(完整版)Mathematica數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算

1、 第五章數(shù)值分析和數(shù)值計(jì)算1如何求插值多項(xiàng)式給定n個(gè)點(diǎn)（令,片）,（i=l,2,.,n）,構(gòu)造一個(gè)次數(shù)不超過n-1的多項(xiàng)式函數(shù)f（x）,使得f（xi）=yi,則稱f（x）為拉格朗日插值多項(xiàng)式。11可以證明該多項(xiàng)式函數(shù)由公式（x一x）（x一x）（x一x）（x一x）（x一x）（x一x）y=y23n+y13n+1（x-x）（x-x）（x-x）1（x-x）（x-x）（x-x）12131n21232n（x一x）（x一x）（x一x）+y12n-1n（x一x）（x一x）（x一x）n1n2nn-1唯一給定。Mathematica提供了根據(jù)插值點(diǎn)數(shù)據(jù)計(jì)算拉格朗日插值多項(xiàng)式的函數(shù)InterpolatingPoly

2、nomial,下面是其調(diào)用格式：InterpolatingPolynomialdata,var作出以data為插值點(diǎn)數(shù)據(jù)，以var為變量名的插值多項(xiàng)式。例：iri；=data=lf16f2r46f4.60f（5f0;f=InterpolatingPolynomia1daxOuti=16+30+-3-C-4+x）3（-2|硝：=Expand黑140233k噸F下在多數(shù)情況下，我們構(gòu)造插值函數(shù)的目的在于計(jì)算函數(shù)f(x)的值，而并不在意插值多項(xiàng)式的具體表示形式。對于拉格朗日插值多項(xiàng)式，當(dāng)n較大時(shí)，得到的高次插值多項(xiàng)式由于截?cái)嗾`差和舍入誤差的影響,往往誤差較大。此時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中,一般采用分段插值。Ma

3、thematica提供了分段插值函數(shù)Interpolation，其使用格式為：Interpolationdata,InterpolationOrder-n這里InterpolationOrder-n指定插值多項(xiàng)式的次數(shù)，默認(rèn)值為3。此外數(shù)據(jù)data中還可以包括插值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，格式為：xl,yl,dyl,x2,y2,dy2,.例：已知f(0)=0,f(l)=2f(0)=l,F(l)=l,求3次插值多項(xiàng)式f(x)，并計(jì)算f(0.72)和畫出函數(shù)f(x)在0,1區(qū)間上的圖形。nil=data=OrOf1lr2f1;f=InterpolationdaInterpolationOrder-3uti=工i

4、rtq匸po丄mlziELqEu.口crtio門Cl#1fln2:=f0.72utp=1.5287ln5;=PlotfXf(Xf0f1ut5=-Graphics-注：雖然Interpolation函數(shù)生成一個(gè)沒有顯式表達(dá)式的函數(shù)，但我們可以計(jì)算該函數(shù)在某點(diǎn)的值，也可以畫出它在插值區(qū)間內(nèi)的圖形。2如何進(jìn)行曲線擬合曲線擬合是根據(jù)已知的某函數(shù)在某些點(diǎn)處的函數(shù)值，按照最小二乘法的原理，得到該函數(shù)的近似函數(shù)的過程。一般來說，擬合的過程是先選定一組函數(shù)，通過它們的線性組合來近似原函數(shù)。在Mathematica中，使用函數(shù)Fit來進(jìn)行擬合，其一般使用格式是：Fit擬合數(shù)據(jù)，用于擬合的函數(shù)列表，變量面是其常用

5、的幾種形式：擬合函數(shù)形式意義Fitdata,l,x,x作線性擬合a+bxFitdata,l,x,x2,x構(gòu)造二次擬合a+bx+cx2Fitdata,Tablexi,i,O,n,xn次多項(xiàng)式擬合ExpFitLogdata,l,x,x擬合曲線為ea+bx你也可以根據(jù)你的需要自己選擇合適的擬合函數(shù)。例：ini：=data=TablePrimexf20Fitdataflfxfdcuti=-767363十277368in2：=FitdataflrxA2fxut2=-1.92363+2.2055x+0.0746753xSolve和FindRoot函數(shù)都能求方程的根，它們之間的區(qū)別在于，Solve主要用于求

6、多項(xiàng)式方程或方程組的所有根，而FindRoot則給出任意方程或方程組的一個(gè)根(注意不是全部),FindRoot的求根方法是牛頓切線法(或弦截法)，其使用格式為：函數(shù)意義FindRoot方程，x,x0從x=x0開始，計(jì)算方程的一個(gè)數(shù)值解FindRoot方程，x,x0,xmin,xmax求根區(qū)間范圍(xmin,xmax)FindRoot方程組,x,x0,y,y0,.計(jì)算方程組的一個(gè)數(shù)值解3如何求解超越方程注：初值xO在一些情況下對尋找根是有影響的，如果找不到，請改變初值再試。初值的選取可以結(jié)合所求函數(shù)的圖形來分析。例：ini：=FindRootk+Sinx=0.7fx1uti=kt0.836278

7、in2：=FindRootExpx*y=xA2rxA2十2=2#匚lfy.1autp=xt1.34403fyt0.435964如何求函數(shù)的極小值函數(shù)的極小值用函數(shù)FindMinimum計(jì)算，和FindRoot樣，該函數(shù)也只能給出初值附近的一個(gè)極小值，你可以根據(jù)函數(shù)的圖形來選擇初值。下面是其使用格式：函數(shù)意義FindMinimumf,x,x0以x-x0為起始點(diǎn)計(jì)算f的一個(gè)局部極小值FindMinimumf,x,xs,x0,xlxs為起始點(diǎn)，在區(qū)間(x0,xl)上求f的極小值FindMinimumf,x,x0,y,y0,.計(jì)算多元函數(shù)的極值例：In8:=PlotSillX4-X/2fxf-10f1

8、0K-Hi-5a-4outpe=-Graphics-in9：=FindMinimumSinx4-x/2rxf51.22B37,4.1BB79)5如何求常微分方程的數(shù)值解求常微分方程或方程組的數(shù)值解的函數(shù)是NDSolve，由于是求數(shù)值解，所以初始條件也必須一起給出，和方程列在一起。函數(shù)使用的一般形式為：NDSolve方程1,方程2,.,yx,x,xmin,xmax對常微分方程，求函數(shù)y關(guān)于自變量x在區(qū)間xmin,xmax內(nèi)的數(shù)值解；NDSolve方程1,方程2,.,ylx,y2x,.,x,xmin,xmax對常微分方程組，求函數(shù)yl,y2,關(guān)于自變量x在區(qū)間xmin,xmax內(nèi)的數(shù)值解;例：(1

9、)求解y=x2+y2,y(0)=0,并計(jì)算y(1)和畫出y(x)的圖形(2)求解方程組x(t)=-y(t)-x2(t),y(t)=2x(t)-y(t),x(0)=y(0)=1解：ini：=NDSolveyTx=+ycy0=0fyxfg21Outi=y-IntsrpolatingFun-Cti2.f|丐：=yy=y3cf.outp=Interpolat.ingFunction-2.2.fxlnp:=yy/X-1out3=U350248in4：=Plotyyfxf-J2io廠i；12/-丄巾-out4j=-Graphics-in8：=NDSolvek1t=-yt凸yTt=2xt-ytfx0=y0=

10、1ftbyt,t,0,3ut6=x七-TnterpolatingFunction03丁tfyt-InterpolatingFunction0.,3.t-)mic：=fi=xt/.鋼I1fy=yt/.61outi&=InterpolatingFunction0.f3.ftfInterpolatingFunctionf3.ftIn18:=fx/t-1outi8=-0.1810441ln19:=Plotfyftf0f3uti9=-Graphics6線性規(guī)劃函數(shù)ConstrainedMax和ConstrainedMin可求解任意線性規(guī)劃在限定區(qū)域上的目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題。其使用格式為：ConstrainedMin目標(biāo)函數(shù)，限定區(qū)域,變量列表ConstrainedMax目標(biāo)函數(shù)，限定區(qū)域,變量列表例：求解線性規(guī)劃問題maxf=3x+2y-1s.t.0=x=10=y=2解：ini：=Cons七iiiedMQiK3x十2一1丁x1,y2注：函數(shù)中的變量限于取非負(fù)值，對不等式也是約定可以取等號；關(guān)于這方面的內(nèi)容可以參考有關(guān)線性規(guī)劃方面的書籍。習(xí)題1.已知函數(shù)f(x)過點(diǎn)(-1,3),(0,0.5),(0.5,0),(1,1),試求拉格郎日插值多項(xiàng)式并畫出其圖形;2給出離散數(shù)據(jù)如下：X1923303540Y19.028.547.068.290.0試