的坐標表示【例2】如圖9-19所示，分別用基底i,j表示向量OM，ON，MN，并寫出它們的坐標.圖 9-19第 三 節(jié) 向量的坐標表示第 三 節(jié) 向量的坐標表示【例3】第 三 節(jié) 向量的坐標表示課堂練習第 三 節(jié) 向量的坐標表示圖 9-20第 三 節(jié) 向量的坐標表示一般地，在平面直角坐標系中，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，則a+b=(x1+x2,y1+y2); (9-4)ab=(x1x2,y1y2); (9-5)a=(x1,y1).

12、(9-6)第 三 節(jié) 向量的坐標表示【例4】第 三 節(jié) 向量的坐標表示課堂練習第 三 節(jié) 向量的坐標表示在第二節(jié)中，我們知道對于兩個非零向量a、b，當0 時，有ab=a=b.那么如何用向量的坐標來判斷兩個向量是否共線呢？設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，如果a=b，則有x1=x2,y1=y2，所以x1y2=x2y1，即x1y2=x2y1.因此我們得到對于非零向量a、b，設a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，當0時，有ab=x1y2x2y1=0.（9-7）第 三 節(jié) 向量的坐標表示同理，我們也可以通過向量的坐標確定兩個向量相等，即有下面的結論：（1）如果兩個向量的橫坐標、縱坐標分別相

13、等，那么這兩個向量相等；（2）如果兩個向量相等，那么它們的橫坐標、縱坐標都分別相等.第 三 節(jié) 向量的坐標表示【例5】第 三 節(jié) 向量的坐標表示課堂練習向量的數(shù)量積第 四 節(jié)一、平面向量的內積在物理學中，我們經(jīng)常會遇到這樣的問題:如圖9-21所示，水平地面上有一個小車，某個人用10 N的拉力F，沿著與水平方向成30角的方向拉小車，使得小車前進了10 m，求這個人做了多少功？根據(jù)物理學知識，我們知道拉力F所做的功W為一、平面向量的內積圖 9-21上述的功W是一個數(shù)量，它由向量F和S的模及其夾角余弦的乘積來確定.一、平面向量的內積學習提示兩個向量的內積是一個實數(shù)，可能是正數(shù)，可能是負數(shù)，也可能是零

14、.一、平面向量的內積如果a、b為兩個非零向量，作OA=a,OB=b，則把射線OA與OB所形成的角叫作向量a與向量b的夾角，記作.顯然0180，且=.兩個向量a、b的模與它們的夾角的余弦的積叫作向量a與b的內積，記作ab，即ab=abcos. （9-8）一、平面向量的內積一、平面向量的內積（5）=90時，ab，則ab=abcos90=0，因此對非零向量a、b，有ab=0ab.我們也可以知道內積滿足下面的運算律：（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc.一、平面向量的內積學習提示向量的內積運算不滿足結合律，即(ab)ca(bc).一、平面向量的內積【例1

15、】一、平面向量的內積課堂練習二、向量內積的坐標表示在平面直角坐標系中，向量a的坐標為(x1,y1)，向量b的坐標為(x2,y2)，i、j分別為x軸、y軸上的單位向量，則a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.由于ij，所以ij=0，又i=j=1，所以ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j)=x1x2ii+x1y2ij+x2y1ij+y1y2jj=x1x2i2+y1y2j2=x1x2+y1y2.二、向量內積的坐標表示這就是說，兩個向量的內積等于它們對應坐標乘積的和，即兩個非零向量a（x1,y1）、b(x2,y2)的內積為 ab=x1x2+y1y2. （9-9）利用式（9-9）可以計算向量的模.

16、設a=(x1,y1)，則 a=aa=x1+y1. （9-10）二、向量內積的坐標表示二、向量內積的坐標表示【例3】二、向量內積的坐標表示【例4】二、向量內積的坐標表示【例5】二、向量內積的坐標表示課堂練習向量的應用第 五 節(jié)一、向量在幾何中的應用舉例 向量是既有大小又有方向的量，它既有數(shù)字特征，又有幾何特征.通過向量可以實現(xiàn)代數(shù)問題與幾何問題的相互轉化，所以向量是數(shù)形結合的橋梁.一、向量在幾何中的應用舉例學習提示遇到長度問題時，需要考慮向量的數(shù)量積一、向量在幾何中的應用舉例【例1】圖 9-22一、向量在幾何中的應用舉例一、向量在幾何中的應用舉例即平行四邊形的兩條對角線長度的平方和等于兩條鄰邊長

17、度平方和的二倍.一、向量在幾何中的應用舉例【例2】圖 9-23一、向量在幾何中的應用舉例一、向量在幾何中的應用舉例同理可證BH與BE共線，CH與CF共線，因此，AD，BE，CF相交于一點.一般地，用向量方法解決幾何問題時，一般步驟如下：(1)建立幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素(如點、線段、夾角等)，將幾何問題轉化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等；(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系二、向量在物理中的應用舉例在物理中，力、速度等都是既有大小又有方向的量，因此，向量是解決許多物理問題的有力工具二、向量在物理中的應用舉例【例3】圖 9-24二、向

18、量在物理中的應用舉例二、向量在物理中的應用舉例【例4】二、向量在物理中的應用舉例圖 9-25二、向量在物理中的應用舉例過點B作東西基線的垂線，交于AC于D，則ABD為正三角形，所以BD=AD=AB=1 000 km，又AC=2 000 km，所以CD=1 000 km，故CD=BD，所以CBD=BCD=12BDA=30，二、向量在物理中的應用舉例二、向量在物理中的應用舉例 一般地，用向量方法解決物理問題時，一般步驟如下：(1)相關物理量用幾何圖形表示出來；(3)物理問題抽象成數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題；(3)將數(shù)學問題還原為物理問題閱讀材料歐 幾 里 得歐幾里得(Euclid，前330前275)

19、是古希臘著名數(shù)學家、歐氏幾何學的開創(chuàng)者.歐幾里得生于雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心，其濃郁的文化氣氛深深地感染著歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入“柏拉圖學園”學習.閱讀材料歐幾里得進入學園之后，便全身心地沉潛在數(shù)學王國里.他潛心求索，以繼承柏拉圖的學術為奮斗目標，除此之外，他哪兒也不去，什么也不干，熬夜翻閱和研究了柏拉圖的所有著作和手稿，可以說，連柏拉圖的親傳弟子們也沒有誰能像他那樣熟悉柏拉圖的學術思想和數(shù)學理論.經(jīng)過對柏拉圖思想的深入探究，他得出結論：圖形是神繪制的，所有一切現(xiàn)象的邏輯規(guī)律都體現(xiàn)在圖形之中.因此，他指出，對智慧的訓練，就應該從圖形為主要研究對象的幾何

20、學開始.他確實領悟到了柏拉圖思想的要旨，并開始沿著柏拉圖當年走過的道路，把幾何學的研究作為自己的主要任務，并最終取得了令世人敬仰的成就.閱讀材料最早的幾何學興起于公元前7年的古埃及，后經(jīng)古希臘的人傳到古希臘的都城，又借畢達哥拉斯學派系統(tǒng)奠基.在歐幾里得以前，人們已經(jīng)積累了許多幾何學的知識，然而這些知識當中，存在一個很大的缺點和不足，就是缺乏系統(tǒng)性.大多數(shù)是片斷、零碎的知識，公理與公理之間、證明與證明之間并沒有什么很強的關聯(lián)性，更不要說對公式和定理進行嚴格的邏輯論證和說明.因此，隨著社會經(jīng)濟的繁榮和發(fā)展，特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開發(fā)和利用的增多，把這些幾何學知識加以條理化和系統(tǒng)化，成為一

21、整套可以自圓其說、前后貫通的知識體系，已經(jīng)是刻不容緩，成為科學進步的大勢所趨.閱讀材料歐幾里得早期通過對柏拉圖數(shù)學思想，尤其是幾何學理論系統(tǒng)而周詳?shù)难芯浚衙翡J地察覺到了幾何學理論的發(fā)展趨勢.他下定決心，要在有生之年完成這一工作.為了完成這一重任，歐幾里得不辭辛苦，長途跋涉，從愛琴海邊的雅典古城，來到尼羅河流域的埃及新埠亞歷山大城，為的就是在這座新興的，但文化蘊藏豐富的異域城市實現(xiàn)自己的初衷.閱讀材料在此地的無數(shù)個日日夜夜里，他一邊收集以往的數(shù)學專著和手稿，向有關學者請教，一邊試著著書立說，闡明自己對幾何學的理解，哪怕是尚膚淺的理解.經(jīng)過歐幾里得忘我的勞動，終于在公元前300年結出豐碩的果實，

22、這就是幾經(jīng)易稿而最終定型的幾何原本一書.這是一部傳世之作，正是因為有了它，才第一次實現(xiàn)了幾何學的系統(tǒng)化、條理化，同時又孕育出一個全新的研究領域歐幾里得幾何學，簡稱歐氏幾何. 閱讀材料 幾何原本是一部集前人思想和歐幾里得個人創(chuàng)造性于一體的不朽之作.流傳到今天的歐幾里得著作并不多，然而我們卻可以從這部書詳細的寫作筆調中，窺見他真實的思想底蘊.全書共分13卷，書中包含了5條“公理”、5條“公設”、23個定義和467個命題.在每一卷內容當中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設和定義，然后再由簡到繁地證明它們，這使得全書的論述更加緊湊和明快.而在整部書的內容安排上，也同樣貫徹了

23、他的這種獨具匠心的安排.它由淺到深，從簡至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內容.閱讀材料其中有關窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源.僅僅從這些卷帙的內容安排上，我們就不難發(fā)現(xiàn)，這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學從公元前7世紀的古埃及，一直到公元前4世紀前后總共400多年的數(shù)學發(fā)展歷史.這其中，頗有代表性的便是在第1卷到第4卷中，歐幾里得對直邊形和圓的論述.正是在這幾卷中，他總結和繼承了前人的思維成果，巧妙地論證了畢達哥拉斯定理，也稱“勾股定理”.他的這一證明，從此確定了勾股定理的正確性并延續(xù)了2 000多年.幾何原本是一部在科學史上千古流芳的巨著.閱讀材料它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠古的數(shù)學思想發(fā)揚光大.它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設的基礎上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學演繹體系的最早典范.按照歐氏幾何學的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的.在這種演繹推理中，對定理的每個證明必須或者以公理為