電路分析基礎(chǔ)課件-(2)[278頁]

1、第 2 章 電阻電路分析2. 1 支路電流法2. 2 網(wǎng)孔分析法2. 3 回路電流法2. 4 結(jié)點(diǎn)電位法2. 5 疊加定理2. 6 齊次定理2. 7 替代定理2. 8 等效電源定理2. 9 最大功率傳輸定理習(xí)題2第一章介紹了電路的基本概念、基本定律和簡(jiǎn)單電路的分析計(jì)算方法。本章將討論復(fù)雜電路的一般分析計(jì)算方法，如支路電流法、網(wǎng)孔分析法、結(jié)點(diǎn)電位法等。同時(shí)，還將介紹利用電路定理進(jìn)行電路分析的方法，如疊加定理、替代定理、戴維寧定理、最大功率傳輸定理等。此外，為激發(fā)廣大讀者對(duì)本章所述的電路分析方法的深入理解、掌握和應(yīng)用，我們特在部分小節(jié)末給出了一些仿真實(shí)例，以期能為讀者提供一定的幫助。電阻電路的這些

2、分析方法將廣泛應(yīng)用或推廣用于后續(xù)各章。2. 1 支 路 電 流 法根據(jù)第一章的介紹，我們知道將僅包含電阻、獨(dú)立源和受控源的電路稱為電阻電路。對(duì)其進(jìn)行分析的最一般的方法就是方程法。此類方法是在不改變電路結(jié)構(gòu)的情況下，以減少電路方程數(shù)目為目的，選擇一組合適的電路變量。依據(jù)兩類約束，即元件的 VCR 和電路的拓?fù)浼s束特性( KCL 、 KVL )，建立獨(dú)立的方程組，求解得到電路變量，進(jìn)而求得所需的物理量。本章只討論線性電阻電路的一般分析方法，它是學(xué)習(xí)非線性電阻電路、動(dòng)態(tài)電路的基礎(chǔ)。同時(shí)，本章的分析方法也適用于后續(xù)的正弦穩(wěn)態(tài)電路。2. 1. 1 支路電流法下面，我們介紹屬于方程法中的最基本的方法，即支

3、路電流法。它是以支路電流為變量，根據(jù)兩類約束建立獨(dú)立的方程組，求解出各支路電流，進(jìn)而可求出電路中任意處的電壓、功率等。下面以一個(gè)具體例子來說明支路電流法分析電路的全過程。如圖 2.1. 1 所示，電路有 2 個(gè)結(jié)點(diǎn)( n =2 )、 3條支路(b =3 )。設(shè)各支路電流分別為 i 1 、 i 2 、 i 3 ，其參考方向如圖中所示。就本例而言，就是如何找到包含未知量 i1 、 i 2 、 i 3 的 3 個(gè)相互獨(dú)立的方程組。圖 2.1. 1 支路電流法分析用圖根據(jù) KCL ，對(duì)結(jié)點(diǎn) a 和 b 分別建立電流方程。設(shè)流出結(jié)點(diǎn)的電流取正號(hào)，則有結(jié)點(diǎn) a :結(jié)點(diǎn) b :顯然，將式(2. 1. 1 )

4、變形后即可得到式( 2. 1. 2 )，說明此兩式不是相互獨(dú)立的。故為了得到獨(dú)立的 KCL 方程只能取其中任意一個(gè)，例如取式( 2.1. 1 )。根據(jù) KVL ，按圖中的繞行方向?qū)芈?、 、 分別列 KVL 方程。顯然，這三個(gè)方程也不是相互獨(dú)立的，任意一式都可以由其它兩式相加減得到。如式(2. 1. 3 )與式( 2. 1. 4 )相加可以得到式( 2. 1. 5 )，所以只能取其中的兩式作為獨(dú)立方程的 KVL方程，這里可取式(2. 1. 3 )和式( 2. 1. 4 )。聯(lián)立獨(dú)立的 KCL 方程和獨(dú)立的 KVL 方程:式( 2. 1. 6 )即為圖 2. 1. 1 所示電路以支路電流為未知

5、量的獨(dú)立方程組之一，它完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約束關(guān)系。該方程組中方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等，故該方程組有唯一解。求解此方程組，即可得到 3 個(gè)未知的支路電流。求得各支路電流之后，再根據(jù)元件的 VCR 以及回路的 KVL ，即可求得任意支路的電壓，然后根據(jù)功率的定義還可求得任意支路上的功率等。2. 1. 2 KCL 和 KVL 的獨(dú)立方程對(duì)上述電路利用支路電流法分析列寫方程時(shí)，先列出所有 KCL 和 KVL 方程，然后通過觀察比較，從中找出獨(dú)立的 KCL 方程和獨(dú)立的 KVL 方程。如果電路比較復(fù)雜，結(jié)點(diǎn)數(shù)、回路數(shù)較多，則按照這種方式來找所需的獨(dú)立方程就是件很麻煩的事。

6、對(duì)于具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)、 b 條支路的電路來說，其 KCL 獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)及KVL 獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)分別是多少呢? 下面將給出結(jié)論及說明。1.KCL 的獨(dú)立方程設(shè)一個(gè)電路如圖 2.1. 2 所示，對(duì)結(jié)點(diǎn) a 、 b 、 c 、 d 分別列寫 KCL 方程:圖 2.1. 2 KCL 和 KVL 獨(dú)立方程在這些方程中，每個(gè)支路電流均作為一項(xiàng)出現(xiàn)兩次，一次為正，一次為負(fù)(指電流符號(hào))。這是因?yàn)槊總€(gè)支路都連接在兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間，所以每個(gè)支路電流必定從一個(gè)結(jié)點(diǎn)流入，從另一個(gè)結(jié)點(diǎn)流出。這個(gè)支路電流與其它結(jié)點(diǎn)不會(huì)發(fā)生直接聯(lián)系。因此，上面任意 3 個(gè)方程相加，必將得出第 4 個(gè)方程。這個(gè)結(jié)論對(duì)于 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)的電路同樣

7、適用。對(duì)于 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)列出 KCL 方程，所得 n 個(gè)方程中任何一個(gè)都可以從其余 n -1 個(gè)方程中推出來，所以獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)不會(huì)超過 n -1 個(gè)，可以證明 KCL 獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)是 n -1 個(gè)。通常將能列出獨(dú)立 KCL 方程的結(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)。2.KVL 獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)在圖 2.1. 2 所示電路中，對(duì) 3 個(gè)網(wǎng)孔和外回路分別列出 KVL 方程。在這些方程中，任意 3 個(gè)方程相加，必將得出第 4 個(gè)方程，因此，只有 3 個(gè)方程是獨(dú)立的。可以證明:具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)、 b 條支路的電路，只能列出 b - (n -1 )個(gè)獨(dú)立的 KVL 方程。習(xí)慣上把能列寫出獨(dú)立方程的回路稱為獨(dú)立回路。對(duì)于平

8、面電路(注:平面電路是可以畫在平面上不出現(xiàn)支路交叉的電路)，有幾個(gè)網(wǎng)孔就有幾個(gè)獨(dú)立的回路數(shù)，這是因?yàn)槿魏我粋€(gè)網(wǎng)孔總有一條支路是其它網(wǎng)孔所沒有的。這樣，沿著網(wǎng)孔的回路列寫 KVL 方程，其方程中總會(huì)出現(xiàn)一個(gè)新的變量。綜上所述，對(duì)于具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)， b 條支路的電路， KCL 獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)為 n -1 個(gè);KVL 獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)為 b - ( n -1 )個(gè)，兩個(gè)獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)之和是 b 個(gè)，正好是求 b 個(gè)支路電流所需的方程數(shù)。2. 1. 3 支路電流法的步驟和特點(diǎn)1. 支路電流法的一般步驟用支路電流法求解具有 n 個(gè)結(jié)點(diǎn)、 b 條支路的線性電阻電路的步驟如下:(1)選定 b 個(gè)支路電流的參

9、考方向;(2 )對(duì) n -1 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，列出獨(dú)立 KCL 方程;(3 )選定 b - n +1 個(gè)獨(dú)立回路(基本回路或網(wǎng)孔)，指定回路繞行方向，根據(jù) KVL 列出回路電壓方程(將支路電壓用支路電流來表示):( 4 )聯(lián)立求解上述 b 個(gè)支路的電流方程;(5 )求解題中要求的支路電壓或功率等。2. 支路電流法的特點(diǎn)支路法列寫的是 KCL 和 KVL 方程，所以方程列寫方便、直觀，但方程數(shù)較多，宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。【例 2.1. 1 】 求圖 2. 1. 3 所示各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。解 各支路電流的參考方向及兩個(gè)網(wǎng)孔的繞行方向如圖 2.1. 3 所示。(1) n -1=1

10、個(gè) KCL 方程:結(jié)點(diǎn) a :圖 2.1. 3 例 2. 1. 1 的圖(2 ) b - ( n -1 ) =2 個(gè) KVL 方程:用克萊姆法則求解由式( 2. 1. 7 )、式( 2. 1. 8 )和式( 2. 1. 9 )組成的三元一次方程組。 和 j 分別為【例 2.1.2 】 用支路電流法求圖 2.1.4 所示電路中的各支路電流(電路中含有理想電流源)。解 顯然 I 1 =2A 已知，故只列寫兩個(gè)方程。上邊結(jié)點(diǎn):避開電流源支路取回路(回路按照逆時(shí)針方向繞行):聯(lián)立求解得圖 2.1. 4 例 2. 1. 2 的圖【例 2.1. 3 】 用支路法求解圖 2. 1. 5 所示電路中各支路電流

11、(電路中含有受控源)。圖 2.1. 5 例 2. 1. 3 的圖解 各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖 2.1. 5 所示。受控電壓源當(dāng)獨(dú)立電壓源一樣處理，對(duì)電流源的處理方法:在其兩端設(shè)定一電壓 U 。對(duì)獨(dú)立結(jié)點(diǎn) a ，列 KCL 方程:對(duì)兩個(gè)網(wǎng)孔，利用 KVL 列回路方程:上面三個(gè)方程共有四個(gè)未知量。補(bǔ)充一個(gè)方程:將受控源控制量 u 1 用支路電流表示，即解式(2. 1. 10 ) 式( 2. 1. 13 )得支路電流為2. 2 網(wǎng) 孔 分 析 法支路電流法適用于簡(jiǎn)單電路計(jì)算，由于獨(dú)立方程數(shù)目等于電路的支路數(shù)，對(duì)支路數(shù)較多的復(fù)雜電路，需要列寫的方程往往太多，手工解算較麻煩。那么，能否使方程數(shù)減少呢?

12、若能，則解算方程的工作量就可大大減少，這是我們所期望的。本節(jié)要討論的網(wǎng)孔分析法就是基于這種想法而提出的一種改進(jìn)方法。1. 網(wǎng)孔分析法的定義以沿網(wǎng)孔連續(xù)流動(dòng)的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法稱為網(wǎng)孔電流法。它僅適用于平面電路。2. 網(wǎng)孔分析法的基本思想為減少未知量(方程)的個(gè)數(shù)，假想每個(gè)網(wǎng)孔中有一個(gè)網(wǎng)孔電流。各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示，來求得電路的解。需要注意的是，網(wǎng)孔電流是一種假想的電流，實(shí)際電路中并不存在。引入網(wǎng)孔電流純粹是為了分析電路方便下面通過圖 2.2. 1 所示的電路加以說明。此平面電路有兩個(gè)網(wǎng)孔，假設(shè)有兩個(gè)電流i m 1 、 i m 2 分別沿著該電路的兩個(gè)網(wǎng)孔

13、連續(xù)流動(dòng)。由于支路 1 只有電流 i m 1流過，實(shí)際的支路1 的電流為 i 1 ，可見 i 1 = i m 1 ;類似地， i 2 = i m 2 ;而支路 3 有兩個(gè)電流 i m 1 、 i m 2流過，支路 3的電流應(yīng)為假設(shè)的兩個(gè)電流 i m 1 、 i m 2的代數(shù)和，實(shí)際支路 3 的電流為 i3 ，可見 i3 = i m 1 - i m 2 。我們把沿著網(wǎng)孔 1 流動(dòng)的電流 i m 1和沿著網(wǎng)孔 2 流動(dòng)的電流 i m 2稱為網(wǎng)孔電流。當(dāng)各支路電流用網(wǎng)孔電流表示后，則 KCL 自動(dòng)滿足，這是因?yàn)榫W(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中是閉合的，對(duì)每個(gè)相關(guān)結(jié)點(diǎn)均流進(jìn)一次，流出一次，所以 KCL 自動(dòng)滿足。因此

14、網(wǎng)孔分析法是對(duì)網(wǎng)孔回路列寫KVL 方程，方程數(shù)為網(wǎng)孔數(shù)。圖 2.2. 1 網(wǎng)孔分析法示意圖 3. 方程的列寫觀察可以看出如下規(guī)律:R 11 = R 1 + R 3 :網(wǎng)孔 1 中所有電阻之和，稱為網(wǎng)孔 1 的自電阻。R 22 = R 2 + R 3 :網(wǎng)孔 2 中所有電阻之和，稱為網(wǎng)孔 2 的自電阻。R 12 = R 21 = - R 3 :網(wǎng)孔 1 、網(wǎng)孔 2 之間的互電阻。u s m 1 = u s1 :網(wǎng)孔 1 中所有電壓源電壓的代數(shù)和。u s m 2 = u s2 :網(wǎng)孔 2 中所有電壓源電壓的代數(shù)和。以下幾點(diǎn)需注意:(1 )自電阻總為正。(2 )當(dāng)兩個(gè)網(wǎng)孔電流流過相關(guān)支路方向相同時(shí)，

15、互電阻取正號(hào)，否則為負(fù)號(hào)。(3 )當(dāng)電壓源電壓方向與該網(wǎng)孔電流方向一致時(shí)，取負(fù)號(hào)，反之取正號(hào)。這樣改寫上面兩式，得到方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:式(2. 2. 1 )稱為網(wǎng)孔電流方程，簡(jiǎn)稱網(wǎng)孔方程。對(duì)于具有 m 個(gè)網(wǎng)孔的電路，有式(2. 2. 2 )的方程可以憑觀察直接列出，其中:當(dāng)網(wǎng)孔電流均取順(或逆)時(shí)針方向時(shí)， Rjk均為負(fù)。無受控源的線性網(wǎng)絡(luò) Rjk= Rkj，系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。 u s kk ( k =1 ， 2 ， m )為第 k 個(gè)網(wǎng)孔所有獨(dú)立電壓源的代數(shù)和，當(dāng)網(wǎng)孔電流的繞行方向從電壓源的“ - ”極指向“ + ”極時(shí)，此電壓源的電壓值取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。網(wǎng)孔分析法的一般步驟如下:(1 )選

16、網(wǎng)孔為獨(dú)立回路，并確定其繞行方向;(2 )以網(wǎng)孔電流為未知量，列寫其 KVL 方程;(3 )求解上述方程，得到 m 個(gè)網(wǎng)孔電流;(4 )求各支路電流;(5 )其它分析。網(wǎng)孔電流法僅適用于平面電路。 4. 網(wǎng)孔法求解電路舉例【例 2.2. 1 】 電路如圖 2. 2. 2 所示，試用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程。圖 2.2. 2 例 2. 2. 1 的圖解 首先假設(shè)各網(wǎng)孔電流的繞行方向如圖 2.2. 2 所示，用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程。整理得 【例 2. 2. 2 】 電路如圖 2. 2. 3 ( a )所示。試用網(wǎng)孔電流法求解通過 6 電阻的電流 I 。圖 2.2. 3 例 2. 2. 2

17、的圖解 此電路為平面電路，可用網(wǎng)孔法分析。電路有兩個(gè)網(wǎng)孔，假設(shè)其電流繞行方向如圖 2.2. 3 ( b )所示。本例中電流源是兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路，由于網(wǎng)孔方程是 KVL 方程，因此在電流源兩端設(shè)一個(gè)電壓變量 U ，將其按照獨(dú)立電壓源對(duì)待。列寫網(wǎng)孔方程如下:上式中多了一個(gè)變量 U ，還應(yīng)補(bǔ)充一個(gè)方程:聯(lián)立式(2. 2. 3 )和式( 2. 2. 4 )解得: I 2 =-1A ，則由圖顯然有: I =- I 2 =1A 。 【例 2.2. 3 】 電路如圖 2. 2. 4 所示，用網(wǎng)孔電流法求電壓 U ab 。圖 2.2. 4 例 2. 2. 3 的圖解 此電路為平面電路，可用網(wǎng)孔法分析。設(shè)電路

18、中兩個(gè)網(wǎng)孔的繞行方向均為順時(shí)針方向。此電路有一受控電壓源，先將其當(dāng)作獨(dú)立電壓源對(duì)待。列寫網(wǎng)孔方程:上式多了一個(gè)變量 U ，將其用網(wǎng)孔電流表示，增補(bǔ)一個(gè)方程:以上兩式聯(lián)立解得進(jìn)而根據(jù) KVL 有在 MATLAB 中，所有的變量和常量都以矩陣的形式存在。行向量可視作 1 n 的矩陣，列向量可視作 n 1 的矩陣，標(biāo)量可視作 11 的矩陣。矩陣中的各元素可以是復(fù)數(shù)或者表達(dá)式。這些特點(diǎn)使 MATLAB 具有強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算和復(fù)數(shù)運(yùn)算能力，在處理電路分析的各種問題時(shí)，相比于其它語言，編程更加簡(jiǎn)便，運(yùn)算效率更高，更易于實(shí)現(xiàn)。 【例 2.2. 4 】 在圖 2. 2. 5 所示的電路中，已知 R 1 = R

19、2 =10 ， R 4 = R 5 =8 ， R 3 = R 6 =2 ， U s3 =20V ， U s6 =40V ，用網(wǎng)孔法求解 i 5 。圖 2.2. 5 例 2. 2. 4 的圖 【例 2.2. 5 】 電路如圖 2. 2. 6 所示，電壓源 U 1 =8V ， U 2 =6V ， R 1 =20 ， R 2 =40 ，R 3 =60 ，用網(wǎng)孔電流分析法求網(wǎng)孔 、 的電流。解 假定網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中順時(shí)針方向流動(dòng)，用網(wǎng)孔電流分析法可求得網(wǎng)孔 、 的電流分別為 127mA 、 -9.091mA 。在 Multisim 的電路窗口中創(chuàng)建圖 2. 2. 7 所示的電路，啟動(dòng)仿真，圖中電流表的

20、讀數(shù)即為仿真分析的結(jié)果?？梢姡碚撚?jì)算與電路仿真結(jié)果相同。圖 2.2. 6 例 2. 2. 5 電路圖圖 2.2. 7 例 2. 2. 5 仿真電路圖2. 3 回 路 電 流 法網(wǎng)孔分析法僅適用于平面電路，而回路電流法則更具有一般性。它不僅適用于分析平面，也適用于分析非平面電路，在使用中還具有一定的靈活性。1. 回路電流法的定義以獨(dú)立回路(它不一定是網(wǎng)孔)中沿回路連續(xù)流動(dòng)的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法，稱為回路電流法。它適用于平面和非平面電路?；芈冯娏鞣ň褪钦页霆?dú)立回路，假設(shè)回路電流，按獨(dú)立回路列寫 KVL 方程求解電路的方法，方程數(shù)為 b - (n -1 )。獨(dú)立回路的選取是使

21、所選回路都包含一條其它回路所沒有的新支路。下面說明怎樣用回路電流法來求解電路。2. 方程的列寫【例 2.3. 1 】 如圖 2. 3. 1 所示，用回路法求解電流 i圖 2.3. 1 例 2. 3. 1 的圖解 本例中，只需求 R 5 上的電流。因此，選取獨(dú)立回路時(shí)，只讓一個(gè)回路電流經(jīng)過 R 5支路。如圖選取回路，其中回路 1 、 2 是平面電路中的兩個(gè)網(wǎng)孔，而回路 3 的選取不是右下的網(wǎng)孔，而是由 R 1 、 R 2 、 R 3 、 R 4 構(gòu)成的回路，則 i =i 2 。仿照之前的網(wǎng)孔分析法，根據(jù)所選獨(dú)立回路列寫 KVL 方程，有求解此方程組，我們只需解出 i 2 就可完成本電路的求解。而

22、若是用網(wǎng)孔分析法的話，則需要求解出至少兩個(gè)網(wǎng)孔電流，然后根據(jù)待求支路電流和兩個(gè)網(wǎng)孔電流的關(guān)系才能求解出待求變量，明顯要比回路電流法的計(jì)算量大。一般地，對(duì)于具有 l = b - (n -1 )個(gè)回路的電路，其回路方程與 2. 2 節(jié)中的式( 2. 2. 2 )類似，只需將式(2. 2. 2 )中的 m 換為 l 即可。綜上，回路法的一般步驟如下:(1 )選定 l = b - ( n -1 )個(gè)獨(dú)立回路，并確定其繞行方向;(2 )對(duì) l 個(gè)獨(dú)立回路，以回路電流為未知量，列寫其 KVL 方程;(3 )求解上述方程，得到 l 個(gè)回路電流;(4 )求各支路電流;(5 )其它分析?；芈贩ǖ奶攸c(diǎn): 通過靈活

23、地選取回路可以減少計(jì)算量; 互有電阻的識(shí)別難度加大，易遺漏互有電阻。 【例 2.3. 2 】 求圖 2. 3. 2 所示電路中電壓 U 、電流 I 和電壓源產(chǎn)生的功率。圖 2.3. 2 例 2. 3. 2 的圖解 本題 n =3 ， b =6 ，則 l = b - (n -1 ) =4 ，即有 4 個(gè)獨(dú)立回路。選取 4 個(gè)獨(dú)立回路并指定繞行方向，如圖所示。顯然，幾個(gè)電流源的電流與回路電流相同，即: i1 =2A ， i 2 =2A ，i 3 =3A 。因此，只需對(duì)獨(dú)立回路 4 列寫 KVL 方程:解得進(jìn)而可求得如果此例選網(wǎng)孔法進(jìn)行分析，那么除了兩個(gè)網(wǎng)孔電流已知外，還需要再列兩個(gè)網(wǎng)孔方程;而利用

24、回路電流法，按照上面選取獨(dú)立回路，僅需要列一個(gè)回路方程，計(jì)算量明顯減少。最后，需要明確的是網(wǎng)孔法是回路法的特殊情況。網(wǎng)孔只是平面電路的一組獨(dú)立回路，許多實(shí)際電路都屬于平面電路，選取網(wǎng)孔作獨(dú)立回路方便易行，所以把這種特殊條件下的回路法歸納為網(wǎng)孔法。 【例 2.3. 3 】 如圖 2. 3. 3 所示電路，用回路電流法求兩電路中的電流 I 。解 ( a )本題 n =3 ， b =5 ，則 l = b - (n -1 ) =3 ，即有 3 個(gè)獨(dú)立回路。選取 3 個(gè)獨(dú)立回路并指定繞行方向如題 2.3. 3 圖( a )所示。顯然，幾個(gè)電流源的電流與回路電流相同，即i 1 =1A ， i 2 =3A

25、。因此，只需對(duì)獨(dú)立回路 3 列寫 KVL 方程:解得則 ( b )類似地，本題 n =4 ， b =6 ，則 l = b - ( n -1 ) =3 ，即有 3 個(gè)獨(dú)立回路。選取 3 個(gè)獨(dú)立回路并指定繞行方向，如題 2.3. 3 圖( b )所示。顯然，幾個(gè)電流源的電流與回路電流相同，即 i1 =3A ， i 2 =2 I 。因此，只需對(duì)獨(dú)立回路 3 列寫 KVL 方程:補(bǔ)充:解得則題 2.3. 3 圖 【例 2.3. 4 】 在圖 2. 3. 4 所示的電路中，已知 R =1 ， U s =14V ，試求支路電流 i 和支路電壓 U 。圖 2.3. 4 例 2. 3. 4 的圖解設(shè)三個(gè)回路電

26、流分別為 I m 1 、 I m 2 、 I m 3 ，有補(bǔ)充方程:將方程整理為2. 4 結(jié) 點(diǎn) 電 位 法上一節(jié)介紹的網(wǎng)孔分析法中網(wǎng)孔電流自動(dòng)滿足 KCL ，僅應(yīng)用 KVL 列寫方程就可求解電路。那么我們能否找到另外一種變量，它自動(dòng)滿足 KVL ，而僅利用 KCL 列寫方程就可求解電路呢? 本節(jié)要討論的結(jié)點(diǎn)電位法正是這樣一種電路求解方法。該方法又稱為結(jié)點(diǎn)電壓法，簡(jiǎn)稱結(jié)點(diǎn)法，是減少方程數(shù)目的另一種改進(jìn)的方程分析方法。在電路中，任選一結(jié)點(diǎn)作參考點(diǎn)，其余結(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的電壓便是相應(yīng)各結(jié)點(diǎn)的電位。1. 結(jié)點(diǎn)電位法的定義以結(jié)點(diǎn)電位為未知量列寫電路方程分析電路的方法，稱為結(jié)點(diǎn)電位法。該方法適用于結(jié)點(diǎn)較

27、少的電路。2. 結(jié)點(diǎn)電位法的基本思想選結(jié)點(diǎn)電位為未知量，則 KVL 自動(dòng)滿足，無需列寫 KVL 方程。各支路電流、電壓可視為結(jié)點(diǎn)電壓的線性組合，求出結(jié)點(diǎn)電壓后，便可方便地得到各支路的電壓、電流。下面以圖 2.4. 1 為例，說明怎樣以結(jié)點(diǎn)電位為獨(dú)立變量來求解電路。設(shè)以結(jié)點(diǎn) 0 為參考點(diǎn)，其余兩個(gè)結(jié)點(diǎn)的電壓分別記為 u 1 和 u 2 。支路電壓可用結(jié)點(diǎn)電壓表示為: u 12 =u 1 - u 2 ， u 10 = u 1 ， u 20 = u 2 ，對(duì)電路的任意回路，如最中間的 G 2 、 G 3 和 G 5 所在回路，有u 12 + u 20 - u 10 = u 1 - u 2 + u 2

28、 - u 1 0 ，所以，結(jié)點(diǎn)電壓自動(dòng)滿足 KVL 方程。圖 2.4. 1 結(jié)點(diǎn)法分析圖因此，結(jié)點(diǎn)電位法列寫的是結(jié)點(diǎn)上的 KCL 方程，獨(dú)立方程數(shù)為 n -1 。有兩點(diǎn)需注意: 與支路電流法相比，方程數(shù)減少 b - ( n -1 )個(gè); 任意選擇參考點(diǎn):其它結(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)的電位差即為結(jié)點(diǎn)電壓(位)，方向?yàn)閺莫?dú)立結(jié)點(diǎn)指向參考結(jié)點(diǎn)。3. 方程的列寫(1 )選定參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)明其余 n -1 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的電壓。把支路電流用結(jié)點(diǎn)電壓表示:整理得這就是以結(jié)點(diǎn)電位 u 1 、 u 2 為未知量的結(jié)點(diǎn)電位方程。方程組(2. 4. 3 )可進(jìn)一步改寫為標(biāo)準(zhǔn)形式的結(jié)點(diǎn)電壓方程:式中， G 11 = G 1 + G

29、2 + G 3 + G 4 ，表示結(jié)點(diǎn) 1 的自電導(dǎo);G 22 = G 3 + G 4 + G 5 + G 6 ，表示結(jié)點(diǎn) 2 的自電導(dǎo);結(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)等于接在該結(jié)點(diǎn)上所有支路的電導(dǎo)之和。 G 12 = G 21 =- (G 3 + G 4 )，表示結(jié)點(diǎn) 1 與結(jié)點(diǎn) 2 之間的互電導(dǎo)?；ル妼?dǎo)為接在結(jié)點(diǎn)與結(jié)點(diǎn)之間所有支路的電導(dǎo)之和，總為負(fù)值。由于假設(shè)結(jié)點(diǎn)電位的參考方向總是由獨(dú)立結(jié)點(diǎn)指向參考結(jié)點(diǎn)，所以各結(jié)點(diǎn)電位在自電導(dǎo)中所引起的電流總是流出該結(jié)點(diǎn)的，在結(jié)點(diǎn)方程左邊流出節(jié)點(diǎn)的電流取“ + ”號(hào)，因而自電導(dǎo)總是正的;但在另一結(jié)點(diǎn)電位通過互電導(dǎo)引起的電流總是流入本結(jié)點(diǎn)的，在結(jié)點(diǎn)方程左邊流入結(jié)點(diǎn)的電流取“

30、- ”號(hào)，因而互電導(dǎo)總是負(fù)的。式(2. 4. 4 )右邊的 I s11 = I s1 - I s3 ，為流入結(jié)點(diǎn) 1 的電流源電流的代數(shù)和; I s22 = I s2 + I s3 ，為流入結(jié)點(diǎn) 2 的電流源電流的代數(shù)和。流入結(jié)點(diǎn)取為正號(hào)，流出結(jié)點(diǎn)取為負(fù)號(hào)。由結(jié)點(diǎn)電壓方程求得各結(jié)點(diǎn)電壓后即可求得各支路電壓，各支路電流可用結(jié)點(diǎn)電壓表示:對(duì)于一般情況，若一個(gè)電路有 n +1 個(gè)結(jié)點(diǎn)，就有 n 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電位，其獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電位分別為 u 1 ，u 2 ， .，u n ，則根據(jù)上述原則可列出 n 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電位方程，即式中， G ii 為自電導(dǎo)，總為正值; Gij= Gji為互電導(dǎo)，結(jié)點(diǎn) i 與結(jié)點(diǎn) j

31、 之間所有支路電導(dǎo)之和，總為負(fù)值; is ii 為流入結(jié)點(diǎn) i 的所有電流源電流的代數(shù)和。注意:電路不含受控源時(shí)，系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。結(jié)點(diǎn)法的一般步驟如下:(1 )選定參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)定 n -1 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn);(2 )對(duì) n -1 個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)，以結(jié)點(diǎn)電壓為未知量，列寫其 KCL 方程;(3 )求解上述方程，得到 n -1 個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓;(4 )通過結(jié)點(diǎn)電壓求各支路電流;(5 )其它分析。結(jié)點(diǎn)法的特點(diǎn):不僅適用于平面電路，也適用于非平面電路，因此結(jié)點(diǎn)法應(yīng)用更為普遍。對(duì)于結(jié)點(diǎn)較少的電路利用結(jié)點(diǎn)法分析更為簡(jiǎn)單和方便。4. 節(jié)點(diǎn)法求解電路舉例【例 2.4. 1 】 如圖 2. 4. 2 ( a )所示電路，設(shè)

32、結(jié)點(diǎn)電位，試列電路的結(jié)點(diǎn)方程并求結(jié)點(diǎn)電壓。圖 2.4. 2 例 2. 4. 1 的圖解 在一些電路中，常給出電阻和電壓源串聯(lián)形式的激勵(lì)。在這種情況下應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法分析時(shí)，先通過電源等效互換將電路等效，再將電壓源與電阻串聯(lián)等效為電流源與電阻并聯(lián)，進(jìn)一步對(duì)電阻串并聯(lián)等效，得到圖 2.4. 2 ( b )電路。設(shè)結(jié)點(diǎn) 1 、 2 的電位分別為 u 1 、 u 2 。對(duì)結(jié)點(diǎn) 1 、 2 列結(jié)點(diǎn)方程，有聯(lián)立求解，可解出結(jié)點(diǎn)電壓:5. 電壓源的處理方法【例 2.4. 2 】 列出圖 2. 4. 3 所示電路的結(jié)點(diǎn)電位方程并求解。圖 2.4. 3 例 2. 4. 2 的圖解 因與 2A 電流源串聯(lián)的 1 電阻不

33、會(huì)影響其它支路電流，故在列寫結(jié)點(diǎn)方程時(shí)均不予考慮，選擇參考點(diǎn)如圖中所示，則 u 2 =3V 。建立結(jié)點(diǎn)方程組結(jié)點(diǎn) 1 :結(jié)點(diǎn) 3 :聯(lián)立求解，得注意:此例中電壓源直接接在結(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間， u 2 為已知，可少列一個(gè)結(jié)點(diǎn)方程。【例 2.4. 3 】 列出圖示電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程。圖 2.4. 4 例 2. 4. 3 的圖解 設(shè)結(jié)點(diǎn)電壓分別為 u 1 、 u 2 、 u 3 。圖中有三個(gè)電壓源，其中電壓源 u s3 有一電阻與其串聯(lián)，稱為有伴電壓源，可將它轉(zhuǎn)換為電流源與電阻并聯(lián)的形式。另兩個(gè)電壓源 u s1 和 u s2稱為無伴電壓源。 u s1 有一端接在參考點(diǎn)，故結(jié)點(diǎn) 2 的電壓 u2 = u

34、 s1 ，因此，就不用對(duì)結(jié)點(diǎn) 2列方程了。對(duì)電壓源 u s2 的處理辦法是:先假設(shè) u s2 上的電流為 I ，并把它看成是電流為 I 的電流源即可。列結(jié)點(diǎn) 1 和 3 的方程為對(duì) u s2 補(bǔ)一方程:小結(jié): 對(duì)于有伴電壓源，將其等效為電流源與電阻并聯(lián)的形式; 對(duì)于無伴電壓源，若有一端接參考點(diǎn)，則另一端的結(jié)點(diǎn)電壓已知，對(duì)此結(jié)點(diǎn)就不用列結(jié)點(diǎn)方程了，否則在電壓源上假設(shè)一電流，并把它看成電流源。6. 受控源的處理方法【例 2.4. 4 】 如圖 2. 4. 5 所示電路，試用結(jié)點(diǎn)法求各支路電流。圖 2.4. 5 例 2. 4. 4 的圖解 本例中，因與 4A 電流源串聯(lián)的 4 電阻不會(huì)影響其它支路電

35、流，故在列寫結(jié)點(diǎn)方程時(shí)均不予考慮。另電路中含受控源( VCVS )，處理方法是:先將受控源看成獨(dú)立電源。將有伴電壓源轉(zhuǎn)換為電流源與電阻的并聯(lián)形式。設(shè)結(jié)點(diǎn) 0 為參考點(diǎn)，其余的 1 、 2 和 3 結(jié)點(diǎn)的電位分別為 u 1 、 u 2 和 u 3 ，則可列出結(jié)點(diǎn)方程組為將受控源的控制變量用結(jié)點(diǎn)電壓表示，增補(bǔ)一個(gè)方程:聯(lián)立上述方程，解得則各支路電流分別為因受控電壓源電壓為所以有小結(jié):對(duì)于受控源，先將其視為獨(dú)立電源，列方程后，對(duì)每個(gè)受控源再補(bǔ)一個(gè)方程將其控制量用結(jié)點(diǎn)電壓表示。【例 2.4. 5 】 列如圖 2. 4. 6 所示電路的結(jié)點(diǎn)方程(電阻的單位均為歐姆)。此例是利用結(jié)點(diǎn)法分析時(shí)，參考點(diǎn)的選擇

36、問題。圖 2.4. 6 例 2. 4. 5 的圖解 對(duì)圖 2.4. 6 ( a )，選 0 為參考點(diǎn)，設(shè)其余三個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)電位分別為 u 1 、 u 2 和 u 3 ，則u 1 =9V 。只需對(duì)結(jié)點(diǎn) 2 和 3 列結(jié)點(diǎn)方程:對(duì)圖 2.4. 6 ( b )，考慮到 4V 獨(dú)立電壓源，所以設(shè) c 為參考點(diǎn)，其它結(jié)點(diǎn)電壓設(shè)u 1 、 u 2 和 u 3，則此例說明，雖然利用結(jié)點(diǎn)法分析時(shí)，一般情況下參考點(diǎn)任意選取，但類似于圖 2. 4. 6(a )、( b )這種包含理想電壓源支路的電路，如果參考點(diǎn)選擇得合適，就會(huì)減少列寫方程的數(shù)目，從而可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。除采用上述方式選擇參考點(diǎn)外，還可以設(shè)其它結(jié)點(diǎn)為參

37、考點(diǎn)，并列出獨(dú)立結(jié)點(diǎn)方程，但只有在上述情況(即選擇無伴電壓源的負(fù)極作為參考點(diǎn))下，列出的方程數(shù)目最少。 【例 2.4. 6 】 電路如圖 2. 4. 7 所示，試用 Multisim 求節(jié)點(diǎn) a 、 b 電位。解 如圖所示電路為 3 個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，指定參考點(diǎn) c 后，利用 Multisim 直接仿真出結(jié)點(diǎn) a 、 b 的電位，仿真結(jié)果見圖 2.4. 8 中電壓表的讀數(shù)， U a =8V ， U b =12. 000V ，與理論計(jì)算結(jié)果相同。圖 2.4. 7 例 2. 4. 6 電路圖圖 2.4. 8 例 2. 4. 6 仿真電路圖例 2.4. 2 、例 2. 4. 3 及例 2. 4. 5 說

38、明了處理包含理想電壓源支路的電路應(yīng)用結(jié)點(diǎn)電位法分析時(shí)的處理方法。有兩種處理方法:第一種處理方法是利用兩結(jié)點(diǎn)間含理想電壓源支路的特點(diǎn)，選其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為參考即得另一結(jié)點(diǎn)的電位，因而減少了一個(gè)未知量，也就減少了一個(gè)方程式;第二種處理方法雖然增加了一個(gè)輔助方程，使解方程過程麻煩一些，但應(yīng)看做是一種合理的處理方法。因?yàn)?，有的問題的參考點(diǎn)給定，它不是理想電壓源支路所連的一個(gè)結(jié)點(diǎn);有的問題可能含有多個(gè)理想電壓源支路，我們只能選其中一個(gè)含理想電壓源支路所連的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之一作參考點(diǎn)，這兩種情況都避免不了對(duì)含理想電壓源支路的結(jié)點(diǎn)列寫結(jié)點(diǎn)方程。知道了第二種處理方法，遇到這兩種情況，應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法分析時(shí)也就不會(huì)束手無策了

39、。當(dāng)然，一般情況下我們總是優(yōu)先采用第一種處理方法。本章介紹了電阻電路分析的一般方法，支路電流法、網(wǎng)孔分析法、回路電流法和結(jié)點(diǎn)電位法。支路電流法的方程數(shù)目為支路數(shù) b ;結(jié)點(diǎn)電位法的方程數(shù)為獨(dú)立結(jié)點(diǎn)數(shù) n -1 ;回路電流法的方程數(shù)為獨(dú)立回路數(shù) b - n +1 。支路電流法要求每個(gè)支路電壓可以用支路電流表示，限制了該方法的應(yīng)用，例如對(duì)于無伴電流源需要另行處理?；芈冯娏鞣ù嬖谂c支路電流法類似的限制。結(jié)點(diǎn)電壓法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)點(diǎn)電壓容易選擇，不存在選取獨(dú)立回路的問題。用網(wǎng)孔法時(shí)，選取獨(dú)立回路簡(jiǎn)便、直觀，但僅適用于平面電路。其中網(wǎng)孔法與結(jié)點(diǎn)法都是對(duì)支路電流法的一種改進(jìn)。這兩種方法都是重點(diǎn)要求掌握的方法，是

40、通用的一般分析方法，適用于電路的全面求解。在進(jìn)行具體電路分析計(jì)算時(shí)，可通過以下方面進(jìn)行選擇: 比較網(wǎng)孔和結(jié)點(diǎn)的數(shù)目，結(jié)點(diǎn)少的適合用結(jié)點(diǎn)法 ; 比較電壓源和電流源的多少，如電壓源多，可選擇網(wǎng)孔(回路)法。2. 5 疊 加 定 理疊加定理是線性電路的一個(gè)重要定理。它為研究線性電路中響應(yīng)與激勵(lì)的關(guān)系提供了理論根據(jù)和方法，并經(jīng)常作為建立其它電路定律的基本依據(jù)。我們先看一個(gè)例子。對(duì)于如圖 2.5. 1 ( a )所示的電路，求解 i 2 。采用結(jié)點(diǎn)電壓法，設(shè)結(jié)點(diǎn)電壓為 u n 1 。對(duì)結(jié)點(diǎn) 1 列方程為由式( 2. 5. 1 )可以看出第一項(xiàng)只與 u s 有關(guān)，第二項(xiàng)只與 i s 有關(guān)。如果令則電流 i

41、2 寫為式中， i 可以看做僅當(dāng) us 作用時(shí) R 2 上的電流，如圖 2. 5. 1 ( b )所示; i 可以看做僅當(dāng) i s 作用時(shí)R 2 上的電流，如圖 2. 5. 1 ( c )所示。由此可見， R 2 上的電流 i 2 可以看做獨(dú)立電壓源 u s 與獨(dú)立電流源 i s 分別單獨(dú)作用時(shí)在 R 2 上所產(chǎn)生電流的代數(shù)和。響應(yīng)與激勵(lì)之間的這種規(guī)律，不僅本例才有，任何具有唯一解的線性電路都具有這一特性。圖 2.5. 1 疊加定理示例疊加定理可表述為:在線性電阻電路中，任一支路電流(或支路電壓)都可看做是電路中各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生的電流(或電壓)的代數(shù)和。疊加定理的正確性，可通

42、過任意的具有 m 個(gè)網(wǎng)孔的線性電路加以論述。設(shè)該電路的網(wǎng)孔方程為根據(jù)克萊姆法則，解式( 2. 5. 2 )，求網(wǎng)孔電流 i 1 :式( 2. 5. 3 )中， j1為 中第一列第 j 行元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式， j =1 ， 2 ， m ，其余類推。所以有由式(2. 5. 4 )可以看出，第一個(gè)網(wǎng)孔電流 i 1 是各個(gè)網(wǎng)孔等效獨(dú)立電源分別單獨(dú)作用時(shí)在該網(wǎng)孔所產(chǎn)生的電流代數(shù)和。同理，其余網(wǎng)孔也是如此。電路中任意支路的電壓與支路電流呈一次函數(shù)關(guān)系，所以電路中任一支路的電壓也可看做是電路中各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)在該支路產(chǎn)生電壓的代數(shù)和。由此可見，對(duì)任意線性電路，疊加定理都是成立的。當(dāng)電路中含有受控源時(shí)，受

43、控源的作用將反映在自阻、互阻或自導(dǎo)、互導(dǎo)中，因此任一支路電流(或電壓)仍可按獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流(或電壓)疊加計(jì)算，而獨(dú)立源每次單獨(dú)作用時(shí)受控源要保留其中。應(yīng)用疊加定理時(shí)，可以分別計(jì)算各個(gè)電壓源和電流源單獨(dú)作用時(shí)的電流和電壓，然后把它們疊加起來，也可以把電路中的所有電源分成組，按組計(jì)算電流和電壓后，再疊加。應(yīng)用疊加定理時(shí)，要注意以下幾點(diǎn):(1 )疊加定理只適用于線性電路，不適用于非線性電路;(2 )在考慮某一電源單獨(dú)作用時(shí)，其它電源不作用，即置零(電壓源短路，電流源開路);(3 )疊加時(shí)，要注意電流和電壓的參考方向;(4 )疊加定理只能用來分析和計(jì)算電流和電壓，不能用來計(jì)算功率。 【例

44、 2.5. 1 】 用疊加定理求圖 2. 5. 2 ( a )所示電路中的電流 I 。已知 R 1 =1 ， R 2 =2 ，R 3 =3 ， R 4 =4 ， U s =35V ， I s =7A 。圖 2.5. 2 例 2. 5. 1 電路圖解 ( 1 )電流源 I s 單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖 2.5. 2 ( b )所示，得( 2 )電壓源 U s 單獨(dú)作用時(shí)，電路如圖 2. 5. 2 ( c )所示，得 ( 3 )兩個(gè)電源共同作用時(shí)，得 【例 2. 5. 2 】 求圖 2. 5. 3 所示電路中的電壓 U 、電流 I 。圖 2.5. 3 例 2. 5. 2 用圖 【例 2. 5. 3 】

45、 電路如圖 2. 5. 3 所示，利用疊加定理求 R 2 兩端的電壓 U 。解 ( 1 )從元件庫選取電壓源、電流源及電阻 R 1 、 R 2 ，再從元件庫中選取電壓表并選擇適當(dāng)參數(shù)，創(chuàng)建圖 2.5. 3 所示的電路。圖 2.5. 3 例 2. 5. 3 用圖(2 )測(cè)量電壓源單獨(dú)作用時(shí) R 2 兩端的電壓。雙擊電流源圖標(biāo)，將電流源設(shè)置為開路。啟動(dòng)仿真開關(guān)，電壓表的讀數(shù)為 4V ，測(cè)量等效電路如 2.5. 4 所示。圖 2.5. 4 電壓源單獨(dú)作用圖(3 )測(cè)量電流源單獨(dú)作用時(shí) R 2 兩端的電壓。雙擊電壓源圖標(biāo)，將電壓源設(shè)置為短路。啟動(dòng)仿真開關(guān)，電壓表的讀數(shù)為 666.667mV ，測(cè)量等效

46、電路如圖 2. 5. 5 所示。圖 2.5. 5 電流源單獨(dú)作用圖(4 )測(cè)量?jī)蓚€(gè)電源共同作用時(shí) R 2兩端的電壓。啟動(dòng)仿真開關(guān)，電壓表的讀數(shù)為 4. 667V ，測(cè)量等效電路如圖 2.5. 6 所示。圖 2.5. 6 電壓源、電流源共同作用圖2. 6 齊 次 定 理齊次定理可表述為:在線性電路中，當(dāng)所有激勵(lì)源同時(shí)增大或縮小 K 倍( K 為實(shí)常數(shù))時(shí)，其電路中任意處的響應(yīng) (電壓或電流)將同樣增大或縮小 K 倍?！纠?2.6. 1 】 電路如圖 2. 6. 1 所示， N 是含有獨(dú)立源的線性電路，已知當(dāng) u s =6V ， i s =0A 時(shí)，開路電壓 u o =4V ;當(dāng) u s =0V

47、， i s =4A 時(shí)， u o =0V ;當(dāng) u s =-3V ， i s =-2A時(shí)， u o =2V 。求當(dāng) us =3V ， i s =3A 時(shí)的電壓 u o 。圖 2.6. 1 例 2. 6. 1 用圖解 將激勵(lì)源分為三組: 電壓源 u s ; 電流源 is ; N 內(nèi)的全部獨(dú)立源。設(shè)僅由電壓源 u s 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為 u o ，根據(jù)齊次定理，令 u o = K 1 u s ;僅由電流源 i s 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為 u ，根據(jù)齊次定理，令 u o = K 2 i s ;僅由 N 內(nèi)部所有獨(dú)立源產(chǎn)生的響應(yīng)記為將激勵(lì)源分為三組: 電壓源 u s ; 電流源 is ; N 內(nèi)的

48、全部獨(dú)立源。設(shè)僅由電壓源 u s 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為 u o ，根據(jù)齊次定理，令 u o = K 1 u s ;僅由電流源 i s 單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)為 u ，根據(jù)齊次定理，令 u o = K 2 i s ;僅由 N 內(nèi)部所有獨(dú)立源產(chǎn)生的響應(yīng)記為u o ，于是，根據(jù)疊加定理，有將已知數(shù)據(jù)代入上式得解得2. 7 替 代 定 理替代定理可以表述為:具有唯一解的電路中，已知某支路 k 的電壓為 u k ，電流為 ik ，且該支路不含受控源，或該支路的電壓或電流不是其它支路中受控源的控制量，則該支路可用下列任何一個(gè)元件替代:(1 )電壓等于 u k 的理想電壓源;(2 )電流等于 i k 的理想

49、電流源;(3 )阻值為 u k / i k 的電阻 R k 。替代定理可證明如下:當(dāng)?shù)?k 條支路被一個(gè)電壓源 u k 所替代時(shí)，由于改變后的新電路和原電路的連接是完全相同的，所以新舊兩個(gè)電路的 KCL 和 KVL 方程也完全相同。兩個(gè)電路的全部支路的約束關(guān)系，除第 k 條支路外，也全部相同?，F(xiàn)在，新電路的第 k 條支路的電壓被規(guī)定為 u s = u k ，即等于原電路的第 k 條支路電壓。根據(jù)假定，電路在改變前后的各支路電壓和電流均是唯一的，而原電路的全部電壓和電流又將滿足新電路的全部約束關(guān)系，所以，原電路各支路的電壓、電流值就是新電路的唯一解。同理，當(dāng)?shù)?k 條支路被電流源 is = i

50、k 所替代時(shí)，也可作類似的證明。順便指出，替代定理還可以推廣到非線性電路。【例 2.7. 1 】 電路如圖 2. 7. 1 ( a )所示，求電流 i 1 。解 ( 1 )將 a 、 b 兩個(gè)結(jié)點(diǎn)合并為一點(diǎn)，如圖 2.7. 1 ( b )所示。(2 )虛線內(nèi)的部分看做一條支路，且該支路的電流為 4A ，如圖 2. 7. 1 ( b )所示。(3 )應(yīng)用替代定理把該支路用 4A 的電流源替代，如圖 2. 7. 1 ( c )所示。(4 )應(yīng)用電源互換將圖 2. 7. 1 ( c )等效為圖 2. 7. 1 ( d )。圖 2.7. 1 例 2. 7. 1 用圖圖 2.7. 1 例 2. 7. 1

51、 用圖2. 8 等效電源定理前面討論了電阻的串并聯(lián)等效、含有電阻和受控源的二端網(wǎng)絡(luò)的等效變換等內(nèi)容，這些都是針對(duì)無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效。本節(jié)將討論有源二端網(wǎng)絡(luò)的等效變換。2. 8. 1 戴維寧定理戴維寧定理指出:對(duì)外部電路而言，任何一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò) N 都可以用一個(gè)理想電壓源 u s 和電阻 R o 的串聯(lián)組合來等效代換，如圖 2.8. 1 所示。其中理想電壓源 u s 等于該二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓 u oc ，電阻 R o 等于該二端網(wǎng)絡(luò)所有電源置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得到的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。圖 2.8. 1 戴維寧定理示意圖戴維南定理的證明如下:(1 )設(shè)有源二端網(wǎng)絡(luò) N 與

52、負(fù)載相接，負(fù)載端電壓為 u ，端電流為 i ，如圖 2. 8. 2 ( a )所示。(2 )負(fù)載用電流源替代，取電流源的電流為 i s = i ，方向與 i 相同，如圖 2. 8. 2 ( b )所示。替代后，整個(gè)電路中的電流、電壓保持不變。(3 )當(dāng)電流源 i s 作用時(shí)，二端網(wǎng)絡(luò) N 內(nèi)部獨(dú)立電源不作用，受控源保留，如圖 2. 8. 2 ( c )所示， u =- R o i ， R o 為二端網(wǎng)絡(luò) N 內(nèi)的等效電阻。(4 )設(shè)二端網(wǎng)絡(luò) N 內(nèi)的獨(dú)立電源一起激勵(lì)，受控源保留，電流源 i s 置零，即 ab 端開路， u = u oc 如圖 2.8. 2 ( d )所示。(5 )根據(jù)疊加定理

53、， ab 端口的電壓為根據(jù)式 2. 8. 1 畫出電路的等效模型如圖 2. 8. 2 ( e )所示，即證明戴維寧定理是正確的。應(yīng)用戴維寧定理時(shí)，關(guān)鍵是需要求出二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓及等效電阻，等效電阻可以用求輸入電阻的方法求得。圖 2.8. 2 截維寧定理證明過程【例 2.8. 1 】 電路如圖 2. 8. 3 ( a )所示，已知 U s1 =40V ， U s2 =20V ， R 1 = R 2 =4 W，R 3 =13 W，試用戴維寧定理求電流 I 3 。解 ( 1 )斷開待求支路，求二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓 U oc ，如圖 2.8. 3 ( b )所示。圖 2.8. 3 例 2. 8. 1

54、用圖( 2 )求等效電阻 R o 。除去所有電源(理想電壓源短路，理想電流源開路)，如圖 2. 8. 3(c )所示。( 3 )畫出等效電路，如圖 2. 8. 3 ( d )所示?！纠?2. 8. 2 】 用戴維寧定理求圖 2. 8. 4 ( a )所示電路中的電流 I 2 。圖 2.8. 4 例 2. 8. 2 用圖【例 2. 8. 3 】 用 Multisim 軟件求圖 2. 8. 5 所示電路的戴維寧等效電路。圖 2.8. 5 例 2. 8. 3 用圖解 ( 1 )從元件庫中選取電壓源和電阻，創(chuàng)建圖 2.8. 5 所示的電路。(2 )從右邊儀表庫中選出數(shù)字萬用表，并接至端點(diǎn) A 、 B

55、，如圖 2. 8. 6 所示。在面板上選擇“ V ”和“DC ”啟動(dòng)仿真開關(guān)，萬用表的讀數(shù)為 8V ，此為 A 、 B 兩端開路電壓值。圖 2.8. 6 測(cè)量開路電壓和短路電流圖(3 )仍將萬用表接至端點(diǎn) A 、 B ，在面板上選擇 “ A ”和“ DC ”啟動(dòng)仿真開關(guān)，萬用表的讀數(shù)為 2mA ，此為 A 、 B 兩端短路電流值。(5 )畫出戴維寧等效電路，如圖 2. 8. 7 所示。圖 2.8. 7 戴維寧等效電路2. 8. 2 諾頓定理諾頓定理指出:對(duì)外部電路而言，任何一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，都可以用一個(gè)電流源和電阻的并聯(lián)組合來等效代換，其中電流源的電流等于該二端網(wǎng)絡(luò)的短路電流，電阻 R o

56、 等于該二端網(wǎng)絡(luò)所有獨(dú)立源置零(電壓源短路，電流源開路)后，所得到的無源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，如圖 2.8. 8 所示。圖 2.8. 8 諾頓定理示意圖前面討論過，電壓源模型和電流源模型是可以互換的，所以諾頓定理也是正確的。戴維寧定理和諾頓定理在本質(zhì)上是相同的，只是形式不同而已。設(shè)有源二網(wǎng)絡(luò)的開路電壓為u oc ，短路電流為 i sc ，相應(yīng)無源網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為 R o ，則【例 2. 8. 4 】 用諾頓定理求圖 2. 8. 9 中電流 I 。圖 2.8. 9 例 2. 8. 4 圖2. 9 最大功率傳輸定理給定一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò) N ，如圖 2.9. 1 ( a )所示，當(dāng)接在 N 兩端的負(fù)載

57、 R L不同時(shí)，該線性有源二端網(wǎng)絡(luò)傳輸給負(fù)載 R L 的功率也不同。在什么條件下，負(fù)載 R L能獲得最大功率呢?圖 2.9. 1 最大功率傳輸示意圖前面曾經(jīng)討論過，線性有源二端網(wǎng)絡(luò) N 可以用戴維寧等效電路或諾頓等效電路來替代。如圖 2.9. 1 ( b )所示，當(dāng)開路電壓 u oc 和等效電阻 R o 固定不變時(shí)，負(fù)載 R L 為何值時(shí)， R L能獲得最大功率?，F(xiàn)討論如下:解得由以上討論可歸納總結(jié)出最大功率傳輸定理為:對(duì)于確定的線性有源二端網(wǎng)絡(luò) N ，其開路電壓為 u oc 、等效內(nèi)阻為 R o ，若負(fù)載可任意改變，則當(dāng)且僅當(dāng) R L = R o 時(shí)網(wǎng)絡(luò) N 傳輸給負(fù)載 R L 的功率最大，此時(shí)負(fù)載上獲得的最大功率為若有源二端網(wǎng)絡(luò) N 為諾頓等效電路，同樣可得 R L = R o 時(shí)，網(wǎng)絡(luò) N 傳輸給負(fù)載 R L 的功率最大，此時(shí)負(fù)載上得到的最大功率為應(yīng)該指出:不應(yīng)把最大功率傳輸定理理解為要使負(fù)載功率最大應(yīng)使戴維寧等效電路內(nèi)阻 R o 等于 R L 。由圖可以看出: R L 一定、 u oc 一定，顯然只有當(dāng) R o =0 時(shí)才能使負(fù)載 R L 上獲得最大功率;也不能把 R o 上消耗的功率當(dāng)作二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率，這是因?yàn)椤暗刃А钡母拍钍菍?duì)“外”而不是對(duì)“內(nèi)”的。 【例 2