測試信號分析與處理——隨機信號處理課件

1、第八章 隨機信號處理 隨機信號的基本概念 8.1隨機信號的描述 8.2 隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析8.3功率譜估計8.4內(nèi)容提要 隨著現(xiàn)代測試技術(shù)的廣泛應(yīng)用，測試對象和參數(shù)也日益復(fù)雜，愈來愈多地涉及到隨機信號分析與處理的知識。本章主要介紹隨機信號的基本概念、隨機信號的相關(guān)分析和譜分析、線性非移變系統(tǒng)對隨機信號的響應(yīng)、功率譜估計等。 第一節(jié) 隨機信號的基本概念 從第一章的信號分類中我們已經(jīng)知道，隨機信號是一種不確定性信號，不能表示為一確定的時間函數(shù)，即信號的變化不存在任何確定的規(guī)律，因而不可能預(yù)見其未來任一時刻的數(shù)值，也就是說它是一種在相同試驗條件下，不能重復(fù)出現(xiàn)的信號。顯然，它與確定性信號是兩

2、類性質(zhì)完全不同的信號，對隨機信號的描述、分析和處理方法也完全不同于確定性信號。隨機信號在客觀實際中普遍存在，在測試過程中也相當(dāng)常見。例如：陀螺的漂移、測試系統(tǒng)中電子元器件產(chǎn)生的熱噪聲、機械傳動中隨機因素影響引起的振動、以及測試過程中的隨機誤差等，都可以抽象為隨機信號。圖8-1為某船舶在航行中所產(chǎn)生的振動信號，這是一種典型的隨機信號。第一節(jié) 隨機信號的基本概念圖8-1 船舶振動信號 第一節(jié) 隨機信號的基本概念僅在離散時間點上給出定義的為離散時間隨機信號，即隨機序列。隨機序列可以是連續(xù)隨機信號的采樣結(jié)果，也可以是客觀存在的隨機物理現(xiàn)象的表示。對隨機物理現(xiàn)象每次的觀察結(jié)果都不一樣，每次觀察得到的時間

3、函數(shù)只是可能產(chǎn)生的無限個時間函數(shù)中的一個“樣本”，隨機現(xiàn)象可能產(chǎn)生的全部樣本的集合（總體）稱為隨機過程，隨機信號實際上也就是隨機過程。第一節(jié) 隨機信號的基本概念在分析隨機信號中由于它的不可重復(fù)性，似乎應(yīng)當(dāng)分析無限長的信號才能得到準(zhǔn)確的分析結(jié)果，然而這在實際工作中是不可能做到的。對隨機信號的分析只能限定于下面所描述的平穩(wěn)且各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程。這類信號便于研究，同時具有普遍性。如果隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律不隨時間而改變，則稱為平穩(wěn)隨機過程，否則稱為非平穩(wěn)隨機過程。若一個隨機過程在某一時刻的所有樣本的統(tǒng)計特征和單一樣本在長時間內(nèi)的統(tǒng)計特征一致，則稱為各態(tài)歷經(jīng)（或各態(tài)遍歷）的隨機過程，否則是非各態(tài)歷經(jīng)的隨機

4、過程。 第一節(jié) 隨機信號的基本概念對于平穩(wěn)的各態(tài)歷經(jīng)的隨機過程，從總體各樣本中所能獲得的信息并不比從單個樣本獲得的信息多，因此在實際應(yīng)用中，只要對一個樣本進行分析計算，就可以得知隨機過程的統(tǒng)計特征。與確定性信號相比，隨機信號有三個主要特點：1）隨機信號的任何一個實現(xiàn)，都只是隨機信號總體中的一個樣本，任何一個樣本都不能代表該隨機信號。 第一節(jié) 隨機信號的基本概念2）在任一時間點上隨機信號的取值都是一個隨機變量，從而隨機信號的描述與隨機變量一樣，只能用概率密度函數(shù)和數(shù)學(xué)期望這樣的數(shù)字特征值來描述。若是各態(tài)歷經(jīng)的隨機信號，那么數(shù)學(xué)期望可用一個樣本的時間平均來代替。3）平穩(wěn)隨機信號在時間上是無始無終的

5、，其能量是無限的，且不存在傅里葉變換，因此平穩(wěn)隨機信號不能用通常的頻譜來表示，也不能采用常規(guī)的濾波方法進行處理，而需要用基于最小估計理論的廣義濾波維納濾波、卡爾曼濾波和自適應(yīng)濾波來實現(xiàn)。另外由于隨機信號能量是無限的，平均功率是有限的，所以采用功率譜來描述隨機信號的頻域特性。 第二節(jié) 隨機信號的描述 由于隨機信號不能用確定的時間函數(shù)來表示，因此隨機信號只能用其統(tǒng)計特性來描述，一般采用四種統(tǒng)計特征量來描述其基本特點：均值（數(shù)學(xué)期望）、均方值和方差；概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)；相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差；功率譜密度。 主要內(nèi)容均值、均方值、方差一 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù) 二 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差三功率譜密度四

6、白噪聲和有色噪聲信號五一、均值、均方值、方差對于各態(tài)歷經(jīng)連續(xù)隨機信號x(t)的數(shù)學(xué)期望Ex(t)，可以用一個樣本的時間平均即均值求得，即數(shù)學(xué)期望Ex(t)也稱隨機信號的均值，描述了隨機信號中的靜態(tài)分量或稱直流分量。由于不同時刻有不同的數(shù)學(xué)期望，所以 是x(t)在各個時刻的擺動中心，故又稱為一階原點矩。描述隨機信號隨時間變化的量有均方值和方差。均方值表示為（8-1） （8-2） 一、均值、均方值、方差均方值反映了隨機信號x(t)的強度和功率，它也可看作是隨機信號對零值波動的分量，因此也稱 為x(t)的二階原點矩。均方值的正平方根稱為均方根值，又稱有效值，它也是信號平均能量的一種表達。方差是隨機信

7、號x(t)相對均值波動的分量，表示為（8-3） 一、均值、均方值、方差 方差反映了隨機信號各可能值對其平均值的偏離程度，方差 又稱為x(t)的二階中心矩。 越大，隨機信號x(t)各樣本值的分散程度也越大。均值、均方值、方差之間有如下關(guān)系相應(yīng)地，對于各態(tài)歷經(jīng)平穩(wěn)隨機信號序列x(n)的均值、均方值和方差分別定義為（8-4） （8-5） 一、均值、均方值、方差隨機信號序列均值、均方值、方差之間有如下關(guān)系（8-6） （8-7） （8-8） 二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù) 概率密度函數(shù)表示隨機信號x(t)瞬時值落在x值附近x范圍內(nèi)的概率密度，若對某一隨機信號x(t)進行觀察，T為觀察時間，Tx為T時間

8、內(nèi)x(t)落在(x，x+x)區(qū)間內(nèi)的總時間，其幅值落在(x，x+x)區(qū)間內(nèi)的慨率可以用Tx/T反映，當(dāng)T，其概率為而隨機信號x(t)的概率密度函數(shù)定義反映了信號幅值落在某一極小范圍（x0）內(nèi)的概率，其表達式（8-9） （8-10） 二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)值得注意的是，概率密度函數(shù)不是概率，p(x)dx才代表隨機信號x(t)取值在x與x+dx之間的概率。根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，很容易證明概率密度函數(shù)具有如下性質(zhì)：（8-11） （8-12） （8-13） （8-14） 二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)是信號瞬時值小于或等于某指定值的概率，表示為因此有概率分布函數(shù)具有以下性質(zhì)：

9、 0F(x)1 （8-17） F(-)=0 （8-18） F()=1 （8-19）（8-15） （8-16） 二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù) 若ab，則F(a)F(b) （8-20） Faxb= F(b)-F(a) （8-21）在測試技術(shù)中，許多隨機信號服從或近似服從正態(tài)分布，并且大量獨立隨機分量的疊加近似服從正態(tài)分布，正態(tài)分布是最常用的一種分布，其概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)分別為（8-22）（8-23） 二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)連續(xù)隨機信號的均值、均方值、方差與概率密度之間存在如下關(guān)系對于離散隨機信號序列的情況，如果信號序列x(n)在幅值上是量化了的，設(shè)量化單位為Q， 是幅值落在

10、到 之間的序列點數(shù)，N是被觀察序列的總長度，則概率密度函數(shù)為（一階原點矩）（8-24）（二階原點矩）（8-25）（二階中心矩）（8-26）二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)在數(shù)字信號處理中，常用無因次表示概率密度，即為概率分布函數(shù)為 （8-27） （8-28） （8-29） 二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)若被觀察信號的長度N有限，則只能得到均值、均方值、方差、概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)在該序列長度內(nèi)的估計值（8-30） （8-31）（8-32） （8-33）（8-34）二、 概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)例8-1 設(shè)隨機變量x(t)的概率密度為求其均值、均方值和方差。解：根據(jù)前面的公式可得：三、

11、相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差同確定性信號的相關(guān)函數(shù)相類似，平穩(wěn)隨機信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為自相關(guān)函數(shù)反映了x(t)的幅值在t和t+兩個不同時間點上瞬時值之間的關(guān)聯(lián)性。在實際計算中，不可能對無限長信號進行積分計算，一般用有限長樣本作其估計（8-35）三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差自相關(guān)函數(shù) 具有以下幾個性質(zhì)：1）在=0時， 具有最大值，即2） 是偶函數(shù)3） （8-36）（8-37）（8-38）三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差4）當(dāng)時，隨機變量x(t) 與x(t+)互不相關(guān)，由于x(t)是平穩(wěn)的，均值為常數(shù)，所以有5）將式（8-38）和式（8-39）代入式（8-8）可得若將x(t)的均值扣除，則所得的自相關(guān)函數(shù)稱為自協(xié)方

12、差，表示為（8-39）（8-40） （8-41）三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差當(dāng)=0時，自協(xié)方差即為方差，即兩個不同隨機信號x(t)和y(t)之間的互相關(guān)聯(lián)的特性用互相關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)表示，互相關(guān)函數(shù)定義為互協(xié)方差函數(shù)定義為 （8-42） （8-43） （8-44）三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差互相關(guān)函數(shù)具有下列性質(zhì)；1） 不是偶函數(shù)，通常它不在=0處取峰值，其峰值偏離原點的位置反映了兩信號相互有多大時移時，相關(guān)程度最強。2） 和 是兩個不同的函數(shù)。3） （8-45）（8-46） 三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差由于信號x(t)和y(t)本身的取值大小導(dǎo)致計算相關(guān)函數(shù)結(jié)果取值的大小，因而在比較不同的兩組隨機信號相關(guān)

13、程度時，僅視其相關(guān)函數(shù)值大小是不確切的。為了避免信號本身幅值對其相關(guān)性程度量的影響，就將相關(guān)函數(shù)作歸一化處理，引入一個無量綱的函數(shù)：相關(guān)系數(shù)函數(shù)，其定義是若 ，說明x(t)與y(t)完全相關(guān)；若 ，說明x(t)與y(t)完全不相關(guān)；若 說明x(t)與y(t)部分相關(guān)。（8-47）三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差隨機信號序列x(n)的自相關(guān)函數(shù)定義為自協(xié)方差函數(shù)定義為隨機信號序列x(n)和y(n)的互相關(guān)函數(shù)定義為（8-48）（8-49） （8-50）三、 相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差互協(xié)方差函數(shù)定義為（8-51）四、功率譜密度隨機信號是在時間上無始無終地向正負方向無限延伸的、具有無限大能量的信號，它顯然不滿足狄里赫

14、利條件，不存在傅里葉變換，因此不可能用頻譜在頻域上對隨機信號進行分析處理，但可以認為它是一種功率信號，這與確定性周期信號相似，可以用信號的平均功率相對頻率的分布情況，即功率譜密度來分析描述隨機信號在頻域上的特性。隨機信號的功率譜密度有兩種定義方式：單邊功率譜密度和雙邊功率譜密度。四、功率譜密度設(shè)x(t)為平穩(wěn)隨機信號，則x(t)的自相關(guān)函數(shù)為自相關(guān)函數(shù) 的傅里葉變換為其反變換為當(dāng)=0時，由式（8-52）和（8-54）可得（8-52） （8-53） （8-54）（8-55） 四、功率譜密度上式左邊可理解為隨機信號電壓x(t)通過單位電阻時產(chǎn)生的平均功率，因此，由積分的意義， 可看成x(t)的平均

15、功率相對頻率的分布函數(shù)，所以稱 為雙邊自功率譜密度，簡稱功率譜密度。式（8-53）和式（8-54）稱之為維納一辛欽定理，定理表明：平穩(wěn)隨機信號的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換對。由于 是實偶函數(shù)，有(8-56) 四、功率譜密度則式（8-55）可寫成 令 ，則上式中的 也是功率譜密度，它反映了x(t)在正頻率軸上的功率分布狀況，稱之為單邊功率譜密度。顯然有(8-57) (8-58) (8-59) 四、功率譜密度兩個隨機信號頻域特性的相互關(guān)系用互功率譜密度來描述，互功率譜密度與互相關(guān)函數(shù)也是一對傅里葉變換對，為同樣 為雙邊互功率譜密度， 是單邊功率譜密度。顯然也有 (8-60) (8-61

16、) (8-62)四、功率譜密度由于互相關(guān)函數(shù) 不一定是偶函數(shù)，也不一定是奇函數(shù)，所以互功率譜密度具有復(fù)數(shù)形式上式中 稱為共譜密度函數(shù)， 稱為重譜密度函數(shù)。(8-63)(8-64) (8-65) 四、功率譜密度自功率譜與互功率譜間有如下關(guān)系 式（8-60）式（8-66）中各式對單邊、雙邊功率譜都成立。對于離散隨機信號序列 的自功率譜密度 與自相關(guān)函數(shù) 為其中=Ts，Ts為采樣周期。 (8-66) （8-67） （8-68） 四、功率譜密度 為實偶函數(shù)，從而有 同樣地，互功率譜密度與互相關(guān)函數(shù)也是一對傅里葉變換對 互功率譜密度具有如下性質(zhì)（8-69） （8-70） （8-71） （8-72） 四、

17、功率譜密度例8-2 已知平穩(wěn)隨機信號序列x(n)的自相關(guān)函數(shù) ，求其功率譜密度Sx()。解：（8-73） 四、功率譜密度例8-3 設(shè)隨機相位余弦信號 式中，A、0為常數(shù)，為在（0，2）上均勻分布的隨機變量，其概率密度為 試求其自相關(guān)函數(shù)Rx()和功率譜密度Sx()。解：1）由自相關(guān)函數(shù)定義，有四、功率譜密度 因此，周期函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，且具有相同的周期。2）由功率譜定義，得四、功率譜密度因此，其功率譜為兩個沖激函數(shù)的疊加。五、白噪聲和有色噪聲信號在測試系統(tǒng)中，除有用信號外的一切不需要的信號和干擾都可稱為噪聲。但通常，噪聲是指隨機產(chǎn)生的各種干擾。如某些電氣設(shè)備在工作時發(fā)出的電磁干擾，

18、自然界的雷電干擾，以及電子元器件中由于電子等的無規(guī)則運動而產(chǎn)生的起伏噪聲等。各種噪聲按其不同的發(fā)生機制而有不同的特性。這里主要討論測試系統(tǒng)中最常見的噪聲信號即白噪聲和有色噪聲。最典型的白噪聲是電阻熱噪聲，它是由導(dǎo)電媒質(zhì)中的電子熱運動引起的起伏電壓，一個電阻就是一個噪聲源。在20世紀(jì)20年代時，人們就從理論和實驗求得溫度為T，阻值為R的電阻的噪聲起伏電壓均方值為五、白噪聲和有色噪聲信號其中k為玻爾茲曼常數(shù)，B代表測量設(shè)備的帶寬，單位為Hz。由于熱噪聲是平穩(wěn)隨機過程，上式中 的即表示此有限頻帶B內(nèi)的噪聲功率，因此相應(yīng)的功率譜密度為此式表明，熱噪聲的功率譜密度僅由溫度T和電阻R決定，而不隨頻率變化。

19、這種頻譜為一常數(shù)的性質(zhì)，可以到頻率高達 Hz量級還能成立。五、白噪聲和有色噪聲信號理想的白噪聲是指對所有的頻率其功率譜密度都是一非零常數(shù)的隨機過程，即其自相關(guān)函數(shù)為（8-74）（8-75） 五、白噪聲和有色噪聲信號白噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度如圖8-2所示。白噪聲在=0時，其自相關(guān)函數(shù)為無窮大，在0時，Rx()=0，即表明白噪聲x(t)在t1t2（t2=t1+）時，x(t1)與x(t2)是不相關(guān)的。白噪聲這一名稱是由白色光譜包含了所有可見光頻率分量這個概念借用過來的。實際上這種理想白噪聲是不可能得到的，一般將功率譜密度在比實際考慮的有用頻帶寬得多的范圍內(nèi)均勻分布的噪聲，近似為白噪聲。圖8

20、-2 白噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度五、白噪聲和有色噪聲信號如果噪聲不是白噪聲，功率譜為有限帶寬，通常稱為有色噪聲，有色噪聲的情況有多種多類，若設(shè)某類有色噪聲的自相關(guān)函數(shù)為對Rn()作傅里葉變換，可得該有色噪聲的功率譜為五、白噪聲和有色噪聲信號該有色噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)如圖8-3所示。利用相關(guān)函數(shù)的特性從背景噪聲中提取周期信號。如一個周期信號，其相關(guān)函數(shù)也是周期的，而白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是非周期的，記為Rwn()=k()，即當(dāng)0時，Rwn()=0。 圖8-3有色噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)五、白噪聲和有色噪聲信號設(shè)信號是由周期信號p(t)和白噪聲n(t)所構(gòu)成，為且信號p(t)和白噪聲n(t

21、)相互統(tǒng)計獨立，從而有當(dāng)0時，則有所以，可以通過測算Rx()，就能確定周期信號p(t)是否存在。 （8-76）五、白噪聲和有色噪聲信號若信號 是隨機相位正弦波，則其自相關(guān)函數(shù)為若信號p(t)和有色噪聲n(t)相互統(tǒng)計獨立，則五、白噪聲和有色噪聲信號上式運算所得的自相關(guān)函數(shù)表示成如圖8-4所示。由圖和上式可知，增加到足夠大時，信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)只取決于周期信號p(t)的自相關(guān)函數(shù)，可以利用這一結(jié)果的特征判斷周期信號是否存在。在MATLAB信號處理工具箱中提供了計算隨機信號自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)的函數(shù)XCORR（），其具體調(diào)用格式可參見本書附錄。圖8-4 從有色噪聲中提取周期信號五、白噪聲和有色

22、噪聲信號例8-4 用MATLAB中的函數(shù)XCORR求出下列兩個周期信號的互相關(guān)函數(shù)，式中的f=10Hz。解: 計算兩個周期信號互相關(guān)函數(shù)的MATLAB程序N=500;Fs=500;pi=3.1416;Lag=200;五、白噪聲和有色噪聲信號n=0:N-1;t=n/Fs;x=sin(2*pi*10*t);y=2*sin(2*pi*10*t+pi/2);c,lags=xcorr(x,y,Lag,unbiased);subplot(3,1,1),plot(t,x,k);xlabel(t);ylabel(x(t);grid;subplot(3,1,2),plot(t,y,k);五、白噪聲和有色噪聲信號

23、xlabel(t);ylabel(y(t);grid;subplot(3,1,3);plot(lags/Fs,c,k);xlabel(t);ylabel(Rxy(t);grid;運算結(jié)果如圖8-5所示。五、白噪聲和有色噪聲信號圖8-5 互相關(guān)函數(shù)的計算結(jié)果五、白噪聲和有色噪聲信號由圖8-5可見， 也是周期信號，周期同樣是10 Hz，幅值為120.5=1，初始相角為90。從例8-4中可以得到互相關(guān)函數(shù)的一個重要性質(zhì)：兩個均值為零、具有相同頻率的周期信號，其互相關(guān)函數(shù)保留原信號頻率、相位差和幅值的信息。白噪聲在隨機信號處理技術(shù)中的作用非常重要，在下一節(jié)中，將介紹白噪聲在系統(tǒng)傳遞函數(shù)辨識中的應(yīng)用。第

24、三節(jié) 隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析當(dāng)一個線性穩(wěn)定系統(tǒng)在連續(xù)時間隨機信號作用下，其輸出也為隨機信號。由于隨機信號的隨機性，因而只能根據(jù)輸入隨機信號的統(tǒng)計特征和系統(tǒng)的特性確定該系統(tǒng)輸出信號的統(tǒng)計特征。下面主要分析隨機信號通過線性連續(xù)系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號是廣義平穩(wěn)時，輸出隨機信號也進入平穩(wěn)狀態(tài)后的均值、相關(guān)函數(shù)、自功率譜密度以及輸出與輸入之間的互相關(guān)函數(shù)、互功率譜密度等統(tǒng)計特征。主要內(nèi)容時域分析一頻域分析二利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)三一、 時域分析任何線性、集總參數(shù)的動態(tài)系統(tǒng)均可以用卷積函數(shù)描述它的輸出輸入關(guān)系，即式中h(t-)代表在時輸入端加以沖激信號而在t時輸出端的響應(yīng)，即系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。設(shè)

25、線性非時變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)。輸入信號x(t)是雙邊平穩(wěn)隨機信號，且有界（如圖8-6所示），則其輸出零狀態(tài)響應(yīng)y(t)表示為（8-77）（8-78）一、 時域分析即輸出為輸入函數(shù)和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的線性卷積。在t=0時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)已達到穩(wěn)態(tài)，故y(t)也是平穩(wěn)隨機信號?，F(xiàn)求y(t)的均值，由于x(t)為平穩(wěn)隨機信號為常數(shù)，故 圖8-6 隨機信號通過線性系統(tǒng)一、 時域分析 為一常數(shù)，當(dāng) 時， 。輸出信號的自相關(guān)函數(shù)為（8-79）一、 時域分析由于輸入為平穩(wěn)隨機過程 ，故有即輸出的自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)。（8-80）（8-81） （8-82）一、 時域分析由上可見，輸出的均值是與t無關(guān)的常數(shù)

26、，相關(guān)函數(shù)與時間起點無關(guān)。這說明線性非時變系統(tǒng)輸入是平穩(wěn)隨機信號時，其輸出也是平穩(wěn)隨機信號。同理可得輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)為一、 時域分析即由上可見，互相關(guān)函數(shù)與時間起點無關(guān)，是時差的函數(shù)。說明經(jīng)過動態(tài)系統(tǒng)后的輸出y(t)與輸入x(t)之間是聯(lián)合平穩(wěn)的。 （8-83）（8-84）二、頻域分析在輸入輸出均為平穩(wěn)隨機信號時，由于不能直接利用傅里葉分析的方法分析系統(tǒng)，故可以通過維納辛欽公式（8-53）、式（8-54）實現(xiàn)傅里葉分析系統(tǒng)的目的。由穩(wěn)定系統(tǒng)頻域的系統(tǒng)函數(shù)知由式（8-79）知系統(tǒng)輸出的均值為 ，由于（8-85） 二、頻域分析令 ，則（8-86） （8-87）二、頻域分析上式說明，系統(tǒng)輸

27、出信號的功率譜 可以由系統(tǒng)的幅頻特性 與輸入信號功率譜 確定?；蛘哒f，系統(tǒng)的幅頻特性可由輸入輸出信號的自功率譜確定，即根據(jù)動態(tài)系統(tǒng)的特性可以寫出它的轉(zhuǎn)移函數(shù)，利用式（8-86）可以得到輸出信號的 ，再利用傅里葉反變換即可求出輸出信號的相關(guān)函數(shù)為輸出信號的均方值為（8-88） （8-89）二、頻域分析不難看出，采用功率譜密度方法是研究輸出過程統(tǒng)計特性的一種比較簡便的方法。同理可求出輸入輸出信號之間的互功率譜。對式（8-83）取傅里葉變換得即 （8-90） 二、頻域分析相應(yīng)的 可見互功率譜不僅包含有系統(tǒng)函數(shù)的幅度信息，而且還包含有相位信息，即通過測量互功率譜與自功率譜求得系統(tǒng)的頻率特性。例8-5

28、設(shè)具有延時單元的線性系統(tǒng)，輸入信號x(t)滿足平穩(wěn)性和遍歷性，自相關(guān)函數(shù) ，求系統(tǒng)輸出y(t)的功率譜 。（8-91） （8-92）二、頻域分析解： 根據(jù)線性系統(tǒng)是延時單元的特性，設(shè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 為實常數(shù)。輸出的自相關(guān)函數(shù)為二、頻域分析輸出的功率譜密度函數(shù)為二、頻域分析例8-6 試求功率譜密度 為常數(shù)的理想 白噪聲，通過理想低通濾波器后的輸出功率譜密度，自相關(guān)函數(shù)及輸出的噪聲功率。解：設(shè)理想低通濾波器的截止頻率為，頻域的系統(tǒng)函數(shù)表示為 其中A為常數(shù)，故 ，根據(jù)上述公式可得出功率譜密度二、頻域分析輸出自相關(guān)函數(shù)二、頻域分析由上述可知， ，這說明 和 當(dāng) 時正交。因輸入過程的均值為0，故相

29、隔時間為 的兩個值 不相關(guān)。輸出噪聲功率為三、利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù) 根據(jù)線性非時變系統(tǒng)中輸入輸出信號之間的互功率譜關(guān)系式（8-90），可以得到線性非時變系統(tǒng)中輸入輸出信號之間的時域互相關(guān)函數(shù)關(guān)系如下： 因此，若知道 和 后，就可求解出系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng) 。這是一個解卷積的問題，是卷積的逆運算。 利用式（8-74）、（8-75）的白噪聲的性質(zhì)，可以將白噪聲作為輸入系統(tǒng)的信號，則： （8-93） 三、利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)將上式帶入式（8-93）式（8-95）表明：當(dāng)輸入信號為白噪聲時，輸入輸出間的互相關(guān)函數(shù)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)僅差一比例系數(shù) （稱作白噪聲強度）。對式（8-95）

30、進行傅里葉變換，在頻域上有（8-94）（8-95） （8-96）三、利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)此外，當(dāng)輸入信號中含有白噪聲時，還可以進行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在線辨識。設(shè)系統(tǒng)在正常工作狀態(tài)下，其輸入信號為有用信號 疊加一白噪聲 相應(yīng)的實際輸出 為三、利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)式中， 和 分別是 和 引起的響應(yīng)。 與 之間的互功率譜密度為 其中， 和 分別是 與 和 與 之間的互功率譜密度。通常， 與 是互相統(tǒng)計獨立的，即（8-97）三、利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)將上式代入式（8-97），并根據(jù)式（8-96），可得因此(8-98) 三、利用白噪聲輸入來辨識系統(tǒng)傳遞函數(shù)式（8-98）表明

31、：測量計算所得的僅與及輸入的白噪聲強度有關(guān)，而與系統(tǒng)的正常輸入 、正常輸出 無關(guān)。加入系統(tǒng)的白噪聲強度是很小的量級，不會影響系統(tǒng)的正常運行，因此可以進行在線辨識，即使混入其他噪聲，只要與白噪聲不相關(guān)，就不會影響系統(tǒng)辨識的結(jié)果。所以，在線辨識具有一定的抗干擾能力。第四節(jié) 功率譜估計在一般工程實際中，隨機信號通常是無限長的，例如，傳感器的溫漂，不可能得到無限長時間的無限個觀察結(jié)果來獲得完全準(zhǔn)確的溫漂情況，即隨機信號總體的情況，一般只能在有限的時間內(nèi)得到有限個結(jié)果，即有限個樣本，根據(jù)經(jīng)驗來近似地估計總體的分布。有時，甚至不需要知道隨機信號總體的分布，而只知道其數(shù)字特征，如均值、方差、均方值、相關(guān)函數(shù)

32、、功率譜的情況即估計值就夠了。上述情形下，用有限個樣本的估計值來推斷總體或有關(guān)參數(shù)的真值，就是所謂的估計問題。本小節(jié)介紹相關(guān)函數(shù)和功率譜估計的最基本的方法。主要內(nèi)容相關(guān)函數(shù)的估計一功率譜估計二一、相關(guān)函數(shù)的估計 對于平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)連續(xù)隨機信號來說，任一樣本的自相關(guān)函數(shù)與總體的自相關(guān)函數(shù)是相等的，即周期為T的周期信號，其自相關(guān)函數(shù)為（8-99） 一、相關(guān)函數(shù)的估計若用一長度為N的有限長序列來估計離散信號序列 的自相關(guān)函數(shù)時，應(yīng)用下式 上式中求和的總項數(shù)只能是N-|m|，因為如果取i=N-|m|時，x(i+m)=x(N)，再長就超過了取樣數(shù)據(jù)的長度N?？梢宰C明，由上式算得的自相關(guān)估計函數(shù)是無偏估計。

33、但是，當(dāng)m的值接近于N時，其方差變大，表明估計值很分散，雖然是無偏估計，實際上不常采用，多采用下面的估計式（8-100） 一、相關(guān)函數(shù)的估計但所得的自相關(guān)函數(shù)的估計是有偏估計，有而當(dāng)N時，有（8-101）（8-102)（8-103） 一、相關(guān)函數(shù)的估計上式表明是漸近無偏估計。由式（8-102）還可以看出：|m|越大，偏差越大。但m大小不影響估計的方差，因此，這種估計方法比較常用。在用這種方法估計自相關(guān)函數(shù)時，|m|宜取小，N要取大，以減小估計的偏差。但隨著N的增大，運算時間迅速增加，為了解決估計精度和速度的矛盾，又提出了一種用FFT進行相關(guān)函數(shù)估計的方法，利用相關(guān)與卷積之間的關(guān)系，有可以用FF

34、T來計算上述卷積，得出相關(guān)函數(shù)的估計。（8-104） 二、功率譜估計功率譜估計在雷達、聲納、語音、地震學(xué)和生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，如了解目標(biāo)特性、進行目標(biāo)識別；對運行機床、飛機、汽車等進行譜分析，可以檢驗設(shè)計效果和診斷故障。所以在分析隨機信號時，功率譜估計的問題十分重要。功率譜估計分為經(jīng)典功率譜估計法和現(xiàn)代功率譜估計法。經(jīng)典功率譜估計法的主要特點是與任何模型參數(shù)無關(guān)，是一類非參數(shù)化方法；而現(xiàn)代功率譜估計法的主要特點是使用參數(shù)化的模型，是一類參數(shù)化的功率譜估計方法。下面只介紹經(jīng)典功率譜估計法，主要討論離散隨機信號序列的功率譜估計問題，這是一種最基本最常用的經(jīng)典功率譜估計方法。二、功率譜估

35、計由前面隨機信號描述一節(jié)知道，連續(xù)隨機信號的功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換對，即若 是 的抽樣序列，由序列的傅里葉變換的關(guān)系，可得即 與 也是一對傅里葉變換對。顯然，由序列傅里葉變換的頻譜特性可知， 是以2為周期的。二、功率譜估計而實際計算只能從離散隨機信號序列 的有限長（長度為N）的數(shù)據(jù)來對 與 進行估計。設(shè)有限長離散序列為 ，則由DFT的下列卷積特性： 若 ，則 從而有 即（8-105） 二、功率譜估計綜上所述，先用FFT求出隨機離散信號N點的DFT，再計算幅頻特性的平方，然后除以N，即得出該隨機信號的功率譜估計。由于這種估計方法是在將Rx()離散化的同時，使其功率譜周期化了，故稱

36、之為“周期圖法”，也稱為經(jīng)典譜估計法。周期圖法進行譜估計，是有偏估計，由于卷積的運算過程會導(dǎo)致功率譜真實值的尖峰附近產(chǎn)生泄漏，相對地平滑了尖峰值，因此造成譜估計的失真。另外，當(dāng)N時，功率譜估計的方差不為零，所以不是一致性估計。并且功率譜估計在等于 2/N整數(shù)倍的各數(shù)字頻率點互不相關(guān)，其譜估計的波動比較顯著，特別是當(dāng)N越大、2/N越小時，波動越明顯。但如果N取得太小，又會造成分辨率的下降。為此，人們提出了許多改進的周期圖法，如分段平均周期圖法、加窗平均周期圖法等。二、功率譜估計分段平均周期圖法就是將信號進行分段進行譜估計并將之進行平均，從而得到最終的譜估計。加窗平均周期圖法就是在計算周期圖法之前，對信號分段加非矩形窗，形成修正周期圖法，加窗平均周期圖