概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)--第五章-大數(shù)定律及中心極限定理課件

1、引言 迄今為止,人們已發(fā)現(xiàn)很多大數(shù)定律(laws of large numbers)，所謂大數(shù)定律，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是大量數(shù)目的隨機(jī)變量所呈現(xiàn)出的規(guī)律，這種規(guī)律一般用隨機(jī)變量序列的某種收斂性來(lái)刻劃。本章僅介紹幾個(gè)最基本的大數(shù)定律。 大量隨機(jī)現(xiàn)象的平均結(jié)果實(shí)際上是與各個(gè)個(gè)別隨機(jī)現(xiàn)象的特征無(wú)關(guān),并且?guī)缀醪辉偈请S機(jī)的了.所有這些事實(shí)都應(yīng)該由概率論作出理論上的結(jié)論. 概率論中用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果的穩(wěn)定性的一系列定理統(tǒng)稱(chēng)為大數(shù)定律.大數(shù)定律是一種表現(xiàn)必然性與偶然性之間的辯證聯(lián)系的規(guī)律.由于大數(shù)定律的作用,大量的隨機(jī)因素的總和作用必然導(dǎo)致某種不依賴(lài)于個(gè)別隨機(jī)事件的結(jié)果. 5.1 大數(shù)定律 討論 “概率

2、是頻率的穩(wěn)定值”的確切含義； 給出幾種大數(shù)定律： 切比雪夫大數(shù)定律 伯努利大數(shù)定律 辛欽大數(shù)定律一、問(wèn)題的引入實(shí)例頻率的穩(wěn)定性隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加, 事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于某個(gè)常數(shù).啟示:從實(shí)踐中人們發(fā)現(xiàn)大量測(cè)量值的算術(shù)平均值有穩(wěn)定性.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出二、基本定理定理一（切比雪夫大數(shù)定律）切比雪夫表達(dá)式的意義證明由切比雪夫不等式可得并注意到概率不能大于1, 則說(shuō)明:（這個(gè)接近是概率意義下的接近）即在定理?xiàng)l件下, n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均, 當(dāng)n無(wú)限增加時(shí), 幾乎變成一個(gè)常數(shù).定理一的另一種敘述:依概率收斂序列的性質(zhì):證明引入隨機(jī)變量伯努利定理二（伯努利大數(shù)定理）顯然根據(jù)定理一有說(shuō)明

3、: 故而當(dāng) n 很大時(shí), 事件發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小. 在實(shí)際應(yīng)用中, 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí), 便可以用事件發(fā)生的頻率來(lái)代替事件的概率.關(guān)于辛欽定理的說(shuō)明:(1) 與定理一相比, 不要求方差存在;(2) 伯努利定理是辛欽定理的特殊情況. 辛欽資料定理三（辛欽定理）切比雪夫資料Pafnuty ChebyshevBorn: 16 May. 1821 in Okatovo, RussiaDied: 8 Dec. 1894 In St Petersburg, Russia伯努利資料Jacob BernoulliBorn: 27 Dec. 1654 in Basel, Switzerland

4、Died: 16 Aug. 1705 in Basel, Switzerland辛欽資料Aleksandr Yakovlevich KhinchinBorn: 19 Jul. 1894 in Kondrovo, Kaluzhskaya guberniya, RussiaDied: 18 Nov. 1959 in Moscow, USSR引言 在隨機(jī)變量的一切可能的分布律中,正態(tài)分布占有特殊重要的地位.實(shí)踐中經(jīng)常遇到的大量的隨機(jī)變量都是服從正態(tài)分布的.就提出這樣的問(wèn)題:為什么正態(tài)分布如此廣泛地存在,從而在概率論中占有如此重要的地位?應(yīng)該如何解釋大量隨機(jī)現(xiàn)象中的這一客觀規(guī)律呢？ 概率論中有關(guān)論證隨

5、機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的定理稱(chēng)為中心極限定理.5.2 中心極限定理 討論獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限分布 本節(jié)指出極限分布為正態(tài)分布獨(dú)立隨機(jī)變量和設(shè) Xn 為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記其和為一、問(wèn)題的引入實(shí)例:考察射擊命中點(diǎn)與靶心距離的偏差. 這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和, 這些因素包括: 瞄準(zhǔn)誤差、測(cè)量誤差、子彈制造過(guò)程方面 (如外形、重量等) 的誤差以及射擊時(shí)武器的振動(dòng)、氣象因素(如風(fēng)速、風(fēng)向、能見(jiàn)度、溫度等) 的作用, 所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨(dú)立的, 并且它們中每一個(gè)對(duì)總和產(chǎn)生的影響不大.問(wèn)題: 某個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立且均勻小的隨機(jī)變量相加而成的, 研

6、究其概率分布情況.二、基本定理定理四（獨(dú)立同分布的中心極限定理）定理四表明:李雅普諾夫定理五(李雅普諾夫中心極限定理)則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量定理五表明:(如實(shí)例中射擊偏差服從正態(tài)分布)下面介紹的定理六是定理四的特殊情況.德莫佛拉普拉斯定理六(德莫佛拉普拉斯定理)定理六表明: 正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布, 當(dāng)n充分大時(shí), 可以利用該定理來(lái)計(jì)算二項(xiàng)分布的概率.下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的逼近.三、典型例題例1 一船舶在某海區(qū)航行, 已知每遭受一次海浪的沖擊, 縱搖角大于 3 的概率為1/3, 若船舶遭受了90 000次波浪沖擊, 問(wèn)其中有29 50030 500次縱搖角大于 3 的概

7、率是多少？例2 某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有1萬(wàn)人參加,每人每年交200元. 若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬(wàn)元. 設(shè)老年人死亡率為0.017,試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)的這項(xiàng)保險(xiǎn)中虧本的概率.例3證例4根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理，四、小結(jié)三個(gè)中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理德莫佛拉普拉斯定理 中心極限定理表明, 在相當(dāng)一般的條件下, 當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)增加時(shí), 其和的分布趨于正態(tài)分布. 李雅普諾夫資料Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia德莫佛資料Abraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 1754 in London, England拉