金融工程學(xué)課件：10-1 衍生產(chǎn)品定價(jià)

1、第十章 衍生產(chǎn)品定價(jià)第一節(jié) 金融工程定價(jià)方法一、無套利定價(jià)法 1.無套利定價(jià)概念 如果市場(chǎng)是有效率的話，市場(chǎng)價(jià)格必然由于套利行為作出相應(yīng)的調(diào)整，重新回到均衡的狀態(tài)。這就是無套利的定價(jià)原則。 根據(jù)這個(gè)原則，在有效的金融市場(chǎng)上，任何一項(xiàng)金融資產(chǎn)的定價(jià)，應(yīng)當(dāng)使得利用該項(xiàng)金融資產(chǎn)進(jìn)行套利的機(jī)會(huì)不復(fù)存在。 1例1假設(shè) 6個(gè)月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)利，下同）， 1年期的即期利率是12%。 如果有人把今后6個(gè)月到1年期的遠(yuǎn)期利率定為11%，試問這樣的市場(chǎng)行情能否產(chǎn)生套利活動(dòng)？答案是肯定的。2套利過程是： 第一步，交易者按10%的利率借入一筆6個(gè)月資金（假設(shè)1000萬元）。并將這筆資金按12%的利率貸出1

2、年期。 第二步，簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按11%的價(jià)格6個(gè)月后從市場(chǎng)借入資金1051萬元（等于1000e0.100.5），用于償還上一步的借款1000萬元本息。 第三步，1年后收回1年期貸款，得本息1127萬元（等于1000e0.121），并用1110萬元（等于1051e0.110.5）償還遠(yuǎn)期利率協(xié)議半年期的債務(wù)后，交易者凈賺17萬元（1127萬元-1110萬元）。 3：10：協(xié)議6個(gè)月后以11的利率借入資金1051萬，到期歸還 1110萬1051e0.110.5：11：以10的利率借入6個(gè)月資金1000萬，到期歸還 1051萬1000e0.100.5：12：將借

3、入的資金以12利率貸出資金1000萬一年，到期收回 1127萬1000e0.121借1000借遠(yuǎn)1051還1051貸1000還1110收11271051無套利均衡：13.33%4 2.無套利定價(jià)方法的主要特征： 無套利定價(jià)原則首先要求套利活動(dòng)在無風(fēng)險(xiǎn)的狀態(tài)下進(jìn)行。 無套利定價(jià)的關(guān)鍵技術(shù)是所謂“復(fù)制”技術(shù)，即用一組證券來復(fù)制另外一組證券。 無風(fēng)險(xiǎn)的套利活動(dòng)從即時(shí)現(xiàn)金流看是零投資組合 （自融資組合）。3.無套利定價(jià)方式(1) 用金融工具模仿定價(jià) 即通過構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同或相似的盈虧狀況。 5例如，我們可以通過買入一份看漲期權(quán)同時(shí)賣出一份看跌期權(quán)來模仿股票的盈虧。6(

4、2) 用金融工具的合成定價(jià)金融工具的合成是指通過構(gòu)建一個(gè)金融工具組合使之與被模仿的金融工具具有相同價(jià)值。例如：合成股票的構(gòu)成是：一個(gè)看漲期權(quán)的多頭，一個(gè)看跌期權(quán)的空頭和無風(fēng)險(xiǎn)債券。 SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST S = c- p+Xe-r(T-t) 7例2 如何將無套利定價(jià)法運(yùn)用到期權(quán)定價(jià)中 ？假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 8為了找出該期權(quán)的價(jià)值， 可構(gòu)建一個(gè)組合

5、 一單位看漲期權(quán)空頭 N單位的標(biāo)的股票多頭為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)，即無論3個(gè)月后股票是上漲還是下跌，其組合價(jià)值都相同。N必須滿足下式： 11 N （1110.5）=9 N 0N=0.25即該組合無套利的均衡價(jià)值為2.25(90.25)9該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值應(yīng)為：由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場(chǎng)為10元，因此： 期權(quán)定價(jià)為：10General case假設(shè)一個(gè)無紅利支付的股票，當(dāng)前時(shí)刻t股票價(jià)格為 S，基于該股票的某個(gè)期權(quán)的價(jià)值是 f ，期權(quán)的有效期是 T，在這個(gè)有效期內(nèi)，股票價(jià)格或者上升到 Su，或者下降到 Sd。當(dāng)股票價(jià)格上升到 Su 時(shí)，我們假設(shè)

6、期權(quán)的收益為 fu，如果股票的價(jià)格下降到 Sd 時(shí)，期權(quán)的收益為 fd。 11SSuSdffufd12首先，構(gòu)造一個(gè)由N股股票多頭和一個(gè)期權(quán)空頭組成的證券組合，并計(jì)算出該組合為無風(fēng)險(xiǎn)時(shí)的N值。無風(fēng)險(xiǎn)證券組合應(yīng)滿足 即有13如果無風(fēng)險(xiǎn)利率用 r 表示，則該無風(fēng)險(xiǎn)組合的現(xiàn)值一定是 而構(gòu)造該組合的成本是 SNf ，在沒有套利機(jī)會(huì)的條件下，兩者必須相等。即 再將 N 代入上式，容易化簡得出：所以14二、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法 1.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法概念 在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，我們可以假定所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，此時(shí)所有證券的預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是

7、風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。 152. 例 假設(shè)一種不支付紅利股票，目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是11元，要么是9元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，現(xiàn)在我們要找出一份3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 16在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，我們假定該股票上升的概率為P，下跌的概率為1-P。 P=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，我們就可以得出該期權(quán)的價(jià)值： 股票現(xiàn)金流期望期權(quán)現(xiàn)金流期望173.風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的思路假定風(fēng)險(xiǎn)中性世

8、界中股票的上升概率為P，由于股票未來期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價(jià)格，因此該概率可通過下式求得： 求得 同理，期權(quán)未來期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該期權(quán)目前的價(jià)格18三、狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)狀態(tài)價(jià)格指的是在特定的狀態(tài)發(fā)生時(shí)回報(bào)為1，否則回報(bào)為0的資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)格。如果未來時(shí)刻有N種狀態(tài)，而這N種狀態(tài)的價(jià)格我們都知道，那么我們只要知道某種資產(chǎn)在未來各種狀態(tài)下的回報(bào)狀況以及市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，我們就可以對(duì)該資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，這就是狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)。 19例A是有風(fēng)險(xiǎn)證券，其目前的價(jià)格是PA，一年后其價(jià)格要么上升到uPA，要么下降到dPA。這就是市場(chǎng)的兩種狀態(tài)：上升狀態(tài)（概率是q

9、）和下降狀態(tài)（概率是1-q）。構(gòu)造兩個(gè)基本證券：基本證券1：價(jià)格上升時(shí)價(jià)值為1，下跌時(shí)價(jià)值為0；基本證券2：價(jià)格上升時(shí)價(jià)值為0，下跌時(shí)價(jià)值為1?；咀C券1現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格是u，基本證券2的價(jià)格是d。 20uPAdPAPAq1q21 購買uPA份基本證券1和dPA份基本證券2 組成一個(gè)假想的證券組合。該組合在 T 時(shí)刻無論發(fā)生什么情況，都能夠產(chǎn)生和證券A一樣的現(xiàn)金流。則必有假想證券組合與證券A現(xiàn)在的市場(chǎng)價(jià)格應(yīng)該相同: 又因?yàn)橛蓡挝换咀C券組成的組合在 T 時(shí)刻無論出現(xiàn)什么狀態(tài)，其回報(bào)都是1元。這是無風(fēng)險(xiǎn)的投資組合，其收益率應(yīng)該是無風(fēng)險(xiǎn)收益率r 或22 所以只要有具備上述性質(zhì)的一對(duì)基本證券存在，我們

10、就能夠通過復(fù)制技術(shù)，為金融市場(chǎng)上的任何有價(jià)證券定價(jià)。關(guān)于有價(jià)證券的價(jià)格上升的概率p，它依賴于人們作出的主觀判斷，但是人們對(duì)p認(rèn)識(shí)的分歧不影響有價(jià)證券定價(jià)的結(jié)論。無套利分析（包括其應(yīng)用狀態(tài)價(jià)格定價(jià)技術(shù)）的過程與結(jié)果同市場(chǎng)參與者的風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān)。 23狀態(tài)價(jià)格定價(jià)法的應(yīng)用 假設(shè)某股票符合我們上面提到的兩種市場(chǎng)狀態(tài)，即期初價(jià)值是S0，期末價(jià)值是S1，這里S1只可能取兩個(gè)值： S1 = Su =uS0, u1, S1= Sd = dS0, d1。 我們現(xiàn)在想要確定的是依附于該股票的看漲期權(quán)的價(jià)值是多少？ 24 我們構(gòu)造這樣一個(gè)投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價(jià)值特征完全相同：以無風(fēng)險(xiǎn)利率r借入一部分資金B(yǎng)（相當(dāng)于做空無風(fēng)險(xiǎn)債券），同時(shí)在股票市場(chǎng)上購入N股標(biāo)的股票。該組合的成本是 N S0-B到了期末，該組合的價(jià)值 VN S1-RB R是利率因子對(duì)應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個(gè)取值： 如果S1=Su, 則 V = Vu = N Su - RB， 如果S1=Sd, 則 V = Vd = N Sd - RB。 25由于期初的組合應(yīng)該等于看漲期權(quán)的價(jià)值，即有 把N和B 代入本式中，得到看漲期權(quán)的價(jià)