出租車數量估計趙朋飛修改版B題(共10頁)

1、PAGE 16PAGE 12寶雞(bo j)文理學院2014年數學(shxu)建模培訓(pixn)第二次模擬 B題姓名系別學 號趙朋飛數學系201290014087王文鵬計科系201296014053葉鵬物理系201291024078出租車數量(shling)的估計問題摘要(zhiyo)本文(bnwn)運用概率統(tǒng)計的思想，解決了出租車數量的估計問題。依據題目要求，我們建立了兩種估計模型，估算出了該小鎮(zhèn)出租車的數量，并且對模型的可靠性進行了檢驗。對于模型一：首先，題目所給樣本數據是隨機的，通過MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為時，落在每個區(qū)間車牌號數量是均勻分布的，即車牌號服從于均勻分布。而車

2、牌號又是按順序排列的，所以樣本中的最小車牌號與最大車牌號趨近于該市機動車出租車車牌號的起始號與終止號，試假設該機動車出租車車牌號區(qū)間為，進而求出該市機動車出租車的總數量為輛；然后，對于樣本中所給的出租車牌號，經過后減運算，得到每兩個相鄰的車牌號之間間隔的車牌號數量，用EXCEL軟件排序并作圖，剔除了極端差值，其余求其平均數,即每輛出租車車牌號之間間隔平均是；最后計算出該小鎮(zhèn)出租車的數量輛。對于模型二：由于模型一中確定該市機動車出租車車牌號區(qū)間不甚精確，我們考慮對其進行優(yōu)化。首先，我們運用了兩種方法估計了該市機動車的總數量：方法一，引用盟軍估計德軍坦克數量的模型估計出該市機動車的總數為；方法二，

3、運用極大似然估計函數確定該市機動車出租車的車牌號區(qū)間為，經端點值作差得出該市機動車出租車的總數為；（這兩種方法貌似得去掉一個）將兩種方法（去掉）所求的該市機動車總數均值作為該市機動車最終數量。然后，把樣本的車牌號每隔進行統(tǒng)計，得到每個車牌號中的出租車車牌數量,對得到的數據用SPSS軟件進行檢驗，顯示呈正態(tài)分布并得其均值，采用極大似然估計法求得正態(tài)分布總體中參數，即該市每輛機動車出租車中有輛出租車屬于分配在該小鎮(zhèn)。最后計算出該小鎮(zhèn)有出租車輛。綜合兩種模型，模型一對機動車車牌號范圍的區(qū)間估計不夠精確，而模型二在估算機動車牌號范圍的區(qū)間時，恰當運用盟軍估計德軍坦克數量模型與極大似然估計法，比較精確地

4、求得該市機動車的數量。另外，模型二對車牌號分區(qū)間考慮使得估算更為合理。模型檢驗中偏態(tài)系數與峰度系數對統(tǒng)計數據的分析使得模型更為完善。（改為）最后我們對兩種模型的優(yōu)缺點進行了討論。關鍵字：極大似然估計 正態(tài)分布 SPSS軟件 偏態(tài)系數 峰度系數一、問題(wnt)重述小張寒假回到他的家鄉(xiāng)某小鎮(zhèn)(xio zhn)，在出門探親訪友過程中，他發(fā)現(xiàn)小鎮(zhèn)的出租車，存在諸多問題。他打算從小鎮(zhèn)的出租車數量入手，解決這些問題。在接下來的幾天時間里，他隨機的記錄了133輛出租車車牌號的后5位見（附錄(fl)1）。他只知道車牌號是按順序排列的，但他不知道車牌的起始號，也不知道車牌的終止號，他希望通過上述數據估計出小鎮(zhèn)

5、的出租車數量。要求幫助小張設計一種或多種數學模型，來估計小鎮(zhèn)出租車的數量，并分析方法的可靠性。二、模型假設樣本統(tǒng)計過程中沒有考慮外來車輛。該市機動車的車牌號連續(xù)。該市機動車與車牌號一一對應。該市機動車車牌號的后五位均由數字組成。三、符號說明符號含義該市機動車數量原始車牌號序列樣本相鄰車牌號的差值序列差值的平均值倆車牌號的間隔小鎮(zhèn)出租車數量樣本均值樣本方差方差樣本中最小的車牌號樣本中最大的車牌號樣本中車牌號的數量該市機動車下限的最大似然估計值該市機動車上限的最大似然估計值總體均值組中值對應比重偏態(tài)系數峰度系數四、問題(wnt)分析本題屬于概率統(tǒng)計(tngj)問題。要估算出該小鎮(zhèn)出租車的數量，首先

6、需要估算出該市機動車出租車的數量(shling)?？紤]到題目所給樣本數據是隨機的，通過MATLAB軟件作圖，發(fā)現(xiàn)區(qū)間間隔為時，落在每個區(qū)間車牌號數量是均勻分布的，即車牌號服從于均勻分布。我們可以采用點估計，即以實際樣本指標數值作為總體參數的估計值，估算出該市機動車的數量，進而估計出小鎮(zhèn)出租車數量。我們可以從以下兩種思路來求解： 思路一：由于樣本中的車牌號均勻分布，考慮到所在地為小鎮(zhèn)且車牌號是按順序排列的，所給車牌號碼的最小值與最大值就非常趨近于起初號和終止號，所以假設車牌號區(qū)間為24000，31999。經過后減運算，剔除壞數據，得出每兩輛車牌號之間相差的個數，從而得出小鎮(zhèn)出租車的數量。 思路二

7、：對思路一中確定總體車牌號區(qū)間存在的不精確性，我們將其進行優(yōu)化，可以用點估計1與極大似然函數（和摘要對應，去掉一種方法）確定總體的車牌號區(qū)間。參照點估計中最小無偏估計，采用較為準確的計算公式確定車牌號區(qū)間，即為該市機動車總數，當然，我們還可以利用極大似然函數確定車牌號區(qū)間。（與上對應，去掉一種方法）其次，將樣本的車牌號每隔進行統(tǒng)計，得到的統(tǒng)計數據求其平均值，把所得平均值與機動車總數的千分之一的乘積作為該小鎮(zhèn)出租車數量的估計值。五、模型建立與求解5.1模型一：對于隨機分布的樣本數據，若其服從于均勻分布，可取接近樣本最大值與最小值的數據作為總體區(qū)間的上下限，即區(qū)間，進而可得總體的數量為。據問題分析

8、知樣本中的車牌號均勻分布，且已設車牌號區(qū)間為，故得總的車牌號數量，即該市機動車的數量。由題目(tm)已給條件知原始車牌號序列：即： 由后減運算計算，即求出后前兩個(lin )數據之差： ，其中(qzhng)；可得一個新的序列： 利用EXCEL軟件，以此新序列排序作為縱坐標并作圖1：圖1觀察圖1，發(fā)現(xiàn)中間部分有很多均勻的差值，兩端出現(xiàn)較大的波動，忽略兩端極端差值，即剔除40以下和90100以上的差值，其余求平均值，經EXCEL軟件計算得平均值約為，即兩車牌號之間間隔。由此估計出出租車數量為：結合以上數據，估計出該小鎮(zhèn)共有出租車輛。5.2模型二：（去掉一種方法，建議去掉盟軍模型）1.估計樣本對應總

9、體的取值空間(該市機動車數量)：方法一：在 HYPERLINK /wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6%E7%90%86%E8%AE%BA o 統(tǒng)計學理論 統(tǒng)計學理論的 HYPERLINK /wiki/%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E7%90%86%E8%AE%BA o 估計理論 估計中，用不放回抽樣來估計 HYPERLINK /wiki/%E7%A6%BB%E6%95%A3%E5%9E%8B%E5%9D%87%E5%8C%80%E5%88%86%E5%B8%83 o 離散型均勻分布 離散型均勻分布最大值問題是著名的德國坦克問題1。針對該問題，建立盟軍估計德

10、軍坦克數量模型。對于 HYPERLINK /w/index.php?title=%E7%82%B9%E4%BC%B0%E8%AE%A1&action=edit&redlink=1 o 點估計（頁面不存在） 點估計（實際 HYPERLINK /view/315109.htm t /view/_blank 樣本指標數值作為 HYPERLINK /view/3287459.htm t /view/_blank 總體參數的 HYPERLINK /view/962834.htm t /view/_blank 估計值），最小方差無偏估計由下式給出并以此確定總體取值區(qū)間： 是樣本最小值，是樣本最大值，是樣本

11、大小。 題目中所給車牌號為隨機抽取(chu q)的一組數據，其為離散均勻分布,結合題目(tm)已知，樣本中出租車車牌號的最小值，出租車車牌號的最大值，出租車數量(shling)，代入以上公式求得。即在車牌號連續(xù)的情況下，可估計該市機動車數量。方法二：再者，我們可以以極大似然估計來確定總體取值區(qū)間：設總體在上服從于均勻分布，是一個樣本值，我們來確的最大似然估計量：記，的概率密度是由于，等價于，。似然函數為即在時取到最大值。故的最大似然估計值為：即： 該市機動車出租車車牌號在上服從均勻分布，為樣本出租車車牌號，樣本最小值，樣本最大值，可求得的最大似然估計量為，的最大似然估計量為。即該市機動車出租車

12、車牌號區(qū)間為，在車牌號連續(xù)的情況下，可估計該市機動車數量。綜合考慮方法一與方法二所得該市機動車數量，我們將其平均值()作為估計該小鎮(zhèn)出租車數量的基數。2.將樣本數據分成若干區(qū)間考慮(估計該小鎮(zhèn)出租車數量)：把樣本的車牌號每隔進行統(tǒng)計，得到每個車牌號中的出租車車牌數量并作表1：區(qū)間出租車車牌數量（個）表1：出租車車牌數量(shling)統(tǒng)計表觀察(gunch)表1，對于(duy)指定區(qū)間的出租車車牌數量我們加以分析，通過SPSS軟件2，使用K-S對其進行正態(tài)性檢驗(附錄2)，檢驗結果如圖2：圖2：正態(tài)性檢驗根據檢驗結果，指定區(qū)間的出租車車牌數量符合正態(tài)分布。接下來求正態(tài)分布中的極大似然估計量：是

13、正態(tài)分布總體的隨機樣本，需要求正態(tài)分布參數的極大似然估計量。 似然函數為：取對數，得：那么似然方程組為：解得： 因此，正態(tài)分布總體(zngt)平均數的極大似然估計量為：方差(fn ch)估計量為： 對于(duy)出租車車牌數量統(tǒng)計數據，是正態(tài)分布總體的隨機樣本，所以因為，所以得出總體均值，即以上八個車牌號區(qū)間中出租車車牌數量的平均值約為,即可近似認為該市每1000輛機動車中有17輛出租車屬于分布在該小鎮(zhèn)，進而求出該小鎮(zhèn)出租車的數量為：綜合以上，代入上式，可估算出該小鎮(zhèn)共有出租車輛。六、模型檢驗為了推斷模型二(2)中統(tǒng)計數據的未知特性,我們提出統(tǒng)計數據服從于正態(tài)分布的假設，并采用極大似然估計法對

14、其參數進行了估計。作出出租車車牌數量統(tǒng)計圖如圖3。了解到集中趨勢和離散程度是數據分布的兩個重要特征，要全面了解數據分布的特點，還需要知道數據偏斜的程度及分布的扁平程度等，我們可以從偏態(tài)和峰度的角度對這些分布特征進一步描述。圖31.偏態(tài)及其測度(c du)：偏態(tài)是對數據分布偏斜方向及程度(chngd)的測度，偏態(tài)系數(xsh)(分布偏斜程度的測度)計算公式：將對應區(qū)間出租車車牌數量進一步分組，是組中值，是組中值標準差的三次方，為對應比重。在模型二(2)統(tǒng)計數據中為對應區(qū)間出租車車牌數量，利用EXCEL軟件可求得偏態(tài)系數(求解過程見附錄3)。由于偏態(tài)系數,因此指定區(qū)間出租車車牌數量為左偏分布，即在

15、總體區(qū)間確定的情況下，推理說明機動車車牌號大多分布于前半區(qū)間。2.峰度及其測度：峰度是分布集中于高峰的形態(tài)。它通常是與正態(tài)分布相比較來說的，在歸化到同一方差時，若分布的形狀比正態(tài)分布更瘦更高（太口語化），則稱為尖峰，若比正態(tài)分布更矮更胖（太口語化），則稱為平峰分布。峰度系數是離差四次方的平均數，再除以標準差的四次方，其計算公式為： 式中：表示(biosh)峰度系數，是標準差的四次方。已知正態(tài)分布的峰度系數(xsh)為3，當時為尖峰(jin fn)分布，當時為扁平分布。在模型二(2)統(tǒng)計數據中為對應區(qū)間出租車車牌數量，利用EXCEL軟件可求得峰度系數(求解過程見附錄3)。由于偏態(tài)系數,因此指定區(qū)

16、間出租車車牌數量為扁平分布，且扁平程度相當大，推理說明機動車車牌號趨于均勻分布，與題目所給數據隨機性相符。七、模型評價優(yōu)點：1、模型二在計算機動車牌號范圍的區(qū)間時，分別用了點估計和極大似然估計法，較為精確。2、對樣本數據處理時，觀測發(fā)現(xiàn)區(qū)間為1000時的出租車牌號大致呈正態(tài)分布，但模型二將數據通過SPSS軟件驗證，結果確為正態(tài)分布，這樣就增加了模型的精確程度。3、模型一簡單易懂，計算簡潔，具有直觀性。缺點：1、模型一對機動車牌號范圍的區(qū)間估計不甚精確。 2、模型沒有考慮非本地的出租車的混入，從而對結果造成了誤差。八、模型應用與推廣基于以上模型的建立，我們得到了一個以給定一組樣本數據為基準，來估計出總體數量的模型，并且還可以分析模型的可靠性，增加了模型的實用性。不難想象，可以將此模型應用于交通流量的