課題圓的對稱性教學案

1、學習必備歡迎下載2、圓的對稱性教學案課題2、圓的對稱性課型新授課第1課時教學目標知識與技能1.圓的軸對稱性.2,垂徑定理及其推論.3.運用垂徑定理及其推論進行肩關(guān)的計算和證明.過程與方法.經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進一步體會和 理解研究幾何圖形的各種方法.培養(yǎng)學生獨立探索、相互合作交流的精神.情感 態(tài)度與 價值觀通過學習垂徑定理及其推論的證明，使學生領(lǐng)會數(shù)學的嚴 謹性和探索精神，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和積極參與的 主動精神.教學重點垂徑定理及其推論.教學難點垂徑定理及其推論的證明.教與學策略指導探究和自主學習相結(jié)合.準備（教 具、活動 準備等）做兩張能折疊的圓形紙片，學生每人準備

2、兩張圓形紙片圓規(guī)、直尺教學 過程教學步驟教師活動學生活動設 計意圖回顧與思考前面我們已探討過軸對稱圖形，哪 位同學能敘述一下軸對稱圖形的定 義？如果一個圖形沿 著某一條直線折疊后， 直線兩旁的部分能夠 互相重合，那么這個圖 形叫軸對稱圖形，這條 直線叫對稱軸.創(chuàng)設 問題情 境，引 入新課主 動進行講授新課教師板書教師板書我們是用什么方法研究了軸對稱 圖形？今天我們繼續(xù)用前面的方法來研 究圓的對稱性.同學們想一想：圓是軸 對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什 么？你能找到多少條對稱軸？是嗎？你是用什么方法解決上述 問題的？大家互相討論一下.圓是 圖形，其對稱軸7H卜囿我們來認識一下弧、弦、直徑 這

3、些與圓肩關(guān)的概念.圓弧：圓上任急兩點間的部分 叫做圓弧，簡稱弧.弦：連接圓上任意兩點的線段 叫做弦.直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑.如下圖，以A、B為端點的弧記作 C .AB,讀作“圓弧AB或“弧AB;線段AB是。O的一條弦，弧CD是。的 一條直徑.折疊圓是軸對稱圖形， 過圓心的直線是它的 對稱軸，后龍數(shù)條對稱 軸.我們可以利用折 疊的方法，解決這個問 題.把一個圓對折以 后，圓的兩半部分重 合，折痕條過圓心 的直線，由于過圓心可 以作無數(shù)條直線，這樣 便可知圓有無數(shù)條對 稱軸.學生在書上找出 答案并讀出知識之 問的聯(lián) 系并積 極動腦 思考回答。一邊回答 一邊動手演 示，既 鍛煉語 百表達 能力又

4、鍛煉動 手操作 能力， 調(diào)動學 生上課 學習主動性學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載老師指導下動手操作教 師敘述 步驟， 師生共 同操 作，鍛 煉動手 能力.弧包括優(yōu)弧和劣弧，大于半圓 的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣 弧.如上圖中，以A、D為端點的弧有 c -.一 兩條：優(yōu)弧ACD記作ACD ,劣弧 abd記作abd .半圓：圓的任意一條 直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條 弧叫半圓弧，簡稱半圓.半圓是弧，但 弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也 不是優(yōu)弧.直徑是弦，但弦不一定是直徑.按下面的步驟做一做：.拿出一張圓形紙片，把這個圓對 折，使圓的兩半部分重合.得到一條折痕CD.在。O上任取一點A

5、,過點A作CD 折痕的垂線，得到新的折痕，其中，點 M是兩條折痕的交點，即垂足.可以知道：圓是軸對 稱圖形，過圓心的直線培養(yǎng)學生觀察.將紙打開，新的折痕與圓交于另 一點B,如上圖.通過第一步，我們可以得到什么？學習必備歡迎下載教師板書很好.在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn) 了哪些相等的線段和相等的??？為什么呢？能不能利用構(gòu)造等腰三角形得出 上面的等量關(guān)系？如下圖所不，連接OA OB得到等腰 OAB 即 OA OB 因 CD! AB,故 OAM 與OBMTB是RtA,又OM為公共邊， 所以兩個直角三角形全等，則am=BM又。關(guān)于直徑CD對稱，所以A 點和B點關(guān)于CD對稱，當圓沿著直徑 CD對折時，點A

6、與點B重合，於與晶重合，工。與石。重合.因此 AM= BMAC=BC AD=BDD在上述操作過程中，你會得出什么 結(jié)論？同學們總結(jié)得很好.這就是利用圓 的軸對稱性得到的與圓相關(guān)的一個重 要性質(zhì)一一垂徑定理：垂直于弦的直徑 平分這條弦，并且平分弦所對的弧.在這里注意；條件中的“弦”可以 是直徑.結(jié)論中的“平分弧”指平分是它的對稱軸.發(fā)現(xiàn)了，A如BMAC=BCAD=BD因為折痕AM與BM 互相重合，A點與B點 重合.學生分析敘述，教師 指導思考能 力通 過構(gòu)造 等腰二 角形使 學生感 ，陸垂徑 定理的 道理， 加深對 定理的 理解弦所對的劣弧、優(yōu)弦.卜而，找們一起看一下定理的證明：（教師邊板書，邊

7、敘述）如上圖，連結(jié) OA OB則。OB在 RtOA陳口 Rt/XOBIW,. OA OB O陣 OM RtzXOA障 RtAOBiyi . AM= BM.點A和點B關(guān)于CD寸稱.OO關(guān)于直徑CD對稱，當圓沿著直徑CD對折時，點A與 點B重合，二與公重合，疝與檢重 合.AC=BC AD-BD.卜面，找們逋過求解例1,來熟悉叱 徑定理：例1如下圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎 處是一段圓?。磮D中CD點o是CD 的圓心），其中CD= 600m, E為CD 點，且oa cd垂足為f, ef= 90m 求這段彎路的半徑.tI o Xn思路分析：要求彎路的半徑，連結(jié)oc 只要求出OC的長便可以了.因為已知 OEL

8、 CD 所以 C曰 1CA 300cm, O三2OE- EF,此時就得到了一個RtACFO連結(jié)oc設彎路的半徑為R m,則O三（R- 90）m, . OE LCD通過證 明使學 生對定 理的掌 握有一 個完整 性垂徑定 理的應 用學習必備歡迎下載學習必備歡迎下載哪位同學能口述一下如何求解?在上述解題過程中使用了列方程的 方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，這種 數(shù)與形有機結(jié)合的思想應在今后的解 題過程中注意運用.下面我們再來思考一個問題：如下圖示，AB是。O的弦(不是直徑)， 作一條平分AB的直徑CD交AB于點M.CF= 1 CD= 1 X 22600= 300(m).據(jù)勾股定理，得oC = cF+

9、o戶，即 R = 3002+ (R-90)2解這個方程，得R=545.這段彎路的半徑為 545m隨堂練習：P8. 1 .略D它是軸對稱圖形， 其對稱軸是直徑CD所 在的直線.通過折疊的方法，與 剛才垂徑定理的探索 方法類似，在一張紙上 畫一個O O,作一條不 是直徑的弦AB,將圓 對折,使點A與點B為垂徑 定理的 延伸做 準備上圖是軸對稱圖形嗎？如果是，其對 稱軸是什么？很好.你是用什么方法驗證上述結(jié)論 的？大家互相交流討論一下，你還有什 么發(fā)現(xiàn)？學習必備歡迎下載在上述的探討中，我們可以得到如下的結(jié)論-垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧為什么要強調(diào)“弦不是直徑

10、”呢？為了運用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，易于 記憶，可將原定理敘述為：對于一個圓 和一條直線來說。如果具備：(1)過圓心 (2)垂直于弦 (3)平分弦(4)平分弦所對的優(yōu)弧 (5)平 分弦所對的劣弧上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結(jié)論。我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的推論.判斷：(1)垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧()(2)弦所對的兩弧中點的連線，釗于弦，并且經(jīng)過圓心 ()(3)圓中不與直徑垂直的弦必不被這條直徑()(4)平分弦的直徑垂直寸弦，并且平分弦所對的兩條弧()(5)圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分()例2:如圖，AB是。的一條弦，點C為弦AB的中點，OC = 3, AB

11、 = 8,求OA的長重合，便得到一條折痕CDf弓玄A眩于點M CD 就是。O的對稱軸，A 點、B點關(guān)于直徑CD 對稱.由軸對稱可知，AB CD,/=BC ,ad=bd.學生分析書寫步驟， 教師指導加深對 垂徑定 理推論 的理解學習必備歡迎下載課堂小結(jié)如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩 條弦所夾的弧相等嗎？為什么？平行弦夾弧定理：如果圓的兩條弦互 相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等符合上述條件的圖形有三種情況： （1）圓心在平行弦外，（2）在其中一條線 弦上，（3）在平行弦內(nèi)，但理由相同.本節(jié)課我們利用圓的軸對稱性研 究了垂徑定理及其推論和平行弦夾弧 定理.垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu) 造直角三角形

12、，可解決計算弦長、半徑、 等問題.幫助對 定理及 推論的 理解相等.理由：如下圖示，過 圓心O作垂直于弦的 直徑EF,由垂徑定理 設崩二版,=；用等量減等量差相等， 得病一左二酸口F ,即 AC=B口 ,故 結(jié)論成立.E（一）課本P8,習題學習必備歡迎下載課后作業(yè)質(zhì)量反饋銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管 道破裂，修理人員準備更換一段新管 道.如圖所7K,污水水面范度為 60cm, 水面至管道頂部跑離為 10cm,問修理 人員應準備內(nèi)徑多大的管道？*60 cm 14.2 : 2, 3(二)1 .預習內(nèi)容：P9 112.預習提綱：(1)圓是中心對稱圖 形.(2)圓心角、弧、弦 之間相等關(guān)系定理.如下圖示，連結(jié)OA 過O作OHAB,垂足 為E,交圓于F,則AE.一=1 AB= 30cm.令 O O 2的半徑為R,則O R, OE= OF- EF= R 10.在 RtAEO中,OA = A + OE,即 R = 302 + (R 10)2.解得 R= 50cm修理人員應準備 內(nèi)徑為100cm的管道.-60 cm1運 用推論 通過構(gòu) 造直角 三角形 求出半徑/、10 cm八. t學習必