專題19-立體幾何中體積與表面積—三年高考(2015-2017)數(shù)學(xué)(文)真題分項版解析(解析版)

1、1.【2017課標(biāo)3，文9】已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為（）ABCD【答案】B【解析】如果，畫出圓柱的軸截面，所以，那么圓柱的體積是，故選B.【考點】圓柱體積【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.2.【2015高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長為，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而

2、形成的曲面所圍成的幾何體的體積為( )（A） QUOTE 223（B） QUOTE 423（C）（D）【答案】【考點定位】1.旋轉(zhuǎn)體的幾何特征；2.幾何體的體積.【名師點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計算，解答本題的關(guān)鍵，是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，確定得到計算體積所需要的幾何量.本題屬于基礎(chǔ)題，在考查旋轉(zhuǎn)體的幾何特征及幾何體的體積計算方法的同時，考查了考生的空間想象能力及運算能力，是“無圖考圖”的一道好題.3.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】平面過正文體ABCDA1B1C1D1的頂點A,則m,n所成角的正弦值為（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】考點：平面的截面問題,面面

3、平行的性質(zhì)定理,異面直線所成的角.【名師點睛】求解本題的關(guān)鍵是作出異面直線所成角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形,解形求角、得鈍求補(bǔ).4.【2017天津，文11】已知一個正方形的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 .【答案】【解析】試題分析：設(shè)正方體邊長為，則，外接球直徑為.【考點】球與幾何體的組合體【名師點睛】正方體與其外接球的組合體比較簡單，因為正方體的中心就是外接球的球心，對于其他幾何體的外接球，再找球心時，注意球心到各個頂點的距離相等，1.若是柱體，球心肯定在中截面上，再找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線與中截面的交點就是球心，2.若是

4、錐體，可以先找底面外接圓的圓心，過圓心做底面的垂線，再做一條側(cè)棱的中垂線，兩條直線的交點就是球心，構(gòu)造平面幾何關(guān)系求半徑，3.若是三棱錐，三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可補(bǔ)成長方體，長方體的外接球就是此三棱錐的外接球，這樣做題比較簡單. 5.【2015新課標(biāo)2文10】已知是球的球面上兩點,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【考點定位】本題主要考查球與幾何體的切接問題及空間想象能力.【名師點睛】由于三棱錐底面AOB面積為定值,故高最大時體積最大,本題就是利用此結(jié)論求球的半徑,然后再求出球的表面積,由于球與幾何體的切接問題能很好的考查

5、空間想象能力,使得這類問題一直是高考中的熱點及難點,提醒考生要加強(qiáng)此方面的訓(xùn)練.6. 2016高考新課標(biāo)文數(shù)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個體積為的球，若，則的最大值是（）（A）4 （B）（C）6 （D）【答案】B【解析】試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時，球的半徑取得最大值，此時球的體積為，故選B考點：1、三棱柱的內(nèi)切球；2、球的體積【思維拓展】立體幾何是的最值問題通常有三種思考方向：（1）根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最值；（2）將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解；（3）建立函數(shù)，通過求函數(shù)的最值來求

6、解7.【2014全國2，文7】正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為，為中點，則三棱錐的體積為( )（A）（B）（C）（D）【答案】C【考點定位】棱柱、棱錐、棱臺的體積【名師點睛】本題考查幾何體的體積的求法，屬于中檔題，求解幾何體的底面面積與高是解題的關(guān)鍵，對于三棱錐的體積還可利用換底法與補(bǔ)形法進(jìn)行處理8.【2015高考新課標(biāo)1，文6】九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約

7、為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為1.6222，故選B.【考點定位】圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式【名師點睛】本題以九章算術(shù)中的問題為材料，試題背景新穎，解答本題的關(guān)鍵應(yīng)想到米堆是圓錐，底面周長是兩個底面半徑與圓的和，根據(jù)題中的條件列出關(guān)于底面半徑的方程，解出底面半徑，是基礎(chǔ)題.9.【2017課標(biāo)1，文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_【答

8、案】因為平面平面所以平面設(shè)所以，所以球的表面積為【考點】三棱錐外接球【名師點睛】本題考查了球與幾何體的問題，是高考中的重點問題，要有一定的空間想象能力，這樣才能找準(zhǔn)關(guān)系，得到結(jié)果，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用

9、補(bǔ)體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補(bǔ)成長方體，它們是同一個外接球 10.【2017課標(biāo) = 2 * ROMAN II，文15】長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在球的球面上，則球的表面積為【答案】【解析】球的直徑是長方體的體對角線，所以【考點】球的表面積【名師點睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.11.【2017江蘇，6】如圖,在圓柱內(nèi)有一

10、個球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 .【答案】【考點】圓柱體積【名師點睛】空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求解 (2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解12【2015高考四川，文14】在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是直角邊長為1的等腰直角三角形，設(shè)點M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點，則三棱錐PA1MN的體積是_.PC1【答案】B1A1【解析】由題意，三棱柱是底面為直角邊長為1的NC等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，底面積為MBA如圖，因為AA1PN，故AA1面PMN，故三棱錐PA1MN與三棱錐PAMN體積相等，三棱錐PAMN的底面積是三棱錐底面積的，高為1故三棱錐PA1MN的體積為【考點定位】本題主要考查空間幾何體的三視圖、直觀圖及空間線面關(guān)系、三棱柱與三棱錐的體積等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、圖形分割與轉(zhuǎn)換的能力，考查基本運算能力.【名師點睛】解決本題，