2013固體物理復(fù)習(xí)題及答案

1、固體物理卷（A）第一部分：名詞解釋（每小題5分，共40分）原胞：在完整晶體中，晶格在空間的三個方向上都具有一定的周期對稱性，這樣可以取一個以結(jié)點為頂點，邊長等于這三個方向上的周期的平行六面體作為最小的重復(fù)單元，來概括晶格的特征，這樣的重復(fù)單元稱為初基原胞或簡稱原胞。晶面指數(shù)：一個晶面得取向可以由這個晶面上的任意三個不共線的點確定，如果這三個點處在不同的晶軸上，則通過有晶格常量a,a,a表示這些點的坐標(biāo)就能標(biāo)定它們所決定的晶面，它們具有相同123比率的最小整數(shù)稱為晶面指數(shù)布拉格定律：假設(shè)入射波從晶體中的平行原子平面作鏡面反射，每個平面反射很少一部分輻射，就像一個輕微鍍銀的鏡子一樣。在這種類似鏡子

2、的鏡面反射中，其反射角等于入射角。當(dāng)來自平行原子平面的反射發(fā)生相長干涉時，就得出衍射束?？紤]間距為d的平行晶面，入射輻射線位于紙面平面內(nèi)。相鄰平行晶面反射的射線行程差是2dsinx，式中從鏡面開始量度。當(dāng)行程差是波長的整數(shù)倍時，來自相繼平面的輻射就發(fā)生了相長干涉。這就是布拉格定律。布拉格定律用公式表達為：2dsinx二n*入（d為平行原子平面的間距，入為入射波波長，x為入射光與晶面之夾角），布拉格定律的成立條件是波長小于等于2d。布拉格定律是晶格周期性的直接結(jié)果。簡述三維空間的晶系種類及其所包括的晶格類型三斜1，單斜2，正交4，四角2，立方3，三角1，六角1。布里淵區(qū)：在固體物理學(xué)中，第一布里

3、淵區(qū)是動量空間中晶體倒易點陣的原胞。固體的能帶理論中，各種電子態(tài)按照它們波矢的分類。在波矢空間中取某一倒易陣點為原點，作所有倒易點陣矢量的垂直平分面，這些面波矢空間劃分為一系列的區(qū)域：其中最靠近原點的一組面所圍的閉合區(qū)稱為第一布里淵區(qū)；各布里淵區(qū)體積相等，都等于倒易點陣的元胞體積。周期結(jié)構(gòu)中的一切波在布里淵區(qū)界面上產(chǎn)生布喇格反射,對于電子德布羅意波,這一反射可能使電子能量在布里淵區(qū)界面上（即倒易點陣矢量的中垂面）產(chǎn)生不連續(xù)變化。根據(jù)這一特點,1930年L.-N.布里淵首先提出用倒易點陣矢量的中垂面來劃分波矢空間的區(qū)域，從此被稱為布里淵區(qū)。惰性氣體晶體：惰性氣體所形成的晶體是最簡單的晶體，其晶態(tài)

4、原子的電子分布非常接近于自由態(tài)原子的電子分布，在晶體中，這些惰性氣體原子盡可能緊密地堆積在一起。惰性氣體原子具有閉合電子殼層，電荷分布是對稱的。7德拜模型：德拜模型是德拜提出的計算固體熱容的原子振動模型。1912年，德拜改進了愛因斯坦模型,考慮熱容應(yīng)是原子的各種頻率振動貢獻的總和，得到了同實驗結(jié)果符合得很好的固體熱容公式。德拜模型把原子排列成晶體點陣的固體看作是一個連續(xù)彈性媒質(zhì)，原子間的作用力遵從胡克定律，組成固體的n個原子在三維空間中集體振動的效果相當(dāng)于3n個不同頻率的獨立線性振子的集合。費米能等于費米子系統(tǒng)在趨于絕對零度時的化學(xué)勢；但是在半導(dǎo)體物理和電子學(xué)領(lǐng)域中，費米能級則經(jīng)常被當(dāng)做電子或

5、空穴化學(xué)勢的代名詞。費米能級的物理意義是，該能級上的一個狀態(tài)被電子占據(jù)的幾率是1/2。費米能級在半導(dǎo)體物理中是個很重要的物理參數(shù)，只要知道了他的數(shù)值，在一定溫度下，電子在各量子態(tài)上的統(tǒng)計分布就完全確定了。它和溫度，半導(dǎo)體材料的導(dǎo)電類型，雜質(zhì)的含量以及能量零點的選取有關(guān)。內(nèi)聚能：所謂晶體的內(nèi)聚能，是指在絕對零度下將晶體分解為相距無限遠(yuǎn)的、靜止的中性自由原子所需要的能量。布拉格定律：假設(shè)入射波從晶體中的平行原子平面作鏡面反射，每個平面反射很少一部分輻射，就像一個輕微鍍銀的鏡子一樣。在這種類似鏡子的鏡面反射中，其反射角等于入射角。當(dāng)來自平行原子平面的反射發(fā)生相長干涉時，就得出衍射束?？紤]間距為d的平

6、行晶面，入射輻射線位于紙面平面內(nèi)。相鄰平行晶面反射的射線行程差是2dsinx，式中從鏡面開始量度。當(dāng)行程差是波長的整數(shù)倍時，來自相繼平面的輻射就發(fā)生了相長干涉。這就是布拉格定律。布拉格定律用公式表達為：2dsinx二n*入（d為平行原子平面的間距，入為入射波波長，x為入射光與晶面之夾角），布拉格定律的成立條件是波長小于等于2d。布拉格定律是晶格周期性的直接結(jié)果。布里淵區(qū)：在固體物理學(xué)中，第一布里淵區(qū)是動量空間中晶體倒易點陣的原胞。固體的能帶理論中，各種電子態(tài)按照它們波矢的分類。在波矢空間中取某一倒易陣點為原點，作所有倒易點陣矢量的垂直平分面，這些面波矢空間劃分為一系列的區(qū)域：其中最靠近原點的一

7、組面所圍的閉合區(qū)稱為第一布里淵區(qū)；各布里淵區(qū)體積相等，都等于倒易點陣的元胞體積。周期結(jié)構(gòu)中的一切波在布里淵區(qū)界面上產(chǎn)生布喇格反射,對于電子德布羅意波,這一反射可能使電子能量在布里淵區(qū)界面上（即倒易點陣矢量的中垂面）產(chǎn)生不連續(xù)變化。根據(jù)這一特點,1930年L.-N.布里淵首先提出用倒易點陣矢量的中垂面來劃分波矢空間的區(qū)域，從此被稱為布里淵區(qū)。離子晶體：由正、負(fù)離子或正、負(fù)離子集團按一定比例組成的晶體稱作離子晶體。離子晶體中正、負(fù)離子或離子集團在空間排列上具有交替相間的結(jié)構(gòu)特征，離子間的相互作用以庫侖靜電作用為主導(dǎo)。金屬晶體：晶格結(jié)點上排列金屬原子-離子時所構(gòu)成的晶體。金屬中的原子-離子按金屬鍵結(jié)

8、合，因此金屬晶體通常具有很高的導(dǎo)電性和導(dǎo)熱性、很好的可塑性和機械強度，對光的反射系數(shù)大，呈現(xiàn)金屬光澤，在酸中可替代氫形成正離子等特性氫鍵晶體的定義：在一定條件下一個氫原子同時與兩個原子相結(jié)合的力。氫鍵晶體以氫鍵結(jié)合的晶體，結(jié)合力主要依靠氫原子與電負(fù)性很大而原子半徑較小的兩個原子結(jié)合成XHY形式。氫鍵晶體的結(jié)合能一般比較低、氫鍵具有飽和性。15德拜模型：德拜模型是德拜提出的計算固體熱容的原子振動模型。1912年,德拜改進了愛因斯坦模型,考慮熱容應(yīng)是原子的各種頻率振動貢獻的總和，得到了同實驗結(jié)果符合得很好的固體熱容公式。德拜模型把原子排列成晶體點陣的固體看作是一個連續(xù)彈性媒質(zhì)，原子間的作用力遵從胡

9、克定律，組成固體的n個原子在三維空間中集體振動的效果相當(dāng)于3n個不同頻率的獨立線性振子的集合。16.霍爾效應(yīng)：固體材料中的載流子在外加磁場中運動時，因為受到洛侖茲力的作用而使軌跡發(fā)生偏移，并在材料兩側(cè)產(chǎn)生電荷積累，形成垂直于電流方向的電場，最終使載流子受到的洛侖茲力與電場斥力相平衡，從而在兩側(cè)建立起一個穩(wěn)定的電勢差即霍爾電壓。正交電場和電流強度與磁場強度的乘積之比就是霍爾系數(shù)。平行電場和電流強度之比就是電阻率。大量的研究揭示：參加材料導(dǎo)電過程的不僅有帶負(fù)電的電子，還有帶正電的空穴。17.能帶理論是研究固體中電子運動規(guī)律的一種近似理論。固體由原子組成，原子又包括原子實和最外層電子，它們均處于不斷

10、的運動狀態(tài)。為使問題簡化，首先假定固體中的原子實固定不動，并按一定規(guī)律作周期性排列，然后進一步認(rèn)為每個電子都是在固定的原子實周期勢場及其他電子的平均勢場中運動，這就把整個問題簡化成單電子問題。能帶理論就屬這種單電子近似理論，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里淵在解決金屬的導(dǎo)電性問題時提出。18愛因斯坦模型把晶體中的N個原子視為N個頻率相同的各自獨立的三維諧振子，完全不考慮使這些原子在平衡位置附近振動,并使它們結(jié)合成晶體的原子間相互作用.正是因為忽略了這種由于原子間相互作用而造成的晶體中原子振動的相干性,導(dǎo)致了愛因斯坦模型晶體熱容計算結(jié)果與實驗結(jié)果間的系統(tǒng)誤差.萬尼爾函數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似

11、的根據(jù)是什么?解答萬尼爾函數(shù)可表示為咒(Bn)=緊束縛模型適用于原子間距較大的晶體.在這類晶體中的電子有兩大特點:(1)電子被束縛在原子附近的幾率大,在原TOC o 1-5 h z子附近它的行為同在孤立原子的行為相近，即當(dāng)rTRn時，電子波函數(shù)屮a(k，r-Rn)與孤立原子波函數(shù)晉(r-Rn)相近它遠(yuǎn)離原子的幾率很小，即r偏離R較大時，1%(k，r-Rn)2很小.考慮到r偏離R較大時，馳(r-廠也很nn小,所以用普(一Rn)來描述化(k，尸-Rn)是很合適的.取屮(k，rR)=卩(k)9at(rR)nan將上式代入萬尼爾函數(shù)求和中，再利用萬尼爾函數(shù)的正交性，可得W(R,r)=9at(rR)na

12、n也就是說，萬尼爾函數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似是由緊束縛電子的性質(zhì)來決定的.緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值?解答緊束縛模型電子在原子附近的幾率大，遠(yuǎn)離原子的幾率很小，在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近.因此，緊束縛模型電子的能量與在孤立原子中的能量相近孤立原子中電子的能量是一負(fù)值，所以緊束縛模型電子的能量是負(fù)值.s態(tài)電子能量(5.60)表達式E(k)=Ea一C一J工eikRnssssn即是例證.其中孤立原子中電子的能量E,是主項，是一負(fù)值，一Cs和-Js是小量，也是負(fù)值.為什么價電子的濃度越大,價電子的平均動能就越大?解答由于絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近，我們討論絕對零度

13、時電子的平均動能與電子濃度的關(guān)系.價電子的濃度越大價電子的平均動能就越大,這是金屬中的價電子遵從費密-狄拉克統(tǒng)計分布的必然結(jié)果.在絕對零度時,電子不可能都處于最低能級上,而是在費密球中均勻分布.由(6.4)式(6.3)式看得更清楚.電子的平均動能E正比與費密能E0,Eo=Gn兀2)/3E=F2m,而費密能又正比與電子濃度n2/35Fko=(3n兀2)1/3F可知,價電子的濃度越大費密球的半徑就越大,高能量的電子就越多,價電子的平均動能就越大.這一點從(6.5)和所以價電子的濃度越大,價電子的平均動能就越大.在常溫下,兩金屬接觸后,從一種金屬跑到另一種金屬的電子,其能量一定要達到或超過費密能與脫

14、出功之和嗎?解答電子的能量如果達到或超過費密能與脫出功之和,該電子將成為脫離金屬的熱發(fā)射電子.在常溫下,兩金屬接觸后,從一種金屬跑到另一種金屬的電子,其能量通常遠(yuǎn)低于費密能與脫出功之和.假設(shè)接觸前金屬1和2的價電子的費密能分別為EF1和EF2,且EF1EF2,接觸平衡后電勢分別為V1和V2.則兩金屬接觸后,金屬1中能量高于EF1eVi的電子將跑到金屬2中.由于V1大于0,所以在常溫下，兩金屬接觸后，從金屬1跑到金屬2的電子，其能量只小于等于金屬1的費密能.22、解理面是面指數(shù)低的晶面還是指數(shù)高的晶面？為什么？解答晶體容易沿解理面劈裂，說明平行于解理面的原子層之間的結(jié)合力弱，即平行解理面的原子層

15、的間距大.因為面間距大的晶面族的指數(shù)低,所以解理面是面指數(shù)低的晶面.23、在結(jié)晶學(xué)中,晶胞是按晶體的什么特性選取的?解答在結(jié)晶學(xué)中,晶胞選取的原則是既要考慮晶體結(jié)構(gòu)的周期性又要考慮晶體的宏觀對稱性.24、如何理解庫侖力是原子結(jié)合的動力?解答晶體結(jié)合中,原子間的排斥力是短程力,在原子吸引靠近的過程中,把原本分離的原子拉近的動力只能是長程力,這個長程吸引力就是庫侖力.所以,庫侖力是原子結(jié)合的動力.25、晶體的結(jié)合能,晶體的內(nèi)能,原子間的相互作用勢能有何區(qū)別?解答自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量,或者把晶體拆散成一個個自由粒子所需要的能量,稱為晶體的結(jié)合能.原子的動能與原子間的相互作用勢能之和為

16、晶體的內(nèi)能.在0K時,原子還存在零點振動能.但零點振動能與原子間的相互作用勢能的絕對值相比小得多.所以,在0K時原子間的相互作用勢能的絕對值近似等于晶體的結(jié)合能.26、什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？解答為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線形項忽略掉的近似稱為簡諧近似.在簡諧近似下，由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動.每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式,它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動,它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式.原子的振動，或者說格波振動通常是

17、這3N個簡正振動模式的線形迭加.簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事，這個數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等于3N.27、長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別?解答長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振動頻率較高，它包含了晶格振動頻率最高的振動模式.長聲學(xué)支格波的特征是原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做整體運動，振動頻率較低，它包含了晶格振動頻率最低的振動模式，波速是一常數(shù).任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波.28、為什么價電子的濃度越高,電導(dǎo)率越高?解答電導(dǎo)b是金屬通流能力的量度.通流能力取決于單位時間內(nèi)通過截面積

18、的電子數(shù)（參見思考題18）.但并不是所有價電子對導(dǎo)電都有貢獻,對導(dǎo)電有貢獻的是費密面附近的電子.費密球越大,對導(dǎo)電有貢獻的電子數(shù)目就越多.費密球的大小取決于費密半徑k=（3n兀2）1/3F.可見電子濃度n越高，費密球越大，對導(dǎo)電有貢獻的電子數(shù)目就越多，該金屬的電導(dǎo)率就越高.第二部分：計算（每小題10分，共60分）1.晶面指數(shù)若考慮指數(shù)為（100）和（001）的面，其晶格屬于面心立方，且指數(shù)指的是慣用立方晶胞，若采用初基軸，這些面得指數(shù)是多少？初級矢量：a=2（兀+y）a3=2（z+x）答案：（100）面垂直于X軸，相對于初基軸的指數(shù)是（101）。（001）相對于初基軸的指數(shù)是（011）,2布里

19、淵區(qū)，矩形晶格，一個二維金屬在簡單矩形原胞1=2A和b=4A內(nèi)含有一個單價原子，（a）繪出第一布里淵區(qū)，并以cm-1為單位標(biāo)示其大小。（b）計算自由電子費米球的半徑，單位為cm-1。（c）在（a）中給出的第一布里淵區(qū)上繪制自由電子費米球。假設(shè)在布里淵區(qū)邊界上有個小縫隙，另作一示意圖，就第一和第二能帶示出周期能區(qū)圖式中自由電子能帶的前幾個周期。解：a:如下圖所示，這是由原子排列在正方格子上而構(gòu)成的一假想的二維晶體，（1）標(biāo)出一個原胞；（2）定義倒格子點陣解釋它同布拉格反射的關(guān)系；（3）畫出倒格子點陣和第一布里淵區(qū)，該區(qū)與布拉格反射的關(guān)系如何；（4）敘述并解釋布洛赫定理，即在點陣的勢場中運動的電子

20、具有行波波函數(shù)，該定理必須采用什么邊界條件？解：(1)原胞如下圖所示，四個角頂上都有原子占據(jù)，但屬于原胞的僅有一個原子，若設(shè)方格長度為，則原胞基矢為：ai=a(i-j)(2)設(shè)a(i=1,2)為正格子的基矢,i則由關(guān)系式ai-bjwa=a(i+j)1iLL*f1F*aI14二a所確定的b(i=1,2)為基矢的點陣，稱為正格子的倒格子，i在倒格子空間，布拉格反射的條件為：反射波矢k與入射波矢k相差一個或者倒格矢nG，即k-k=nG0h00(3)i與j是相互垂直的單位矢量，取單位矢量k垂直于i和j，則a，a和k構(gòu)成的體積：120二a-(axk)二(ai一aj)-(ai一aj)二2a2根據(jù)倒格式基矢

21、的定義72兀(axk)b=2iQ2兀(kxa)x(ai-aj)=(i-j)2a2ax(ai+aj)=(i+j)2a2a雖然這將是構(gòu)成二維正方倒格子點陣，下圖示出倒格子點陣和第一布里淵區(qū)，在布里淵區(qū)邊界上將發(fā)生布拉格反射。(4)在點陣周期勢場中運動的電子波函數(shù)是布洛赫波即：屮(r)=eikru(r)kk式中函數(shù)u(r)具有晶格平移對稱性ku(r)=u(r+R)kk式中R是晶格格矢，這是受晶格周期勢場調(diào)制的平面波，此即布洛赫定理，布洛赫波的指數(shù)部分是平面波，描述了晶體中電子的共有化運動，而周期函數(shù)則描述了晶體中電子圍繞原子核的運動，因而布洛赫波正是反映晶體中電子運動的特點。一束動能為1keV的電子

22、通過一多晶金屬箔產(chǎn)生衍射，這種金屬具有立方晶體結(jié)構(gòu)，原子間距為1A,求（1）計算電子的波長；（2）計算第一級衍射極大的布拉格角解（1）因為電子的波長九=-及巴=eV（V為電子加速電壓），所以p2mh(2meV)1212.2512.25二0.39(A)沁Vi21000（2）由布拉格反射條件2dsin0=n九，對第一級衍射極大，n=1,又知d=1A,所以sin0=0.195，得0=11.182d2x1分別到處一維，二維和三維金屬中自由電子的能態(tài)密度。解：金屬自由電子Etk關(guān)系為2k2E（k）=22m一維Etk是拋物線，二維等能線是圓，而三維等能面則是球。（1）一維情況。EtE+dE電子數(shù)目相應(yīng)于一

23、維k軸在土k方向（2dk）范圍內(nèi)的狀態(tài)如下圖，計入電子自旋，一維金屬長度為L，g(E)dE=2x-L-2dk2nm丄由自由電子色散關(guān)系，dk=x(2mE)-2dE代入得-(2)tE-1*E-2兀方2g(E)二半2x(2E)-22兀方（2）二維情況。EtE+dE電子數(shù)目相應(yīng)于如圖1.1.55二維k平面上半徑k，寬度為dk的圓環(huán)內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目，設(shè)二維金屬面積為Sg(E)dE二2-(2兀)2-2兀k-dk由自由電子色散關(guān)系dE=-2kdk-2兀kdk2m2兀m代入得g(E)=2S2m兀Sm(2兀)2兀方2=常數(shù)（3）三維情況EtE+dE電子數(shù)目相應(yīng)于如圖1.1.56三維k平面上半徑k，寬度為dk的球殼

24、內(nèi)的狀態(tài)數(shù)目，考慮電子自旋，對體積為V三維金屬g(E)dE=2-4兀k2dk(2兀)3由色散關(guān)系，m丄dk=x(2mE)-2dE與色散關(guān)系一起代入上式V2rnErni2m3i丄g(E)dE=2-一-4兀(2mE)-2=4兀V-()2E2gE2(2兀)3方2方方26在金屬的自由電子模型中，假定傳導(dǎo)電子可近似的看作是自由電子氣，其中最重要的參數(shù)是電子密度n及兩次碰撞之間的時間t,試導(dǎo)出金屬電導(dǎo)率的表達式：=neT，估計銅中電子的弛豫時間t，銅的電導(dǎo)率1.7x10-6Q-cm，m銅的原子密度為8.5xIO23cm-3o解：對于自由電子，動量p和波矢k的關(guān)系為：p=hk在外力F作用下的運動方程為：F=

25、dp=hdkdtdt即由于外力作用，所有電子的k值在平行于力F的方向上由所增加。但是，電子又通過碰撞回復(fù)到他們原來的狀態(tài)而平衡態(tài)，如果碰撞的弛豫時間為t，則t波矢k的平衡位移5k為：5k=Fh相應(yīng)地，速度變化為：5v=5k=一Fmmm若外加電場為，則作用在每個電子上的力為：F=-es由此引起的電流密度為：j=-ne5v=neT=m由此得電導(dǎo)率b為：c=neTm對于銅，若認(rèn)為每個原子貢獻一個導(dǎo)電電子，因此，n=8.5x1022cm-3由此得銅電子弛豫時間：t=一=一一=2.5x10-14(s).ne2ne2p7考慮每格點具有一個質(zhì)量為m的原子的二維平方晶格，僅計及最近；鄰原子之間的相互作用，力度

26、常數(shù)為0，設(shè)聲子色散關(guān)系曲線是:sin（qa）求：在長波極限下，求聲子態(tài)密度D（），即單位頻率間隔do中的點陣振動的模式數(shù)，解：（1）在長波極限下，qT0，有1）（qasin（丁式中oxq，是彈性色散關(guān)系，設(shè)二維晶格的面積為S，則聲子態(tài)密度D（o）為:D（o）二聶2nqdq，即D（o）=電qdo，由式（1）q二A即型=:P.a!0dqvmam故模式密度（o）二Sdqq一2兀doSo1Smo02兀a20am8.銅是單價金屬，其密度為8000kg/m3，原子量為64.試計算絕對溫度時電子的費米能；解：銅是面心立方晶體，設(shè)晶格常數(shù)為a,個晶胞中有4個銅原子，故銅密度644xNN是阿伏伽德羅常數(shù)，則晶格常數(shù)a0P=，a34x64x10=3a=INp0、丄3=3.76x10-iom=3.76設(shè)銅晶體體積為V,包含有N個銅原子，每一個銅原子貢獻一個電子，則共有N個傳導(dǎo)電子設(shè)費米球半徑為kF，有2x（2-3叫3=N，i=（3兀2n）3電子濃度n=N，對于面心立方晶體n=Na3（12兀2）絕對零度下的費米能級E=-Z=1.042x10-18J=6.5eVF2m若把銀看成具有球形費米面的單價金屬，計算以下各量（1）費米能和費米溫度（2）費米球半徑（3）在室溫及低溫時電子的平均自由程銀的密度=1