版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內容提供方,若內容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
1、第 2 章 電阻電路分析2. 1 支路電流法2. 2 網(wǎng)孔分析法2. 3 回路電流法2. 4 結點電位法2. 5 疊加定理2. 6 齊次定理2. 7 替代定理2. 8 等效電源定理2. 9 最大功率傳輸定理習題2第一章介紹了電路的基本概念、基本定律和簡單電路的分析計算方法。本章將討論復雜電路的一般分析計算方法,如支路電流法、網(wǎng)孔分析法、結點電位法等。同時,還將介紹利用電路定理進行電路分析的方法,如疊加定理、替代定理、戴維寧定理、最大功率傳輸定理等。此外,為激發(fā)廣大讀者對本章所述的電路分析方法的深入理解、掌握和應用,我們特在部分小節(jié)末給出了一些仿真實例,以期能為讀者提供一定的幫助。電阻電路的這些
2、分析方法將廣泛應用或推廣用于后續(xù)各章。2. 1 支 路 電 流 法根據(jù)第一章的介紹,我們知道將僅包含電阻、獨立源和受控源的電路稱為電阻電路。對其進行分析的最一般的方法就是方程法。此類方法是在不改變電路結構的情況下,以減少電路方程數(shù)目為目的,選擇一組合適的電路變量。依據(jù)兩類約束,即元件的 VCR 和電路的拓撲約束特性( KCL 、 KVL ),建立獨立的方程組,求解得到電路變量,進而求得所需的物理量。本章只討論線性電阻電路的一般分析方法,它是學習非線性電阻電路、動態(tài)電路的基礎。同時,本章的分析方法也適用于后續(xù)的正弦穩(wěn)態(tài)電路。2. 1. 1 支路電流法下面,我們介紹屬于方程法中的最基本的方法,即支
3、路電流法。它是以支路電流為變量,根據(jù)兩類約束建立獨立的方程組,求解出各支路電流,進而可求出電路中任意處的電壓、功率等。下面以一個具體例子來說明支路電流法分析電路的全過程。如圖 2.1. 1 所示,電路有 2 個結點( n =2 )、 3條支路(b =3 )。設各支路電流分別為 i 1 、 i 2 、 i 3 ,其參考方向如圖中所示。就本例而言,就是如何找到包含未知量 i1 、 i 2 、 i 3 的 3 個相互獨立的方程組。圖 2.1. 1 支路電流法分析用圖根據(jù) KCL ,對結點 a 和 b 分別建立電流方程。設流出結點的電流取正號,則有結點 a :結點 b :顯然,將式(2. 1. 1 )
4、變形后即可得到式( 2. 1. 2 ),說明此兩式不是相互獨立的。故為了得到獨立的 KCL 方程只能取其中任意一個,例如取式( 2.1. 1 )。根據(jù) KVL ,按圖中的繞行方向對回路 、 、 分別列 KVL 方程。顯然,這三個方程也不是相互獨立的,任意一式都可以由其它兩式相加減得到。如式(2. 1. 3 )與式( 2. 1. 4 )相加可以得到式( 2. 1. 5 ),所以只能取其中的兩式作為獨立方程的 KVL方程,這里可取式(2. 1. 3 )和式( 2. 1. 4 )。聯(lián)立獨立的 KCL 方程和獨立的 KVL 方程:式( 2. 1. 6 )即為圖 2. 1. 1 所示電路以支路電流為未知
5、量的獨立方程組之一,它完整地描述了該電路中各支路電流和支路電壓之間的相互約束關系。該方程組中方程數(shù)目與未知量數(shù)目相等,故該方程組有唯一解。求解此方程組,即可得到 3 個未知的支路電流。求得各支路電流之后,再根據(jù)元件的 VCR 以及回路的 KVL ,即可求得任意支路的電壓,然后根據(jù)功率的定義還可求得任意支路上的功率等。2. 1. 2 KCL 和 KVL 的獨立方程對上述電路利用支路電流法分析列寫方程時,先列出所有 KCL 和 KVL 方程,然后通過觀察比較,從中找出獨立的 KCL 方程和獨立的 KVL 方程。如果電路比較復雜,結點數(shù)、回路數(shù)較多,則按照這種方式來找所需的獨立方程就是件很麻煩的事。
6、對于具有 n 個結點、 b 條支路的電路來說,其 KCL 獨立方程的個數(shù)及KVL 獨立方程的個數(shù)分別是多少呢? 下面將給出結論及說明。1.KCL 的獨立方程設一個電路如圖 2.1. 2 所示,對結點 a 、 b 、 c 、 d 分別列寫 KCL 方程:圖 2.1. 2 KCL 和 KVL 獨立方程在這些方程中,每個支路電流均作為一項出現(xiàn)兩次,一次為正,一次為負(指電流符號)。這是因為每個支路都連接在兩個結點之間,所以每個支路電流必定從一個結點流入,從另一個結點流出。這個支路電流與其它結點不會發(fā)生直接聯(lián)系。因此,上面任意 3 個方程相加,必將得出第 4 個方程。這個結論對于 n 個結點的電路同樣
7、適用。對于 n 個結點列出 KCL 方程,所得 n 個方程中任何一個都可以從其余 n -1 個方程中推出來,所以獨立方程的個數(shù)不會超過 n -1 個,可以證明 KCL 獨立方程的個數(shù)是 n -1 個。通常將能列出獨立 KCL 方程的結點稱為獨立結點。2.KVL 獨立方程的個數(shù)在圖 2.1. 2 所示電路中,對 3 個網(wǎng)孔和外回路分別列出 KVL 方程。在這些方程中,任意 3 個方程相加,必將得出第 4 個方程,因此,只有 3 個方程是獨立的??梢宰C明:具有 n 個結點、 b 條支路的電路,只能列出 b - (n -1 )個獨立的 KVL 方程。習慣上把能列寫出獨立方程的回路稱為獨立回路。對于平
8、面電路(注:平面電路是可以畫在平面上不出現(xiàn)支路交叉的電路),有幾個網(wǎng)孔就有幾個獨立的回路數(shù),這是因為任何一個網(wǎng)孔總有一條支路是其它網(wǎng)孔所沒有的。這樣,沿著網(wǎng)孔的回路列寫 KVL 方程,其方程中總會出現(xiàn)一個新的變量。綜上所述,對于具有 n 個結點, b 條支路的電路, KCL 獨立方程的個數(shù)為 n -1 個;KVL 獨立方程的個數(shù)為 b - ( n -1 )個,兩個獨立方程的個數(shù)之和是 b 個,正好是求 b 個支路電流所需的方程數(shù)。2. 1. 3 支路電流法的步驟和特點1. 支路電流法的一般步驟用支路電流法求解具有 n 個結點、 b 條支路的線性電阻電路的步驟如下:(1)選定 b 個支路電流的參
9、考方向;(2 )對 n -1 個獨立結點,列出獨立 KCL 方程;(3 )選定 b - n +1 個獨立回路(基本回路或網(wǎng)孔),指定回路繞行方向,根據(jù) KVL 列出回路電壓方程(將支路電壓用支路電流來表示):( 4 )聯(lián)立求解上述 b 個支路的電流方程;(5 )求解題中要求的支路電壓或功率等。2. 支路電流法的特點支路法列寫的是 KCL 和 KVL 方程,所以方程列寫方便、直觀,但方程數(shù)較多,宜于在支路數(shù)不多的情況下使用。【例 2.1. 1 】 求圖 2. 1. 3 所示各支路電流及各電壓源發(fā)出的功率。解 各支路電流的參考方向及兩個網(wǎng)孔的繞行方向如圖 2.1. 3 所示。(1) n -1=1
10、個 KCL 方程:結點 a :圖 2.1. 3 例 2. 1. 1 的圖(2 ) b - ( n -1 ) =2 個 KVL 方程:用克萊姆法則求解由式( 2. 1. 7 )、式( 2. 1. 8 )和式( 2. 1. 9 )組成的三元一次方程組。 和 j 分別為【例 2.1.2 】 用支路電流法求圖 2.1.4 所示電路中的各支路電流(電路中含有理想電流源)。解 顯然 I 1 =2A 已知,故只列寫兩個方程。上邊結點:避開電流源支路取回路(回路按照逆時針方向繞行):聯(lián)立求解得圖 2.1. 4 例 2. 1. 2 的圖【例 2.1. 3 】 用支路法求解圖 2. 1. 5 所示電路中各支路電流
11、(電路中含有受控源)。圖 2.1. 5 例 2. 1. 3 的圖解 各支路電流、各網(wǎng)孔繞向如圖 2.1. 5 所示。受控電壓源當獨立電壓源一樣處理,對電流源的處理方法:在其兩端設定一電壓 U 。對獨立結點 a ,列 KCL 方程:對兩個網(wǎng)孔,利用 KVL 列回路方程:上面三個方程共有四個未知量。補充一個方程:將受控源控制量 u 1 用支路電流表示,即解式(2. 1. 10 ) 式( 2. 1. 13 )得支路電流為2. 2 網(wǎng) 孔 分 析 法支路電流法適用于簡單電路計算,由于獨立方程數(shù)目等于電路的支路數(shù),對支路數(shù)較多的復雜電路,需要列寫的方程往往太多,手工解算較麻煩。那么,能否使方程數(shù)減少呢?
12、若能,則解算方程的工作量就可大大減少,這是我們所期望的。本節(jié)要討論的網(wǎng)孔分析法就是基于這種想法而提出的一種改進方法。1. 網(wǎng)孔分析法的定義以沿網(wǎng)孔連續(xù)流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法稱為網(wǎng)孔電流法。它僅適用于平面電路。2. 網(wǎng)孔分析法的基本思想為減少未知量(方程)的個數(shù),假想每個網(wǎng)孔中有一個網(wǎng)孔電流。各支路電流可用網(wǎng)孔電流的線性組合表示,來求得電路的解。需要注意的是,網(wǎng)孔電流是一種假想的電流,實際電路中并不存在。引入網(wǎng)孔電流純粹是為了分析電路方便下面通過圖 2.2. 1 所示的電路加以說明。此平面電路有兩個網(wǎng)孔,假設有兩個電流i m 1 、 i m 2 分別沿著該電路的兩個網(wǎng)孔
13、連續(xù)流動。由于支路 1 只有電流 i m 1流過,實際的支路1 的電流為 i 1 ,可見 i 1 = i m 1 ;類似地, i 2 = i m 2 ;而支路 3 有兩個電流 i m 1 、 i m 2流過,支路 3的電流應為假設的兩個電流 i m 1 、 i m 2的代數(shù)和,實際支路 3 的電流為 i3 ,可見 i3 = i m 1 - i m 2 。我們把沿著網(wǎng)孔 1 流動的電流 i m 1和沿著網(wǎng)孔 2 流動的電流 i m 2稱為網(wǎng)孔電流。當各支路電流用網(wǎng)孔電流表示后,則 KCL 自動滿足,這是因為網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中是閉合的,對每個相關結點均流進一次,流出一次,所以 KCL 自動滿足。因此
14、網(wǎng)孔分析法是對網(wǎng)孔回路列寫KVL 方程,方程數(shù)為網(wǎng)孔數(shù)。圖 2.2. 1 網(wǎng)孔分析法示意圖 3. 方程的列寫觀察可以看出如下規(guī)律:R 11 = R 1 + R 3 :網(wǎng)孔 1 中所有電阻之和,稱為網(wǎng)孔 1 的自電阻。R 22 = R 2 + R 3 :網(wǎng)孔 2 中所有電阻之和,稱為網(wǎng)孔 2 的自電阻。R 12 = R 21 = - R 3 :網(wǎng)孔 1 、網(wǎng)孔 2 之間的互電阻。u s m 1 = u s1 :網(wǎng)孔 1 中所有電壓源電壓的代數(shù)和。u s m 2 = u s2 :網(wǎng)孔 2 中所有電壓源電壓的代數(shù)和。以下幾點需注意:(1 )自電阻總為正。(2 )當兩個網(wǎng)孔電流流過相關支路方向相同時,
15、互電阻取正號,否則為負號。(3 )當電壓源電壓方向與該網(wǎng)孔電流方向一致時,取負號,反之取正號。這樣改寫上面兩式,得到方程的標準形式:式(2. 2. 1 )稱為網(wǎng)孔電流方程,簡稱網(wǎng)孔方程。對于具有 m 個網(wǎng)孔的電路,有式(2. 2. 2 )的方程可以憑觀察直接列出,其中:當網(wǎng)孔電流均取順(或逆)時針方向時, Rjk均為負。無受控源的線性網(wǎng)絡 Rjk= Rkj,系數(shù)矩陣為對稱陣。 u s kk ( k =1 , 2 , m )為第 k 個網(wǎng)孔所有獨立電壓源的代數(shù)和,當網(wǎng)孔電流的繞行方向從電壓源的“ - ”極指向“ + ”極時,此電壓源的電壓值取正號,否則取負號。網(wǎng)孔分析法的一般步驟如下:(1 )選
16、網(wǎng)孔為獨立回路,并確定其繞行方向;(2 )以網(wǎng)孔電流為未知量,列寫其 KVL 方程;(3 )求解上述方程,得到 m 個網(wǎng)孔電流;(4 )求各支路電流;(5 )其它分析。網(wǎng)孔電流法僅適用于平面電路。 4. 網(wǎng)孔法求解電路舉例【例 2.2. 1 】 電路如圖 2. 2. 2 所示,試用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程。圖 2.2. 2 例 2. 2. 1 的圖解 首先假設各網(wǎng)孔電流的繞行方向如圖 2.2. 2 所示,用觀察法直接列出網(wǎng)孔電流方程。整理得 【例 2. 2. 2 】 電路如圖 2. 2. 3 ( a )所示。試用網(wǎng)孔電流法求解通過 6 電阻的電流 I 。圖 2.2. 3 例 2. 2. 2
17、的圖解 此電路為平面電路,可用網(wǎng)孔法分析。電路有兩個網(wǎng)孔,假設其電流繞行方向如圖 2.2. 3 ( b )所示。本例中電流源是兩個網(wǎng)孔的公共支路,由于網(wǎng)孔方程是 KVL 方程,因此在電流源兩端設一個電壓變量 U ,將其按照獨立電壓源對待。列寫網(wǎng)孔方程如下:上式中多了一個變量 U ,還應補充一個方程:聯(lián)立式(2. 2. 3 )和式( 2. 2. 4 )解得: I 2 =-1A ,則由圖顯然有: I =- I 2 =1A 。 【例 2.2. 3 】 電路如圖 2. 2. 4 所示,用網(wǎng)孔電流法求電壓 U ab 。圖 2.2. 4 例 2. 2. 3 的圖解 此電路為平面電路,可用網(wǎng)孔法分析。設電路
18、中兩個網(wǎng)孔的繞行方向均為順時針方向。此電路有一受控電壓源,先將其當作獨立電壓源對待。列寫網(wǎng)孔方程:上式多了一個變量 U ,將其用網(wǎng)孔電流表示,增補一個方程:以上兩式聯(lián)立解得進而根據(jù) KVL 有在 MATLAB 中,所有的變量和常量都以矩陣的形式存在。行向量可視作 1 n 的矩陣,列向量可視作 n 1 的矩陣,標量可視作 11 的矩陣。矩陣中的各元素可以是復數(shù)或者表達式。這些特點使 MATLAB 具有強大的矩陣運算和復數(shù)運算能力,在處理電路分析的各種問題時,相比于其它語言,編程更加簡便,運算效率更高,更易于實現(xiàn)。 【例 2.2. 4 】 在圖 2. 2. 5 所示的電路中,已知 R 1 = R
19、2 =10 , R 4 = R 5 =8 , R 3 = R 6 =2 , U s3 =20V , U s6 =40V ,用網(wǎng)孔法求解 i 5 。圖 2.2. 5 例 2. 2. 4 的圖 【例 2.2. 5 】 電路如圖 2. 2. 6 所示,電壓源 U 1 =8V , U 2 =6V , R 1 =20 , R 2 =40 ,R 3 =60 ,用網(wǎng)孔電流分析法求網(wǎng)孔 、 的電流。解 假定網(wǎng)孔電流在網(wǎng)孔中順時針方向流動,用網(wǎng)孔電流分析法可求得網(wǎng)孔 、 的電流分別為 127mA 、 -9.091mA 。在 Multisim 的電路窗口中創(chuàng)建圖 2. 2. 7 所示的電路,啟動仿真,圖中電流表的
20、讀數(shù)即為仿真分析的結果??梢姡碚撚嬎闩c電路仿真結果相同。圖 2.2. 6 例 2. 2. 5 電路圖圖 2.2. 7 例 2. 2. 5 仿真電路圖2. 3 回 路 電 流 法網(wǎng)孔分析法僅適用于平面電路,而回路電流法則更具有一般性。它不僅適用于分析平面,也適用于分析非平面電路,在使用中還具有一定的靈活性。1. 回路電流法的定義以獨立回路(它不一定是網(wǎng)孔)中沿回路連續(xù)流動的假想電流為未知量列寫電路方程分析電路的方法,稱為回路電流法。它適用于平面和非平面電路?;芈冯娏鞣ň褪钦页霆毩⒒芈?,假設回路電流,按獨立回路列寫 KVL 方程求解電路的方法,方程數(shù)為 b - (n -1 )。獨立回路的選取是使
21、所選回路都包含一條其它回路所沒有的新支路。下面說明怎樣用回路電流法來求解電路。2. 方程的列寫【例 2.3. 1 】 如圖 2. 3. 1 所示,用回路法求解電流 i圖 2.3. 1 例 2. 3. 1 的圖解 本例中,只需求 R 5 上的電流。因此,選取獨立回路時,只讓一個回路電流經(jīng)過 R 5支路。如圖選取回路,其中回路 1 、 2 是平面電路中的兩個網(wǎng)孔,而回路 3 的選取不是右下的網(wǎng)孔,而是由 R 1 、 R 2 、 R 3 、 R 4 構成的回路,則 i =i 2 。仿照之前的網(wǎng)孔分析法,根據(jù)所選獨立回路列寫 KVL 方程,有求解此方程組,我們只需解出 i 2 就可完成本電路的求解。而
22、若是用網(wǎng)孔分析法的話,則需要求解出至少兩個網(wǎng)孔電流,然后根據(jù)待求支路電流和兩個網(wǎng)孔電流的關系才能求解出待求變量,明顯要比回路電流法的計算量大。一般地,對于具有 l = b - (n -1 )個回路的電路,其回路方程與 2. 2 節(jié)中的式( 2. 2. 2 )類似,只需將式(2. 2. 2 )中的 m 換為 l 即可。綜上,回路法的一般步驟如下:(1 )選定 l = b - ( n -1 )個獨立回路,并確定其繞行方向;(2 )對 l 個獨立回路,以回路電流為未知量,列寫其 KVL 方程;(3 )求解上述方程,得到 l 個回路電流;(4 )求各支路電流;(5 )其它分析?;芈贩ǖ奶攸c: 通過靈活
23、地選取回路可以減少計算量; 互有電阻的識別難度加大,易遺漏互有電阻。 【例 2.3. 2 】 求圖 2. 3. 2 所示電路中電壓 U 、電流 I 和電壓源產生的功率。圖 2.3. 2 例 2. 3. 2 的圖解 本題 n =3 , b =6 ,則 l = b - (n -1 ) =4 ,即有 4 個獨立回路。選取 4 個獨立回路并指定繞行方向,如圖所示。顯然,幾個電流源的電流與回路電流相同,即: i1 =2A , i 2 =2A ,i 3 =3A 。因此,只需對獨立回路 4 列寫 KVL 方程:解得進而可求得如果此例選網(wǎng)孔法進行分析,那么除了兩個網(wǎng)孔電流已知外,還需要再列兩個網(wǎng)孔方程;而利用
24、回路電流法,按照上面選取獨立回路,僅需要列一個回路方程,計算量明顯減少。最后,需要明確的是網(wǎng)孔法是回路法的特殊情況。網(wǎng)孔只是平面電路的一組獨立回路,許多實際電路都屬于平面電路,選取網(wǎng)孔作獨立回路方便易行,所以把這種特殊條件下的回路法歸納為網(wǎng)孔法。 【例 2.3. 3 】 如圖 2. 3. 3 所示電路,用回路電流法求兩電路中的電流 I 。解 ( a )本題 n =3 , b =5 ,則 l = b - (n -1 ) =3 ,即有 3 個獨立回路。選取 3 個獨立回路并指定繞行方向如題 2.3. 3 圖( a )所示。顯然,幾個電流源的電流與回路電流相同,即i 1 =1A , i 2 =3A
25、。因此,只需對獨立回路 3 列寫 KVL 方程:解得則 ( b )類似地,本題 n =4 , b =6 ,則 l = b - ( n -1 ) =3 ,即有 3 個獨立回路。選取 3 個獨立回路并指定繞行方向,如題 2.3. 3 圖( b )所示。顯然,幾個電流源的電流與回路電流相同,即 i1 =3A , i 2 =2 I 。因此,只需對獨立回路 3 列寫 KVL 方程:補充:解得則題 2.3. 3 圖 【例 2.3. 4 】 在圖 2. 3. 4 所示的電路中,已知 R =1 , U s =14V ,試求支路電流 i 和支路電壓 U 。圖 2.3. 4 例 2. 3. 4 的圖解設三個回路電
26、流分別為 I m 1 、 I m 2 、 I m 3 ,有補充方程:將方程整理為2. 4 結 點 電 位 法上一節(jié)介紹的網(wǎng)孔分析法中網(wǎng)孔電流自動滿足 KCL ,僅應用 KVL 列寫方程就可求解電路。那么我們能否找到另外一種變量,它自動滿足 KVL ,而僅利用 KCL 列寫方程就可求解電路呢? 本節(jié)要討論的結點電位法正是這樣一種電路求解方法。該方法又稱為結點電壓法,簡稱結點法,是減少方程數(shù)目的另一種改進的方程分析方法。在電路中,任選一結點作參考點,其余結點與參考點之間的電壓便是相應各結點的電位。1. 結點電位法的定義以結點電位為未知量列寫電路方程分析電路的方法,稱為結點電位法。該方法適用于結點較
27、少的電路。2. 結點電位法的基本思想選結點電位為未知量,則 KVL 自動滿足,無需列寫 KVL 方程。各支路電流、電壓可視為結點電壓的線性組合,求出結點電壓后,便可方便地得到各支路的電壓、電流。下面以圖 2.4. 1 為例,說明怎樣以結點電位為獨立變量來求解電路。設以結點 0 為參考點,其余兩個結點的電壓分別記為 u 1 和 u 2 。支路電壓可用結點電壓表示為: u 12 =u 1 - u 2 , u 10 = u 1 , u 20 = u 2 ,對電路的任意回路,如最中間的 G 2 、 G 3 和 G 5 所在回路,有u 12 + u 20 - u 10 = u 1 - u 2 + u 2
28、 - u 1 0 ,所以,結點電壓自動滿足 KVL 方程。圖 2.4. 1 結點法分析圖因此,結點電位法列寫的是結點上的 KCL 方程,獨立方程數(shù)為 n -1 。有兩點需注意: 與支路電流法相比,方程數(shù)減少 b - ( n -1 )個; 任意選擇參考點:其它結點與參考點的電位差即為結點電壓(位),方向為從獨立結點指向參考結點。3. 方程的列寫(1 )選定參考結點,標明其余 n -1 個獨立結點的電壓。把支路電流用結點電壓表示:整理得這就是以結點電位 u 1 、 u 2 為未知量的結點電位方程。方程組(2. 4. 3 )可進一步改寫為標準形式的結點電壓方程:式中, G 11 = G 1 + G
29、2 + G 3 + G 4 ,表示結點 1 的自電導;G 22 = G 3 + G 4 + G 5 + G 6 ,表示結點 2 的自電導;結點的自電導等于接在該結點上所有支路的電導之和。 G 12 = G 21 =- (G 3 + G 4 ),表示結點 1 與結點 2 之間的互電導。互電導為接在結點與結點之間所有支路的電導之和,總為負值。由于假設結點電位的參考方向總是由獨立結點指向參考結點,所以各結點電位在自電導中所引起的電流總是流出該結點的,在結點方程左邊流出節(jié)點的電流取“ + ”號,因而自電導總是正的;但在另一結點電位通過互電導引起的電流總是流入本結點的,在結點方程左邊流入結點的電流取“
30、- ”號,因而互電導總是負的。式(2. 4. 4 )右邊的 I s11 = I s1 - I s3 ,為流入結點 1 的電流源電流的代數(shù)和; I s22 = I s2 + I s3 ,為流入結點 2 的電流源電流的代數(shù)和。流入結點取為正號,流出結點取為負號。由結點電壓方程求得各結點電壓后即可求得各支路電壓,各支路電流可用結點電壓表示:對于一般情況,若一個電路有 n +1 個結點,就有 n 個獨立結點電位,其獨立結點電位分別為 u 1 ,u 2 , .,u n ,則根據(jù)上述原則可列出 n 個獨立結點電位方程,即式中, G ii 為自電導,總為正值; Gij= Gji為互電導,結點 i 與結點 j
31、 之間所有支路電導之和,總為負值; is ii 為流入結點 i 的所有電流源電流的代數(shù)和。注意:電路不含受控源時,系數(shù)矩陣為對稱陣。結點法的一般步驟如下:(1 )選定參考結點,標定 n -1 個獨立結點;(2 )對 n -1 個獨立結點,以結點電壓為未知量,列寫其 KCL 方程;(3 )求解上述方程,得到 n -1 個結點電壓;(4 )通過結點電壓求各支路電流;(5 )其它分析。結點法的特點:不僅適用于平面電路,也適用于非平面電路,因此結點法應用更為普遍。對于結點較少的電路利用結點法分析更為簡單和方便。4. 節(jié)點法求解電路舉例【例 2.4. 1 】 如圖 2. 4. 2 ( a )所示電路,設
32、結點電位,試列電路的結點方程并求結點電壓。圖 2.4. 2 例 2. 4. 1 的圖解 在一些電路中,常給出電阻和電壓源串聯(lián)形式的激勵。在這種情況下應用結點法分析時,先通過電源等效互換將電路等效,再將電壓源與電阻串聯(lián)等效為電流源與電阻并聯(lián),進一步對電阻串并聯(lián)等效,得到圖 2.4. 2 ( b )電路。設結點 1 、 2 的電位分別為 u 1 、 u 2 。對結點 1 、 2 列結點方程,有聯(lián)立求解,可解出結點電壓:5. 電壓源的處理方法【例 2.4. 2 】 列出圖 2. 4. 3 所示電路的結點電位方程并求解。圖 2.4. 3 例 2. 4. 2 的圖解 因與 2A 電流源串聯(lián)的 1 電阻不
33、會影響其它支路電流,故在列寫結點方程時均不予考慮,選擇參考點如圖中所示,則 u 2 =3V 。建立結點方程組結點 1 :結點 3 :聯(lián)立求解,得注意:此例中電壓源直接接在結點與參考點之間, u 2 為已知,可少列一個結點方程?!纠?2.4. 3 】 列出圖示電路的結點電壓方程。圖 2.4. 4 例 2. 4. 3 的圖解 設結點電壓分別為 u 1 、 u 2 、 u 3 。圖中有三個電壓源,其中電壓源 u s3 有一電阻與其串聯(lián),稱為有伴電壓源,可將它轉換為電流源與電阻并聯(lián)的形式。另兩個電壓源 u s1 和 u s2稱為無伴電壓源。 u s1 有一端接在參考點,故結點 2 的電壓 u2 = u
34、 s1 ,因此,就不用對結點 2列方程了。對電壓源 u s2 的處理辦法是:先假設 u s2 上的電流為 I ,并把它看成是電流為 I 的電流源即可。列結點 1 和 3 的方程為對 u s2 補一方程:小結: 對于有伴電壓源,將其等效為電流源與電阻并聯(lián)的形式; 對于無伴電壓源,若有一端接參考點,則另一端的結點電壓已知,對此結點就不用列結點方程了,否則在電壓源上假設一電流,并把它看成電流源。6. 受控源的處理方法【例 2.4. 4 】 如圖 2. 4. 5 所示電路,試用結點法求各支路電流。圖 2.4. 5 例 2. 4. 4 的圖解 本例中,因與 4A 電流源串聯(lián)的 4 電阻不會影響其它支路電
35、流,故在列寫結點方程時均不予考慮。另電路中含受控源( VCVS ),處理方法是:先將受控源看成獨立電源。將有伴電壓源轉換為電流源與電阻的并聯(lián)形式。設結點 0 為參考點,其余的 1 、 2 和 3 結點的電位分別為 u 1 、 u 2 和 u 3 ,則可列出結點方程組為將受控源的控制變量用結點電壓表示,增補一個方程:聯(lián)立上述方程,解得則各支路電流分別為因受控電壓源電壓為所以有小結:對于受控源,先將其視為獨立電源,列方程后,對每個受控源再補一個方程將其控制量用結點電壓表示?!纠?2.4. 5 】 列如圖 2. 4. 6 所示電路的結點方程(電阻的單位均為歐姆)。此例是利用結點法分析時,參考點的選擇
36、問題。圖 2.4. 6 例 2. 4. 5 的圖解 對圖 2.4. 6 ( a ),選 0 為參考點,設其余三個獨立結點電位分別為 u 1 、 u 2 和 u 3 ,則u 1 =9V 。只需對結點 2 和 3 列結點方程:對圖 2.4. 6 ( b ),考慮到 4V 獨立電壓源,所以設 c 為參考點,其它結點電壓設u 1 、 u 2 和 u 3,則此例說明,雖然利用結點法分析時,一般情況下參考點任意選取,但類似于圖 2. 4. 6(a )、( b )這種包含理想電壓源支路的電路,如果參考點選擇得合適,就會減少列寫方程的數(shù)目,從而可以簡化計算過程。除采用上述方式選擇參考點外,還可以設其它結點為參
37、考點,并列出獨立結點方程,但只有在上述情況(即選擇無伴電壓源的負極作為參考點)下,列出的方程數(shù)目最少。 【例 2.4. 6 】 電路如圖 2. 4. 7 所示,試用 Multisim 求節(jié)點 a 、 b 電位。解 如圖所示電路為 3 個節(jié)點的電路,指定參考點 c 后,利用 Multisim 直接仿真出結點 a 、 b 的電位,仿真結果見圖 2.4. 8 中電壓表的讀數(shù), U a =8V , U b =12. 000V ,與理論計算結果相同。圖 2.4. 7 例 2. 4. 6 電路圖圖 2.4. 8 例 2. 4. 6 仿真電路圖例 2.4. 2 、例 2. 4. 3 及例 2. 4. 5 說
38、明了處理包含理想電壓源支路的電路應用結點電位法分析時的處理方法。有兩種處理方法:第一種處理方法是利用兩結點間含理想電壓源支路的特點,選其中一個結點作為參考即得另一結點的電位,因而減少了一個未知量,也就減少了一個方程式;第二種處理方法雖然增加了一個輔助方程,使解方程過程麻煩一些,但應看做是一種合理的處理方法。因為,有的問題的參考點給定,它不是理想電壓源支路所連的一個結點;有的問題可能含有多個理想電壓源支路,我們只能選其中一個含理想電壓源支路所連的兩個結點之一作參考點,這兩種情況都避免不了對含理想電壓源支路的結點列寫結點方程。知道了第二種處理方法,遇到這兩種情況,應用結點法分析時也就不會束手無策了
39、。當然,一般情況下我們總是優(yōu)先采用第一種處理方法。本章介紹了電阻電路分析的一般方法,支路電流法、網(wǎng)孔分析法、回路電流法和結點電位法。支路電流法的方程數(shù)目為支路數(shù) b ;結點電位法的方程數(shù)為獨立結點數(shù) n -1 ;回路電流法的方程數(shù)為獨立回路數(shù) b - n +1 。支路電流法要求每個支路電壓可以用支路電流表示,限制了該方法的應用,例如對于無伴電流源需要另行處理?;芈冯娏鞣ù嬖谂c支路電流法類似的限制。結點電壓法的優(yōu)點是結點電壓容易選擇,不存在選取獨立回路的問題。用網(wǎng)孔法時,選取獨立回路簡便、直觀,但僅適用于平面電路。其中網(wǎng)孔法與結點法都是對支路電流法的一種改進。這兩種方法都是重點要求掌握的方法,是
40、通用的一般分析方法,適用于電路的全面求解。在進行具體電路分析計算時,可通過以下方面進行選擇: 比較網(wǎng)孔和結點的數(shù)目,結點少的適合用結點法 ; 比較電壓源和電流源的多少,如電壓源多,可選擇網(wǎng)孔(回路)法。2. 5 疊 加 定 理疊加定理是線性電路的一個重要定理。它為研究線性電路中響應與激勵的關系提供了理論根據(jù)和方法,并經(jīng)常作為建立其它電路定律的基本依據(jù)。我們先看一個例子。對于如圖 2.5. 1 ( a )所示的電路,求解 i 2 。采用結點電壓法,設結點電壓為 u n 1 。對結點 1 列方程為由式( 2. 5. 1 )可以看出第一項只與 u s 有關,第二項只與 i s 有關。如果令則電流 i
41、2 寫為式中, i 可以看做僅當 us 作用時 R 2 上的電流,如圖 2. 5. 1 ( b )所示; i 可以看做僅當 i s 作用時R 2 上的電流,如圖 2. 5. 1 ( c )所示。由此可見, R 2 上的電流 i 2 可以看做獨立電壓源 u s 與獨立電流源 i s 分別單獨作用時在 R 2 上所產生電流的代數(shù)和。響應與激勵之間的這種規(guī)律,不僅本例才有,任何具有唯一解的線性電路都具有這一特性。圖 2.5. 1 疊加定理示例疊加定理可表述為:在線性電阻電路中,任一支路電流(或支路電壓)都可看做是電路中各個獨立電源單獨作用時在該支路產生的電流(或電壓)的代數(shù)和。疊加定理的正確性,可通
42、過任意的具有 m 個網(wǎng)孔的線性電路加以論述。設該電路的網(wǎng)孔方程為根據(jù)克萊姆法則,解式( 2. 5. 2 ),求網(wǎng)孔電流 i 1 :式( 2. 5. 3 )中, j1為 中第一列第 j 行元素對應的代數(shù)余子式, j =1 , 2 , m ,其余類推。所以有由式(2. 5. 4 )可以看出,第一個網(wǎng)孔電流 i 1 是各個網(wǎng)孔等效獨立電源分別單獨作用時在該網(wǎng)孔所產生的電流代數(shù)和。同理,其余網(wǎng)孔也是如此。電路中任意支路的電壓與支路電流呈一次函數(shù)關系,所以電路中任一支路的電壓也可看做是電路中各獨立源單獨作用時在該支路產生電壓的代數(shù)和。由此可見,對任意線性電路,疊加定理都是成立的。當電路中含有受控源時,受
43、控源的作用將反映在自阻、互阻或自導、互導中,因此任一支路電流(或電壓)仍可按獨立電源單獨作用時產生的電流(或電壓)疊加計算,而獨立源每次單獨作用時受控源要保留其中。應用疊加定理時,可以分別計算各個電壓源和電流源單獨作用時的電流和電壓,然后把它們疊加起來,也可以把電路中的所有電源分成組,按組計算電流和電壓后,再疊加。應用疊加定理時,要注意以下幾點:(1 )疊加定理只適用于線性電路,不適用于非線性電路;(2 )在考慮某一電源單獨作用時,其它電源不作用,即置零(電壓源短路,電流源開路);(3 )疊加時,要注意電流和電壓的參考方向;(4 )疊加定理只能用來分析和計算電流和電壓,不能用來計算功率。 【例
44、 2.5. 1 】 用疊加定理求圖 2. 5. 2 ( a )所示電路中的電流 I 。已知 R 1 =1 , R 2 =2 ,R 3 =3 , R 4 =4 , U s =35V , I s =7A 。圖 2.5. 2 例 2. 5. 1 電路圖解 ( 1 )電流源 I s 單獨作用時,電路如圖 2.5. 2 ( b )所示,得( 2 )電壓源 U s 單獨作用時,電路如圖 2. 5. 2 ( c )所示,得 ( 3 )兩個電源共同作用時,得 【例 2. 5. 2 】 求圖 2. 5. 3 所示電路中的電壓 U 、電流 I 。圖 2.5. 3 例 2. 5. 2 用圖 【例 2. 5. 3 】
45、 電路如圖 2. 5. 3 所示,利用疊加定理求 R 2 兩端的電壓 U 。解 ( 1 )從元件庫選取電壓源、電流源及電阻 R 1 、 R 2 ,再從元件庫中選取電壓表并選擇適當參數(shù),創(chuàng)建圖 2.5. 3 所示的電路。圖 2.5. 3 例 2. 5. 3 用圖(2 )測量電壓源單獨作用時 R 2 兩端的電壓。雙擊電流源圖標,將電流源設置為開路。啟動仿真開關,電壓表的讀數(shù)為 4V ,測量等效電路如 2.5. 4 所示。圖 2.5. 4 電壓源單獨作用圖(3 )測量電流源單獨作用時 R 2 兩端的電壓。雙擊電壓源圖標,將電壓源設置為短路。啟動仿真開關,電壓表的讀數(shù)為 666.667mV ,測量等效
46、電路如圖 2. 5. 5 所示。圖 2.5. 5 電流源單獨作用圖(4 )測量兩個電源共同作用時 R 2兩端的電壓。啟動仿真開關,電壓表的讀數(shù)為 4. 667V ,測量等效電路如圖 2.5. 6 所示。圖 2.5. 6 電壓源、電流源共同作用圖2. 6 齊 次 定 理齊次定理可表述為:在線性電路中,當所有激勵源同時增大或縮小 K 倍( K 為實常數(shù))時,其電路中任意處的響應 (電壓或電流)將同樣增大或縮小 K 倍?!纠?2.6. 1 】 電路如圖 2. 6. 1 所示, N 是含有獨立源的線性電路,已知當 u s =6V , i s =0A 時,開路電壓 u o =4V ;當 u s =0V
47、, i s =4A 時, u o =0V ;當 u s =-3V , i s =-2A時, u o =2V 。求當 us =3V , i s =3A 時的電壓 u o 。圖 2.6. 1 例 2. 6. 1 用圖解 將激勵源分為三組: 電壓源 u s ; 電流源 is ; N 內的全部獨立源。設僅由電壓源 u s 單獨作用時產生的響應為 u o ,根據(jù)齊次定理,令 u o = K 1 u s ;僅由電流源 i s 單獨作用時產生的響應為 u ,根據(jù)齊次定理,令 u o = K 2 i s ;僅由 N 內部所有獨立源產生的響應記為將激勵源分為三組: 電壓源 u s ; 電流源 is ; N 內的
48、全部獨立源。設僅由電壓源 u s 單獨作用時產生的響應為 u o ,根據(jù)齊次定理,令 u o = K 1 u s ;僅由電流源 i s 單獨作用時產生的響應為 u ,根據(jù)齊次定理,令 u o = K 2 i s ;僅由 N 內部所有獨立源產生的響應記為u o ,于是,根據(jù)疊加定理,有將已知數(shù)據(jù)代入上式得解得2. 7 替 代 定 理替代定理可以表述為:具有唯一解的電路中,已知某支路 k 的電壓為 u k ,電流為 ik ,且該支路不含受控源,或該支路的電壓或電流不是其它支路中受控源的控制量,則該支路可用下列任何一個元件替代:(1 )電壓等于 u k 的理想電壓源;(2 )電流等于 i k 的理想
49、電流源;(3 )阻值為 u k / i k 的電阻 R k 。替代定理可證明如下:當?shù)?k 條支路被一個電壓源 u k 所替代時,由于改變后的新電路和原電路的連接是完全相同的,所以新舊兩個電路的 KCL 和 KVL 方程也完全相同。兩個電路的全部支路的約束關系,除第 k 條支路外,也全部相同。現(xiàn)在,新電路的第 k 條支路的電壓被規(guī)定為 u s = u k ,即等于原電路的第 k 條支路電壓。根據(jù)假定,電路在改變前后的各支路電壓和電流均是唯一的,而原電路的全部電壓和電流又將滿足新電路的全部約束關系,所以,原電路各支路的電壓、電流值就是新電路的唯一解。同理,當?shù)?k 條支路被電流源 is = i
50、k 所替代時,也可作類似的證明。順便指出,替代定理還可以推廣到非線性電路。【例 2.7. 1 】 電路如圖 2. 7. 1 ( a )所示,求電流 i 1 。解 ( 1 )將 a 、 b 兩個結點合并為一點,如圖 2.7. 1 ( b )所示。(2 )虛線內的部分看做一條支路,且該支路的電流為 4A ,如圖 2. 7. 1 ( b )所示。(3 )應用替代定理把該支路用 4A 的電流源替代,如圖 2. 7. 1 ( c )所示。(4 )應用電源互換將圖 2. 7. 1 ( c )等效為圖 2. 7. 1 ( d )。圖 2.7. 1 例 2. 7. 1 用圖圖 2.7. 1 例 2. 7. 1
51、 用圖2. 8 等效電源定理前面討論了電阻的串并聯(lián)等效、含有電阻和受控源的二端網(wǎng)絡的等效變換等內容,這些都是針對無源二端網(wǎng)絡的等效。本節(jié)將討論有源二端網(wǎng)絡的等效變換。2. 8. 1 戴維寧定理戴維寧定理指出:對外部電路而言,任何一個線性有源二端網(wǎng)絡 N 都可以用一個理想電壓源 u s 和電阻 R o 的串聯(lián)組合來等效代換,如圖 2.8. 1 所示。其中理想電壓源 u s 等于該二端網(wǎng)絡的開路電壓 u oc ,電阻 R o 等于該二端網(wǎng)絡所有電源置零(電壓源短路,電流源開路)后,所得到的無源二端網(wǎng)絡的等效電阻。圖 2.8. 1 戴維寧定理示意圖戴維南定理的證明如下:(1 )設有源二端網(wǎng)絡 N 與
52、負載相接,負載端電壓為 u ,端電流為 i ,如圖 2. 8. 2 ( a )所示。(2 )負載用電流源替代,取電流源的電流為 i s = i ,方向與 i 相同,如圖 2. 8. 2 ( b )所示。替代后,整個電路中的電流、電壓保持不變。(3 )當電流源 i s 作用時,二端網(wǎng)絡 N 內部獨立電源不作用,受控源保留,如圖 2. 8. 2 ( c )所示, u =- R o i , R o 為二端網(wǎng)絡 N 內的等效電阻。(4 )設二端網(wǎng)絡 N 內的獨立電源一起激勵,受控源保留,電流源 i s 置零,即 ab 端開路, u = u oc 如圖 2.8. 2 ( d )所示。(5 )根據(jù)疊加定理
53、, ab 端口的電壓為根據(jù)式 2. 8. 1 畫出電路的等效模型如圖 2. 8. 2 ( e )所示,即證明戴維寧定理是正確的。應用戴維寧定理時,關鍵是需要求出二端網(wǎng)絡的開路電壓及等效電阻,等效電阻可以用求輸入電阻的方法求得。圖 2.8. 2 截維寧定理證明過程【例 2.8. 1 】 電路如圖 2. 8. 3 ( a )所示,已知 U s1 =40V , U s2 =20V , R 1 = R 2 =4 W,R 3 =13 W,試用戴維寧定理求電流 I 3 。解 ( 1 )斷開待求支路,求二端網(wǎng)絡的開路電壓 U oc ,如圖 2.8. 3 ( b )所示。圖 2.8. 3 例 2. 8. 1
54、用圖( 2 )求等效電阻 R o 。除去所有電源(理想電壓源短路,理想電流源開路),如圖 2. 8. 3(c )所示。( 3 )畫出等效電路,如圖 2. 8. 3 ( d )所示?!纠?2. 8. 2 】 用戴維寧定理求圖 2. 8. 4 ( a )所示電路中的電流 I 2 。圖 2.8. 4 例 2. 8. 2 用圖【例 2. 8. 3 】 用 Multisim 軟件求圖 2. 8. 5 所示電路的戴維寧等效電路。圖 2.8. 5 例 2. 8. 3 用圖解 ( 1 )從元件庫中選取電壓源和電阻,創(chuàng)建圖 2.8. 5 所示的電路。(2 )從右邊儀表庫中選出數(shù)字萬用表,并接至端點 A 、 B
55、,如圖 2. 8. 6 所示。在面板上選擇“ V ”和“DC ”啟動仿真開關,萬用表的讀數(shù)為 8V ,此為 A 、 B 兩端開路電壓值。圖 2.8. 6 測量開路電壓和短路電流圖(3 )仍將萬用表接至端點 A 、 B ,在面板上選擇 “ A ”和“ DC ”啟動仿真開關,萬用表的讀數(shù)為 2mA ,此為 A 、 B 兩端短路電流值。(5 )畫出戴維寧等效電路,如圖 2. 8. 7 所示。圖 2.8. 7 戴維寧等效電路2. 8. 2 諾頓定理諾頓定理指出:對外部電路而言,任何一個線性有源二端網(wǎng)絡,都可以用一個電流源和電阻的并聯(lián)組合來等效代換,其中電流源的電流等于該二端網(wǎng)絡的短路電流,電阻 R o
56、 等于該二端網(wǎng)絡所有獨立源置零(電壓源短路,電流源開路)后,所得到的無源網(wǎng)絡的等效電阻,如圖 2.8. 8 所示。圖 2.8. 8 諾頓定理示意圖前面討論過,電壓源模型和電流源模型是可以互換的,所以諾頓定理也是正確的。戴維寧定理和諾頓定理在本質上是相同的,只是形式不同而已。設有源二網(wǎng)絡的開路電壓為u oc ,短路電流為 i sc ,相應無源網(wǎng)絡的等效電阻為 R o ,則【例 2. 8. 4 】 用諾頓定理求圖 2. 8. 9 中電流 I 。圖 2.8. 9 例 2. 8. 4 圖2. 9 最大功率傳輸定理給定一個線性有源二端網(wǎng)絡 N ,如圖 2.9. 1 ( a )所示,當接在 N 兩端的負載
57、 R L不同時,該線性有源二端網(wǎng)絡傳輸給負載 R L 的功率也不同。在什么條件下,負載 R L能獲得最大功率呢?圖 2.9. 1 最大功率傳輸示意圖前面曾經(jīng)討論過,線性有源二端網(wǎng)絡 N 可以用戴維寧等效電路或諾頓等效電路來替代。如圖 2.9. 1 ( b )所示,當開路電壓 u oc 和等效電阻 R o 固定不變時,負載 R L 為何值時, R L能獲得最大功率。現(xiàn)討論如下:解得由以上討論可歸納總結出最大功率傳輸定理為:對于確定的線性有源二端網(wǎng)絡 N ,其開路電壓為 u oc 、等效內阻為 R o ,若負載可任意改變,則當且僅當 R L = R o 時網(wǎng)絡 N 傳輸給負載 R L 的功率最大,此時負載上獲得的最大功率為若有源二端網(wǎng)絡 N 為諾頓等效電路,同樣可得 R L = R o 時,網(wǎng)絡 N 傳輸給負載 R L 的功率最大,此時負載上得到的最大功率為應該指出:不應把最大功率傳輸定理理解為要使負載功率最大應使戴維寧等效電路內阻 R o 等于 R L 。由圖可以看出: R L 一定、 u oc 一定,顯然只有當 R o =0 時才能使負載 R L 上獲得最大功率;也不能把 R o 上消耗的功率當作二端網(wǎng)絡內部消耗的功率,這是因為“等效”的概念是對“外”而不是對“內”的。 【例 2
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 四川大學錦江學院《行星地質基礎》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 四川城市職業(yè)學院《審計》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 全英文傭金合同范例
- 私立華聯(lián)學院《緬甸語翻譯技能實訓》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 朔州職業(yè)技術學院《專門水文地質學》2023-2024學年第一學期期末試卷
- 打雜工勞動合同范例
- 呼和浩特建筑施工合同范例
- 簡約共同投資合同范例
- 中國傳統(tǒng)手工藝的傳承與創(chuàng)新發(fā)展研究
- 電商平臺用戶增長與留存策略研究
- 安陽鑫龍煤業(yè)(集團)龍山煤業(yè)有限責任公司煤礦礦山地質環(huán)境保護與土地復墾方案
- 互聯(lián)網(wǎng)金融(同濟大學)智慧樹知到期末考試答案2024年
- 2024年度計算機信息安全教案
- GB/T 43782-2024人工智能機器學習系統(tǒng)技術要求
- 中考語文復習:謙辭和敬辭+教學設計
- 北師大版三年級上《心理健康》第5課《合作互助好處多》
- 城市綜合體消防技術標準 DG-TJ08-2408-2022
- 銀行線上線下一體化營銷
- 六年級上冊求陰影部分面積期末重點必考50道題
- 面試答辯述職報告
- 四年級上冊數(shù)學乘法豎式
評論
0/150
提交評論