量子力學(xué)曾謹(jǐn)言第五版第二章講課稿(知識(shí)點(diǎn)) (2)

1、第一章 波函數(shù)與Schrdinger方程1、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋(Wave-function and its statistical interpretation)一、德布羅意的“物質(zhì)波”假說1、德布羅意的“物質(zhì)波”假說(De Broglie matter-waves in 1923）先回憶普朗克的“光量子”假說： , 重新?lián)Q寫一下： 是圓頻率 是波矢量，是由波動(dòng)性決定粒子性。德布羅意假說：微觀粒子也有波動(dòng)性，滿足關(guān)系式： ，稱之為德布羅意關(guān)系，是由粒子性決定波動(dòng)性。 對(duì)于具有確定的能量和動(dòng)量的自由粒子，其對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波是一個(gè)單色的平面波： 平面波是，將德布羅意關(guān)系代入得：，稱為德布羅意波（是復(fù)數(shù)

2、波）。因此，由德布羅意假設(shè)知，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用波函數(shù)表示。物質(zhì)波(matter wave)：與粒子運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的平面波稱為物質(zhì)波或德布羅意波。而一般可計(jì)算得到： 物質(zhì)微粒的波長(zhǎng)，氧原子、DNA分子、電子波長(zhǎng)。只有當(dāng)物質(zhì)波的波長(zhǎng)大于或等于光學(xué)儀器的特征尺度時(shí)，才會(huì)觀察到干涉或衍射現(xiàn)象。通常物質(zhì)微粒的質(zhì)量和動(dòng)量較大，因而德布羅意波長(zhǎng)非常短超出了可測(cè)的范圍而不顯示波動(dòng)性，僅在原子尺度下才能顯示出波動(dòng)性。德布羅意波長(zhǎng)(De Broglie wave-length)的計(jì)算：例1 求做熱運(yùn)動(dòng)的氣體分子的德布羅意波長(zhǎng)。解 溫度為的氣體分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能為，當(dāng)（室溫）時(shí)，分子的動(dòng)能約為，相應(yīng)的物質(zhì)波波長(zhǎng)為。對(duì)

3、于氧分子（），波長(zhǎng)，遠(yuǎn)小于分子的平均自由程，所以分子的熱運(yùn)動(dòng)可作經(jīng)典力學(xué)處理。例2 相對(duì)論情形和非相對(duì)論情形下的德布羅意關(guān)系式。解 (1)、在非相對(duì)論情況下： ；當(dāng)粒子是電子時(shí)，從而 ， 其中。當(dāng)粒子是質(zhì)子或中子時(shí)，從而有。(2)、在相對(duì)論情況下：，其中為粒子的靜止質(zhì)量。 。當(dāng)，則。例3 為什么物質(zhì)的波動(dòng)性在宏觀尺度不顯現(xiàn)？解 由知，原因是普朗克常數(shù)太小，而宏觀尺度的運(yùn)動(dòng)動(dòng)量太小。如考慮一個(gè)的人運(yùn)動(dòng)速度是，則可計(jì)算出對(duì)應(yīng)物質(zhì)波波長(zhǎng)為 。顯然太小，難以引起可以觀測(cè)的物理效應(yīng)。又由知，要減小宏觀尺度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，必須減小動(dòng)能，但從物理上考慮不可能減小到比熱運(yùn)動(dòng)能量更小，所以必須減小質(zhì)量。質(zhì)量的減小對(duì)

4、應(yīng)于尺度的減小。只有把物體尺度減少到微觀尺度，才可能出現(xiàn)較大的物質(zhì)波波長(zhǎng)，從而引起可以觀察到的物理效應(yīng)。2、電子衍射實(shí)驗(yàn) (Davison-Germer 1927) 波動(dòng)性的體現(xiàn)就是衍射、干涉等等。通過觀察這些現(xiàn)象還可以測(cè)量波長(zhǎng)。戴維遜-革末實(shí)驗(yàn) 用鎳做電子衍射實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，證實(shí)了電子確實(shí)有波動(dòng)性，而且波長(zhǎng)與德布羅意的預(yù)言完全一致。此后，使用各種不同的實(shí)物粒子（如電子、原子、分子、原子核、核子等）做波動(dòng)性實(shí)驗(yàn)都證實(shí)了德布羅意假說?？傊?，實(shí)驗(yàn)證明了微觀粒子也有波粒二象性。3. 對(duì)波粒二象性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature)：(1

5、)、幾個(gè)重要的概念(Several important concepts)物質(zhì)波包(Matter wave packet)：指局限于有限空間中的德布羅意波。在數(shù)學(xué)上，可表示為不同波矢的單色平面波的疊加，即 ，式中表示波包中所含波矢為的平面波的波幅。在實(shí)際上，經(jīng)常用到的波包是在波矢域中只占中心波矢周圍的一個(gè)小區(qū)域的單色平面波的疊加，即 。相速度(Phase velocity)： 等相面運(yùn)動(dòng)(或者說，相位不變的點(diǎn)在空間傳播)的速度。例如，方向傳播的平面波中，取相位，則相速度為。如相速與波數(shù)有關(guān)，則波存在色散。相速度是一種視在速度，可能大于光速。對(duì)于和兩種情況，雖然德布洛意關(guān)系相同，但它們的相速度還

6、是有差別的，即 。對(duì)光子而言，相速度是；但對(duì)的粒子而言，相速度大于光速。群速度(Group velocity)：當(dāng)不同頻率和不同相速度的一系列波合成，在一個(gè)區(qū)域發(fā)生很強(qiáng)的相長(zhǎng)干涉時(shí)，群速度是該區(qū)域前進(jìn)的速度； 即波包中心的運(yùn)動(dòng)速度，式中為波包的中心波矢。群速度是真實(shí)信息的傳遞速度，不可能大于光速。相群速度兩者的關(guān)系(The relation between the group velocity and the phase velocity)： 只有當(dāng)不存在色散時(shí)，波包中各成分的相速度相同時(shí)，才有。例 在非相對(duì)論情況下， 自由粒子的能量，利用德布羅意關(guān)系得，。可以證明：粒子的德布羅意波波包的群速

7、度等于粒子的運(yùn)動(dòng)速度； 即 。(2)、波動(dòng)性和粒子性的理解(Comprehension for the dual wave-particle nature)在經(jīng)典理論中，波動(dòng)性和粒子性是兩個(gè)完全不相容的概念， 即： 微粒性：指客體有確定的內(nèi)稟屬性（質(zhì)量、電荷、能量、自旋等），總占有確定的時(shí)空位置，并有確定的運(yùn)行軌道。波動(dòng)性：指可在空間任何地方進(jìn)行傳播的周期性擾動(dòng)（如水波、聲波和電磁波等），總是與某個(gè)物理量隨時(shí)間的周期變化相聯(lián)系。描述波的物理量是頻率和波矢。波動(dòng)的最本質(zhì)特征是能夠產(chǎn)生相干疊加效應(yīng)（干涉和衍射現(xiàn)象）。此外，伴隨波的前進(jìn)，有能量傳播，有能量密度和能流密度。在量子力學(xué)中，德布羅意假設(shè)把

8、“波和粒子”混在一起的觀點(diǎn)是最令人困惑不解的問題。在歷史上，曾經(jīng)出現(xiàn)兩種錯(cuò)誤的理解：(1)、片面夸大波動(dòng)性:波函數(shù)代表粒子的結(jié)構(gòu)，即看作三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包，因而呈現(xiàn)出干涉與衍射等現(xiàn)象。而波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。(2)、片面夸大粒子性: 波動(dòng)性是大量微粒分布于空間形成的疏密波，波函數(shù)代表大量粒子的運(yùn)動(dòng)。波粒二像性的正確理解： 保留經(jīng)典概念的哪些特征不具有經(jīng)典概念的哪些特征粒子性有確定的質(zhì)量、電荷、自旋等沒有確定的軌道(位置和速度)波動(dòng)性有干涉、衍射等現(xiàn)象振幅不直接可測(cè)在與物質(zhì)相互作用過程中呈現(xiàn)粒子性，而在其傳播過程中，以幾率波形式表現(xiàn)波動(dòng)性。二、波函數(shù)

9、的幾率解釋(Probability interpretation of Wave-function)讓我們復(fù)習(xí)一下在概率論中的基本概念。以一組人群的年齡分布為例， 說明離散變量的概率?？紤]由14人組成的一組人群，其年齡分布如下：其中表示年齡為的人數(shù)?？?cè)藬?shù)為： (1)、年齡為的人的概率即。(2)、人數(shù)最多（最大值）的年齡（稱作年齡的最可幾值）為。(3)、年齡的中位數(shù)：23(4)、平均年齡：(5)、年齡平方的平均值：以年齡為變量的函數(shù)的平均值：(6)、標(biāo)準(zhǔn)差：推廣：連續(xù)變量的概率如下： 表示幾率密度，是歸一化的。(1)、在區(qū)間的概率：(2)、變量的平均值（期望值）：(3)、函數(shù)的平均值（期望值）

10、：(4)、標(biāo)準(zhǔn)差： 1、實(shí)驗(yàn)分析(i)、經(jīng)典粒子的雙縫實(shí)驗(yàn)一架機(jī)槍從遠(yuǎn)處向中間隔著一睹有兩孔的墻后的靶點(diǎn)射。當(dāng)2孔睹上，靶上子彈分布為，當(dāng)1孔睹上，靶上子彈的分布為。當(dāng)兩空都開時(shí)，經(jīng)過兩孔的子彈各不相干地一個(gè)一個(gè)打地在靶上，在靶上的密度分布等于兩孔分別開啟時(shí)的密度分布和的和，實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合經(jīng)典力學(xué)。 (ii)、經(jīng)典波（水波）的雙縫干涉實(shí)驗(yàn)如水波通過兩個(gè)縫后，在接收器上的強(qiáng)度分布為、和，。我們是如何解釋這干涉現(xiàn)象呢？只打開縫1時(shí)的水波用描述， 開縫2時(shí)的水波以描述； 當(dāng)雙縫同開時(shí)水波用描述。 強(qiáng)度、以及， 式中、及，而即為干涉項(xiàng)。(iii)、電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的例子。在一個(gè)電子槍膛中裝有個(gè)電子, 三

11、種不同的開縫情形：(1)、若只開一個(gè)縫1(或2)時(shí)，(2)、若兩縫同開時(shí)。實(shí)驗(yàn)事實(shí)如下：(a)、每次接收到的是一個(gè)電子，即電子確實(shí)以一個(gè)整體出現(xiàn)（粒子性）；(b)、對(duì)于每種開縫情形， 都是一次發(fā)射個(gè)電子。則在接收器上某點(diǎn)處接收到的電子數(shù)為（或）；和； 而。這時(shí)電子數(shù)的強(qiáng)度是在接收器上接收到電子的分布， 即、和。(c)、電子槍發(fā)射稀疏到任何時(shí)刻空間至多一個(gè)電子，但足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，也有同樣結(jié)果。相當(dāng)于對(duì)于每種開縫情形，一個(gè)電子重復(fù)發(fā)射次的結(jié)果。此時(shí)，電子數(shù)的強(qiáng)度是一個(gè)電子發(fā)射出去能在接收器上接收電子的幾率分布， 即、和。因此，可得下列結(jié)論：(1)、電子不是經(jīng)典粒子，因?yàn)椋?(2)、電子也不是經(jīng)典波

12、（若是經(jīng)典波應(yīng)是電子密度分布），因?yàn)樵陔娮影l(fā)射非常稀疏時(shí)，也有干涉現(xiàn)象。對(duì)于這種干涉現(xiàn)象類似水波，但兩者有本質(zhì)區(qū)別； 前者是強(qiáng)度，后者是接收到電子的分布。這啟發(fā)我們，引入復(fù)函數(shù)和來描述電子的雙縫干涉現(xiàn)象，此時(shí) ， 稱和為波函數(shù)（描述粒子波動(dòng)性的函數(shù)稱為波函數(shù)），而接收器上某位置電子的幾率用波函數(shù)的模平方來表征。2、波函數(shù)的引入(Introduction of wave-function )在電子雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中，電子通過狹縫表現(xiàn)出的波動(dòng)性是許多電子在同一實(shí)驗(yàn)中顯示的統(tǒng)計(jì)結(jié)果, 或一個(gè)電子在多次相同實(shí)驗(yàn)中的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)電子總是“一點(diǎn)一點(diǎn)”地打到接收器上，這表明在接收器上測(cè)量電子的位置時(shí)，電

13、子又表現(xiàn)出了粒子性。玻恩提出“幾率波”的概念把微粒性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來。對(duì)于一般狀態(tài)的微觀粒子， 可用一個(gè)以時(shí)間和空間位變量的復(fù)函數(shù)來描述，稱之為波函數(shù)。波函數(shù)是微觀粒子波粒二象性的表現(xiàn)。3、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋(Statistical interpretation of wave-function/ Born/1926)波函數(shù)的概率詮釋：波函數(shù)在某點(diǎn)的強(qiáng)度(絕對(duì)值的平方)與在該點(diǎn)找到粒子的幾率密度。波函數(shù)本身稱為幾率振幅。由波函數(shù)還可以決定粒子的其它各種物理可觀測(cè)量(以后講)。所以波函數(shù)完全描述了微觀粒子(或量子體系)的狀態(tài)，這種描述本質(zhì)上具有統(tǒng)計(jì)的特征。(1)、量子力學(xué)的基本假設(shè)之一(Basic

14、 postulate I of quantum mechanics)微觀粒子的任意狀態(tài)， 都可用一個(gè)波函數(shù)來描述，其模方代表粒子空間分布的幾率密度。(2)、歸一化條件（The Normalization condition）按照幾率解釋，時(shí)刻在區(qū)域內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為：。由于整個(gè)空間中，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率之和應(yīng)為， 所以，波函數(shù)應(yīng)該滿足 。若波函數(shù)滿足上述條件，則稱該波函數(shù)已歸一化。注意： 只有當(dāng)波函數(shù)歸一化后，才能說是幾率。否則, 在區(qū)域中，發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為 若，則歸一化的波函數(shù)取為(可差一相因子，為實(shí)數(shù))。此時(shí), 才代表在區(qū)域中發(fā)現(xiàn)粒子的幾率。特殊說明(1)、平方可積函數(shù)的波函數(shù)是可歸一化的，它

15、仍然有一個(gè)位相因子不能確定。(2)、有些波函數(shù)(連續(xù)本征值對(duì)應(yīng)的波函數(shù))不能(有限地)歸一化。例如平面波、等。例1 設(shè)，為常數(shù)，求歸一化常數(shù)A。解 由得，即。例2 若在區(qū)域上（為的概率密度），求的平均值和最可幾值。解 利用公式：得：，由一階導(dǎo)數(shù)求極值：。由二階導(dǎo)數(shù)確定極大值：。由此可知：當(dāng)時(shí)，概率密度最大，所以，的最可幾值為。例3 設(shè)用球坐標(biāo)表示粒子的波函數(shù)為, 求: (1)、粒子在球殼中被找到的幾率, (2)、在方向的立體角元內(nèi)找到粒子的幾率。解 在球坐標(biāo)系中，體積元為。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，在體積元內(nèi)找到粒子的幾率為。(1)、粒子在球殼中被找到的幾率，應(yīng)把立體角方向積分掉，即 ,(2)、在

16、方向的立體角元內(nèi)找到粒子的幾率，應(yīng)把徑向坐標(biāo)積分掉，即 。例4 一塊巖石從高度為的懸崖上自由地落下。在下落過程中我們以任意間隔抓拍一百萬張照片，根據(jù)每張照片測(cè)量巖石下落的距離。求巖石下落過程的概率密度及平均位置。解 巖石下落的軌跡：整個(gè)下落過程的時(shí)間：由于相機(jī)在間隔內(nèi)的閃光的概率為，故，照片展示在一段距離內(nèi)的幾率：驗(yàn)證：歸一化：。注意：在時(shí)，實(shí)際上，上面的積分是。多粒子體系波函數(shù)的形式(wave function of a system of many particles)對(duì)于個(gè)粒子組成的體系，它的波函數(shù)表示為，其中分別表示各粒子的空間位置矢量共有個(gè)自由數(shù)。而表示測(cè)得粒子1出現(xiàn)在空間中，同時(shí)粒

17、子2出現(xiàn)在空間中， ，同時(shí)粒子出現(xiàn)在空間中的幾率。例4 設(shè)一個(gè)體系含有兩個(gè)粒子，波函數(shù)用表示，則有(1)、測(cè)得粒子1在空間中的幾率：，(2)、測(cè)得粒子2在空間中的幾率：；(3)、測(cè)得粒子1在空間中， 同時(shí)粒子2在空間中的幾率：。三、動(dòng)量分布幾率（Probability distribution in momentum space）按照波函數(shù)的幾率解釋：當(dāng)用歸一化的波函數(shù)描述體系的微觀狀態(tài)時(shí)，則在時(shí)刻空間區(qū)域找到粒子幾率為。 若要測(cè)量粒子的動(dòng)量，那么動(dòng)量幾率分布如何？定理 對(duì)于任何一個(gè)波函數(shù)都可由各種不同頻率的平面波疊加而成，即， 式中，其中。在數(shù)學(xué)上稱其為付立葉變換，總是成立的。表示中含有平面

18、波的成分，實(shí)際上就是粒子在動(dòng)量空間的動(dòng)量分布幾率密度， 即在動(dòng)量范圍內(nèi)找到粒子的幾率為。電子衍射實(shí)驗(yàn) 見教材。推論 。例1 若用Gauss波包描述的粒子，求粒子位置主要局限區(qū)域（即位置的不確定度）以及粒子的動(dòng)量主要局限區(qū)域（即不確定度）。解 由歸一化條件得：，故粒子在空間的概率分布密度為。(1)、用數(shù)學(xué)分析中，求拐點(diǎn)方法，即二階導(dǎo)數(shù)等于零處就是拐點(diǎn)的位置。由二階導(dǎo)數(shù)求拐點(diǎn): (2)、用不確定度的定義求解：對(duì)于粒子的動(dòng)量分布情況，可通過付立葉逆變換得 歸一化得:故粒子的動(dòng)量幾率密度分布為 同樣，可用上面介紹的兩種方法求動(dòng)量的不確定度：(1)、用拐點(diǎn)法：(2)、用不確定度的定義求解：，因此得到：。

19、例2 設(shè)一維粒子具有確定的動(dòng)量，即動(dòng)量的不確定度。相應(yīng)的波函數(shù)為平面波，求粒子的位置不確定度。解 由于，即粒子在空間各點(diǎn)的幾率都相同。由知； 所以，。四、力學(xué)量的平均值和算符的引入1、位置和位能的平均值(Position and average of potential )既然一個(gè)微觀系統(tǒng)能夠用一個(gè)波函數(shù)來描述， 所以該波函數(shù)就能給出體系的一切可能的信息，能預(yù)言得到某可能值的幾率，也能給出物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。(1)、位置的平均值(average value of position)當(dāng)給定體系的微觀狀態(tài)可用歸一化的波函數(shù)描寫， 則測(cè)得粒子取值在區(qū)域內(nèi)的幾率為，從平均值的定義，則位置矢量的平均值為

20、。(2)、位能平均值(average value of potential)假設(shè)位能不依賴動(dòng)量， 我們可以展開，則有即位能的平均值為。乍看起來，動(dòng)量、能量和角動(dòng)量等的平均值都應(yīng)能類似地給出。但動(dòng)量平均值能否仍按上述表示給出呢？ 即 。 原則上講，這是完全錯(cuò)的。因粒子具有波動(dòng)性，而動(dòng)量是與波長(zhǎng)相聯(lián)系的()。但波長(zhǎng)是描述波在空間變化的快慢。一般而言，一個(gè)波函數(shù)由很多不同波長(zhǎng)的平面波疊加而成。在某一點(diǎn)處，其波長(zhǎng)不是一個(gè)，而是有很多不同大小的波長(zhǎng)，即在處，并不沒有確定的值，故不可能效仿上述平均值來表示。那么究竟如何表示動(dòng)量平均值呢？對(duì)于給定波函數(shù)，則其付利葉的逆變換為 ，這樣就得到粒子的動(dòng)量分布幾率密

21、度，測(cè)得粒子動(dòng)量在區(qū)域內(nèi)的幾率為 ，其中因此，類似于， 相應(yīng)的動(dòng)量平均值可表示為 。 接下來，我們考慮如何用給定的波函數(shù)來直接求動(dòng)量的平均值呢？ 下面就讓我們來研究這個(gè)問題。 將代入得即 。 該式說明要想用去直接求動(dòng)量平均值，就必須引入一個(gè)算符來代替（變量）進(jìn)行計(jì)算。通常地，人們稱為粒子的動(dòng)量算符。 對(duì)于粒子處于狀態(tài)（已歸一化），則其動(dòng)量的平均值為 。由此可見，在量子力學(xué)中的描述和經(jīng)典力學(xué)中的描述是有本質(zhì)差別的。量子力學(xué)中物理量（力學(xué)量）的描述是用算符來描述。在量子力學(xué)中，描述微觀粒子的行為，引入的算符、，對(duì)應(yīng)于經(jīng)典的位置和動(dòng)量變量。然而這些算符不等于經(jīng)典變量。由上述推理： 求動(dòng)能平均值（），

22、可表為，其中稱為動(dòng)能算符所以動(dòng)量 ，則其中及。角動(dòng)量算符例題課后作業(yè) 作業(yè)二 2、態(tài)疊加原理(Superposition principle)一、 量子態(tài)及其表象(Quantum states and their representation)1、量子態(tài)(Quantum sates)：定義 一個(gè)微觀粒子體系在某一時(shí)刻所處的微觀狀態(tài)，通常用一個(gè)波函數(shù)來描述。若一個(gè)體系由歸一化的波函數(shù)來描述，若某時(shí)刻測(cè)量粒子的位置，則表示粒子在時(shí)刻出現(xiàn)在點(diǎn)處的幾率密度；或者說描述粒子位置的幾率分布。在傅立葉變換下: ，若測(cè)量粒子的動(dòng)量, 則測(cè)得粒子動(dòng)量為的幾率密度為。同理，也可以確定粒子的其他所有力學(xué)量的測(cè)量值的

23、幾率分布。 故完全可以描述一個(gè)粒子的量子態(tài)。波函數(shù)也稱為態(tài)函數(shù)，也叫幾率波幅。反之, 若體系用歸一化的波函數(shù)來描述，則在時(shí)刻測(cè)量粒子的動(dòng)量為的幾率為。在傅立葉變換下: 若在位置點(diǎn)處測(cè)量該粒子, 則測(cè)得粒子出現(xiàn)在點(diǎn)的幾率密度為。 這樣, 也可完全描述這個(gè)粒子的量子態(tài)。因此，對(duì)于一個(gè)體系，粒子的量子態(tài)可有多種不同的描述方式。2、表象（Representation space）： 對(duì)于一個(gè)體系，粒子的量子態(tài)可有多種不同的描述方式。而每種方式對(duì)應(yīng)于一種不同的表象，它們彼此之間存在確定的變換關(guān)系，彼此完全等價(jià)。例如，是粒子所處的量子態(tài)在坐標(biāo)表象中的表示，而是同一個(gè)狀態(tài)在動(dòng)量表象中的表示。例題1 平面單色

24、波在坐標(biāo)表象下，可用波函數(shù)描寫粒子所處的量子態(tài)，此時(shí)粒子具有確定的動(dòng)量, 稱該波函數(shù)為動(dòng)量算符的本征態(tài)，而為動(dòng)量本征值。試在動(dòng)量表象中寫出此量子態(tài)。解 根據(jù)傅立葉變換得 例題2 描述的是粒子具有確定位置的量子態(tài)，稱為位置本征態(tài)，位置的本征值為。 試在動(dòng)量表象中寫出此量子態(tài)。解 根據(jù)傅立葉變換得 二、 態(tài)疊加原理若體系由歸一波函數(shù)來描述，則描述了體系的位置幾率分布或稱幾率密度。若單粒子處于態(tài)中，則測(cè)量動(dòng)量的取值僅為或，而不在之間取值。 對(duì)于由大量粒子組成的體系，好像一部分電子處于態(tài)，另一部分電子處于態(tài)。 但你不能指定某一個(gè)電子只處于態(tài)或只處于態(tài)。 即對(duì)一個(gè)電子而言，它可能處于態(tài)（即動(dòng)量為），也可

25、能處于態(tài)（即動(dòng)量為），即有一定幾率處于態(tài)，有一定幾率處于態(tài)。由這啟發(fā)建立量子力學(xué)最基本原理之一：態(tài)疊加原理：設(shè)體系處于態(tài)下, 測(cè)量力學(xué)量時(shí), 測(cè)得確定值為, 而體系處于態(tài)下, 測(cè)量力學(xué)量時(shí), 測(cè)得確定值為, 則體系處于的疊加態(tài)下, 測(cè)量力學(xué)量時(shí), 測(cè)得值只可能為或，并且測(cè)得和的幾率分別?；虮硎鰹?若是體系的一個(gè)可能態(tài)，也是體系的一個(gè)可能態(tài)，則是體系的可能態(tài)， 并稱為和態(tài)的線性疊加態(tài)。在量子力學(xué)中，由于態(tài)疊加原理導(dǎo)致在疊加態(tài)下測(cè)量結(jié)果的不確定性。B討論（與經(jīng)典比較）(i)、經(jīng)典認(rèn)為：自身疊加將產(chǎn)生一個(gè)新的態(tài)，因?yàn)榭臻g各處的強(qiáng)度增大到原來的4倍。而量子力學(xué)認(rèn)為，由態(tài)疊加原理， 這兩個(gè)態(tài)是一樣的。在

26、和中測(cè)量力學(xué)量都只有一個(gè)值，而空間的幾率分布與在空間各點(diǎn)之間的相對(duì)幾率是一樣的。事實(shí)上，從歸一化中，我們已看到，量子力學(xué)中態(tài)函數(shù)乘一個(gè)常數(shù)并不改變狀態(tài)或產(chǎn)生新的態(tài)。(ii)、在量子力學(xué)中，沒有的狀態(tài)， 因或一個(gè)不為零的常數(shù)。但是，經(jīng)典振動(dòng)可處處為， 即沒有振動(dòng)。(iii)、若， 經(jīng)典認(rèn)為是一個(gè)新的振動(dòng)態(tài)，即以來描述物理量在空間的波動(dòng)，不能說物理量可能作波動(dòng)，或者可能作波動(dòng)。但對(duì)量子力學(xué)來說，體系可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)。但不會(huì)處于其他態(tài) 態(tài)（）。因測(cè)量力學(xué)量所得的測(cè)量值是不會(huì)為的。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，有時(shí)在處理物理問題時(shí)，常常對(duì)函數(shù)展開，。對(duì)經(jīng)典物理學(xué)來說，這僅是一個(gè)數(shù)學(xué)處理，如傅立葉分解。這僅表明

27、有各種波相干，但并不能說，振蕩發(fā)生在某一頻率上。但量子力學(xué)中的態(tài)疊加原理則賦于這一展開以新的物理含意：測(cè)量力學(xué)量，可能測(cè)得值僅為的值，其幾率，即系數(shù)不僅僅是展開系數(shù)，而是正比于取值的幾率振幅。(iv)、態(tài)疊加原理反映一個(gè)非常重要的性質(zhì)，而這在經(jīng)典物理學(xué)中是很難被接受的。我們知道一個(gè)動(dòng)量為的自由粒子是以一個(gè)平面波描述，動(dòng)量為的自由粒子是以平面波描述。如體系同時(shí)（一個(gè)自由粒子）可能處于這兩個(gè)態(tài)，則表明體系所處的態(tài)為，可是這個(gè)態(tài)沒有確定的動(dòng)量（當(dāng)你預(yù)言動(dòng)量的測(cè)量值時(shí)）。但也是描述自由粒子的可能態(tài)。事實(shí)上，描述自由粒子狀態(tài)的最普遍的形式為 而至于究竟處于哪個(gè)具體狀態(tài)，那應(yīng)由一定的條件來定。所以，量子力

28、學(xué)允許體系處于這樣一個(gè)態(tài)中，在這個(gè)態(tài)中，某些物理量沒有確定值（而從經(jīng)典物理學(xué)看只能有一定值）。另外，值得注意的是：在態(tài)疊加中重要的是系數(shù)（如，給定）。對(duì)于，這時(shí)完全被所決定. 完全可替代來描述該態(tài)（以后要討論）。(v)、態(tài)疊加原理的直接后果是要求波函數(shù)滿足的方程，必須是齊次線性方程。例 高斯波包（The Gaussian wave packet）考慮一個(gè)質(zhì)量為的自由粒子，其中為高斯分布 ， 求出相應(yīng)的粒子波包。解 由付立葉變換得由此可見， 一個(gè)高斯分布的付氏變換后，變成另一個(gè)表象下的波函數(shù)仍是一個(gè)高斯分布，而且其中波函數(shù)是描述時(shí)刻，粒子位置在區(qū)域（位置幾率明顯不為），而動(dòng)量在區(qū)域（動(dòng)量幾率明顯

29、不為區(qū)域）中運(yùn)動(dòng)的波包。關(guān)于位置區(qū)域是這樣確定如下的：由處粒子分布的幾率最大。由處是拐點(diǎn)。因?yàn)闀r(shí)，幾率分布曲線向上凸起，而在時(shí)，幾率曲線向下凹。3、薛定諤方程 薛定諤方程的適用范圍： 非相對(duì)論情況， 無粒子的產(chǎn)生和湮滅過程。一、Schrdinger方程 量子力學(xué)的最基本定律是波函數(shù)所滿足的偏微分方程-Schrdinger方程，是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)。它不是從基本原理導(dǎo)出來的，其正確性是靠它所推出的結(jié)果及預(yù)言的正確性來證實(shí)的?？紤]一個(gè)具有確定能量、動(dòng)量的自由粒子, 由德布羅意關(guān)系 知道: 它對(duì)應(yīng)的物質(zhì)波為平面單色波 ，這個(gè)單色平面波滿足的方程： 。 若自由粒子的一般狀態(tài)用波包描述，即（波包是由

30、許多單色平面波疊加而成） ，式中， 則有 -這說明自由粒子的波包也滿足同樣的方程。 因此，對(duì)于一個(gè)自由粒子的波函數(shù)滿足的Schrdinger方程為。這個(gè)方程可看做把經(jīng)典的能量-動(dòng)量關(guān)系：按下列替換為算符： ，然后把它們作用于波函數(shù)上得到； 這種做法稱作“一次量子化”。 一般地，若粒子在外勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，經(jīng)典粒子的總能量為。 為了轉(zhuǎn)換到對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)，仍采用上述“一次量子化”法： 再將所得到的算符方程作用到波函數(shù)上，就得到與此經(jīng)典系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)的波函數(shù)應(yīng)該滿足的方程： 這就是單粒子運(yùn)動(dòng)的Schrdinger方程(1926)。通常標(biāo)記，稱為體系的哈密頓量算符（簡(jiǎn)稱體系的Hamiltonian）。

31、于是，在非相對(duì)論情況下，單粒子體系的Schrdinger方程重新表示為 。下面對(duì)Schrdinger方程做幾點(diǎn)說明：(1)、Schrdinger方程是的奇次線性方程。因此，疊加原理成立。即如果是Schrdinger方程的解，那么 也是方程的解。(2)、Schrdinger方程是時(shí)間的一階方程，所以，時(shí)刻的狀態(tài)決定其后所有時(shí)間的狀態(tài)。(3)、經(jīng)典力學(xué)的力學(xué)量，在量子力學(xué)中用力學(xué)量算符替代時(shí)， 。 例如：應(yīng)寫為 相當(dāng)于(4)、若，是含時(shí)的經(jīng)典系統(tǒng)，經(jīng)典粒子在時(shí)變勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過程與外界交換能量，粒子機(jī)械能一般不守恒。在相對(duì)應(yīng)的量子系統(tǒng)時(shí)，由含時(shí)使系統(tǒng)的哈密頓量含時(shí)，成為含時(shí)的量子系統(tǒng)。相應(yīng)的問題稱為非

32、定態(tài)問題。例題 驗(yàn)證平面波和球面波都滿足自由粒子的薛定諤方程。解 (1)、平面波可表示為代入薛定諤方程得 (2)、球面波可表示為，代入薛定諤方程令，因，則把代入，得。從此可看出，平面波和球面波都滿足自由粒子的薛定諤方程。因此，自由粒子的狀態(tài)既可用平面波，也可用球面波表示。二、Schrodinger方程的討論1、初值問題和傳播子A. 薛定諤方程的初值問題 當(dāng)體系在初始時(shí)刻的狀態(tài)給定時(shí)，則以后任意時(shí)刻的狀態(tài)波函數(shù)就可完全由薛定諤方程所決定（因在薛定諤方程中只含時(shí)間的一次偏微商）。這就是量子力學(xué)的因果律，即決定狀態(tài)的演化。 因此，在量子力學(xué)中的因果律是對(duì)波函數(shù)的確定, 不像經(jīng)典力學(xué)那樣是確定軌道或力

33、學(xué)量的測(cè)得值，而是決定狀態(tài)的演化。 如，即與時(shí)間無關(guān)，則時(shí)刻的解可表為（如時(shí)為） 。例如 對(duì)于自由粒子。. 若初始時(shí)刻時(shí)，波函數(shù)是已知的。如何從時(shí)的波函數(shù)，來確定任意時(shí)刻的波函數(shù)呢？由于是自由粒子，在時(shí)，它必是各種不同動(dòng)量的平面波的疊加，即 。當(dāng)給定，則，即由初態(tài)完全確定。 我們知道，在時(shí)刻自由粒子的狀態(tài)由疊加而成，疊加系數(shù)為（已確定），即 ，式中。. 從另一角度討論，對(duì)于自由粒子，直接利用 其中是粒子的能量。. 若自由粒子在時(shí)，初態(tài)處于狀態(tài)，可以證明：，粒子處于的幾率密度為。這表明，發(fā)現(xiàn)粒子主要在區(qū)域。證 (1)、粒子處于處的幾率密度為。，故發(fā)現(xiàn)粒子主要在區(qū)域。(2)、由于是描述自由粒子在時(shí)

34、的波函數(shù)，它必是取各種不同動(dòng)量值的平面波的疊加，即 ， 其逆變換為令，則上式 變?yōu)橐虼?，粒子的?dòng)量幾率分布為由得即粒子動(dòng)量的取值主要區(qū)域在。對(duì)于任意時(shí)刻，描述自由粒子狀態(tài)的波函數(shù)為 在計(jì)算過程中用到如下公式: (, 都是實(shí)數(shù))對(duì)這個(gè)波包的擴(kuò)散進(jìn)行討論：(a). 波包的擴(kuò)展如果用上述這個(gè)高斯波包來描述（或模擬）一個(gè)物體， 在時(shí)，它位于（有一寬度）, 而平均動(dòng)量為。在時(shí)刻，其包絡(luò)線中心位于。所以，包絡(luò)極大處的速度稱為群速度，即群速度等于粒子速度。從相位看，如相位為、相位為 , 所以，相速度。利用波函數(shù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差，即發(fā)現(xiàn)粒子的主要區(qū)域在。所以，隨時(shí)間演化，這一高斯波包越來越寬。設(shè)，當(dāng)，包波已擴(kuò)散很

35、大，因此似乎與經(jīng)典粒子無任何相似之處。 。所以，這樣一個(gè)顯示經(jīng)典粒子的波包，動(dòng)量的分布沒有擴(kuò)展，而空間的分布則擴(kuò)展，使得你在 時(shí)，就認(rèn)不得經(jīng)典粒子了。右圖即為高斯波包的傳播。對(duì)高斯波包的討論和結(jié)論，對(duì)任何其它形狀的波包都相同。(b)、波包擴(kuò)展的時(shí)間量級(jí) 在實(shí)際生活中，我們從來沒有看見一個(gè)宏觀粒子會(huì)擴(kuò)展，以至好似消失。下面舉幾個(gè)例子。. 人：，。所以，人活長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)，還基本原樣。當(dāng)，才擴(kuò)散得很大。而 經(jīng)過人仍還可以大致維持原樣。因此，量子現(xiàn)象你是看不到的。. 塵粒：、 ， 即經(jīng)過億年，塵粒仍保持“經(jīng)典粒子“圖象。. 電子（原子中）: ， 。而在氫原子中，電子繞質(zhì)子一周所花的時(shí)間。由此看出，電子在

36、原子中不可能以波包形式描述。B. 傳播子 對(duì)于波函數(shù)隨時(shí)間的演化，也可借助于傳播子來求解。在時(shí)刻的波函數(shù)，可由初始時(shí)刻的波函數(shù)完全確定。由于薛定諤方程是線性的，因而其解能夠被疊加。因此，不同時(shí)刻的波函數(shù)關(guān)系也必須是線性的。這就意味著，必須滿足齊次的微分方程。即可表示為 式中稱為Green函數(shù)，或稱傳播子。只要知道Green函數(shù)，就可確定態(tài)隨時(shí)間的演化。 讓我們來看一下的具體含義。若時(shí)，粒子處于處，即，由上式得 所以，已知在時(shí)刻，粒子處于，則時(shí)刻，處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度幅就是格林函數(shù)。 由薛定諤方程，可直接給出 。例題 求自由粒子的格林函數(shù)。解 對(duì)于自由粒子，令，把視作常數(shù)，則，由公式，令時(shí)， 這正是自由粒子的Green函數(shù)。2、幾率守恒定律(conservation of probability)在非相對(duì)論的情況下，實(shí)物粒子既不產(chǎn)生也不湮滅，所以在整個(gè)空間發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應(yīng)不隨時(shí)間變，即 這要求凡滿足薛定諤方程的的波函數(shù)，必須滿足上式。證明 粒子的空間幾率密度是，所以 根據(jù)薛定諤方程 所以 引入一個(gè)矢量，其中是粒子的速度算符，則上式變?yōu)?， 這是量子力學(xué)中的連續(xù)性方程，是粒子的空間分布概率守恒定律的微分形式。因?yàn)閷?duì)任何體積，都有 ， 等式右方用Gauss定理，得 ，其中是在體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的總幾率， 而(矢量指向的外邊)是矢量穿過封閉曲面向外的總通量