第四課時(shí)向量的數(shù)乘（一）

1、- PAGE 3 -第四課時(shí) 向量的數(shù)乘(一)教學(xué)目標(biāo)：掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律，理解兩個(gè)向量共線的條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行.教學(xué)重點(diǎn)：實(shí)數(shù)與向量積的定義；實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律；教學(xué)難點(diǎn)：對向量共線的理解.教學(xué)過程：.復(fù)習(xí)回顧前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算.這一節(jié)，我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計(jì)算及其推廣.講授新課在代數(shù)運(yùn)算中，aaa3a，故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡便計(jì)算方法，所以相同向量的求和運(yùn)算也有類似的簡便計(jì)算.已知非零向量a，我們作出aaa和(a)(a)(a).由圖可知， eq

2、 o(OC,sup6() eq o(OA,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(BC,sup6()aaa，我們把a(bǔ)aa記作3a，即 eq o(OC,sup6()3a，顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即3a3a. 同樣，由圖可知， eq o(PN,sup6() eq o(PQ,sup6() eq o(QM,sup6() eq o(MN,sup6()(a)(a)(a)，我們把(a)(a)(a)記作3a，即 eq o(PN,sup6()3a，顯然3a的方向與a的方向相反，3a的長度是a的長度的3倍，即3a3a.上述過程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積.1.實(shí)數(shù)與向量

3、的積實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，其長度和方向規(guī)定如下：(1)aa(2)當(dāng)0時(shí)， a與a同向；當(dāng)0時(shí)， a與a反向；當(dāng)0時(shí)， a0.根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律.2.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律(1) (a)()a(2)()aaa(3) (ab)ab說明：對于運(yùn)算律的驗(yàn)證要求學(xué)生通過作圖來進(jìn)行.3.向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.說明：(1)推證過程引導(dǎo)學(xué)生自學(xué)；(2)可讓學(xué)生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正確，目的是通過0與任意向量的平行來加強(qiáng)學(xué)生對于充要條件的認(rèn)識.下面我們通過例題分析來進(jìn)一步熟悉向量與實(shí)數(shù)積的定義、運(yùn)算律及兩向量

4、共線的充要條件的應(yīng)用.例1若3m2na，m3nb，其中a，b是已知向量，求m，n.分析：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.解：記3m2nam3nb3得3m9n3b得11na3b.n eq f(1,11) a eq f(3,11) b將代入有：mb3n eq f(3,11) a eq f(2,11) b評述：在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證 eq o(EF,sup6() eq f(1,2) ( eq o(

5、AB,sup6() eq o(DC,sup6().證法一：構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決.過點(diǎn)C在平面內(nèi)作 eq o(CG,sup6() eq o(AB,sup6()，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點(diǎn).EF是ADG的中位線，EF eq f(1,2) DG， eq o(EF,sup6() eq f(1,2) eq o(DG,sup6().而 eq o(DG,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(CG,sup6() eq o(DC,sup6() eq o(AB,sup6()， eq o(EF,sup6() eq f(1,2) ( eq o

6、(AB,sup6() eq o(DC,sup6().證法二：創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系如圖，連EB，EC，則有 eq o(EB,sup6() eq o(EA,sup6() eq o(AB,sup6()， eq o(EC,sup6() eq o(ED,sup6() eq o(DC,sup6()，又E是AD之中點(diǎn)，有 eq o(EA,sup6() eq o(ED,sup6()0.即有 eq o(EB,sup6() eq o(EC,sup6() eq o(AB,sup6() eq o(DC,sup6()；以 eq o(EB,sup6()與 eq o(EC,sup6()為鄰邊作平行四邊形EBGC，則由F是BC之中點(diǎn)，可得F也是EG之中點(diǎn). eq o(EF,sup6() eq f(1,2) eq o(EG,sup6() eq f(1,2) ( eq o(EB,sup6() eq o(EC,sup6() eq f(1,2) ( eq o(AB,sup6() eq o(DC,sup6().課